Номер 0.21, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.21. Одна окружность описана около прямоугольного треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что сумма диаметров этих окружностей равна сумме катетов этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.

1. Диаметр описанной окружности

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Следовательно, радиус этой окружности, который мы обозначим как $R$, равен половине длины гипотенузы.

$R = \frac{c}{2}$

Диаметр описанной окружности $D$ равен удвоенному радиусу:

$D = 2R = 2 \cdot \frac{c}{2} = c$

2. Диаметр вписанной окружности

Для нахождения диаметра вписанной окружности сначала найдем ее радиус $r$. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, выражается формулой:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Докажем эту формулу. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть вписанная окружность с центром в точке $I$ касается катетов $AC$ и $BC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно, и гипотенузы $AB$ в точке $M$.

Четырехугольник $CQIP$ является квадратом, поскольку $IP \perp BC$, $IQ \perp AC$, $\angle C = 90^\circ$ и $IP = IQ = r$. Отсюда $CP = CQ = r$.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны: $AM = AQ$ и $BM = BP$.

Катеты можно выразить следующим образом:

$a = BC = BP + PC = BP + r \implies BP = a - r$

$b = AC = AQ + QC = AQ + r \implies AQ = b - r$

Гипотенуза $c$ равна сумме отрезков $AM$ и $BM$:

$c = AM + BM = AQ + BP = (b - r) + (a - r) = a + b - 2r$

Из этого выражения найдем $2r$:

$2r = a + b - c$

Диаметр вписанной окружности $d$ равен $2r$, следовательно:

$d = a + b - c$

3. Сумма диаметров

Сложим диаметры описанной ($D$) и вписанной ($d$) окружностей:

$D + d = c + (a + b - c)$

$D + d = a + b$

Таким образом, мы доказали, что сумма диаметров описанной и вписанной окружностей равна сумме катетов прямоугольного треугольника.

Ответ: Сумма диаметров описанной и вписанной окружностей равна сумме катетов этого треугольника, что и требовалось доказать.