Номер 0.26, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.26. Через вершину C параллелограмма ABCD проведена прямая, которая пересекается с продолжениями сторон AB и AD в точках E и K соответственно. Докажите, что $BE \cdot DK = BC \cdot DC$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом подобия треугольников. Построим чертеж, соответствующий условию задачи.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle EBC$ и $\triangle CDK$. Докажем, что они подобны.

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$. Точка $E$ лежит на продолжении стороны $AB$, значит, прямая $AE$ (и её часть $BE$) параллельна прямой $DC$. Прямая $EK$ является секущей для параллельных прямых $BE$ и $DC$. Следовательно, накрест лежащие углы при секущей равны: $\angle CEB = \angle KCD$.

2. В параллелограмме $ABCD$ также параллельны стороны $AD$ и $BC$. Точка $K$ лежит на продолжении стороны $AD$, поэтому прямая $AK$ параллельна прямой $BC$.

Рассмотрим параллельные прямые $AK \parallel BC$ и секущую $AE$. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$: $\angle KAE + \angle ABC = 180^\circ$. Углы $\angle ABC$ и $\angle CBE$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$: $\angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$. Из этих двух равенств следует, что $\angle CBE = \angle KAE$. Угол $\angle KAE$ совпадает с углом $\angle DAB$ параллелограмма.

Теперь рассмотрим параллельные прямые $AE \parallel DC$ и секущую $AK$. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$: $\angle EAD + \angle ADC = 180^\circ$, что то же самое, что и $\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$. Углы $\angle ADC$ и $\angle KDC$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$: $\angle ADC + \angle KDC = 180^\circ$. Сравнивая последние два равенства, получаем, что $\angle KDC = \angle DAB$.

Таким образом, мы установили, что $\angle CBE = \angle DAB$ и $\angle KDC = \angle DAB$. Отсюда следует, что $\angle CBE = \angle KDC$.

3. Мы нашли две пары равных углов в треугольниках $\triangle EBC$ и $\triangle CDK$:

$\angle CEB = \angle KCD$

$\angle CBE = \angle KDC$

Следовательно, треугольники $\triangle EBC$ и $\triangle CDK$ подобны по двум углам (признак подобия АА).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон. Стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны.

В $\triangle EBC$ сторона $BE$ лежит против угла $\angle BCE$. В $\triangle CDK$ сторона $DC$ лежит против угла $\angle CKD$. Так как $\angle BCE = \angle CKD$ (как третьи углы подобных треугольников), то $\frac{BE}{DC}$.

В $\triangle EBC$ сторона $BC$ лежит против угла $\angle CEB$. В $\triangle CDK$ сторона $DK$ лежит против угла $\angle KCD$. Так как $\angle CEB = \angle KCD$, то $\frac{BC}{DK}$.

Получаем пропорцию: $\frac{BE}{DC} = \frac{BC}{DK}$.

5. Применив основное свойство пропорции (правило крест-накрест), получим:

$BE \cdot DK = BC \cdot DC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BE \cdot DK = BC \cdot DC$ доказано на основе подобия треугольников $\triangle EBC$ и $\triangle CDK$.