Номер 0.25, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.25. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $E$ так, что $BE : EC = 1 : 4$. Выразите векторы $\vec{AE}$ и $\vec{ED}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, равные $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно (рис. 0.3).

Рис. 0.3

Выражение вектора $\overrightarrow{AE}$

Вектор $\overrightarrow{AE}$ можно представить как сумму векторов по правилу треугольника: $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}$.
По условию задачи, $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$.
Точка $E$ делит сторону $BC$ в отношении $BE : EC = 1 : 4$. Это значит, что вектор $\overrightarrow{BE}$ составляет $\frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}$ часть от вектора $\overrightarrow{BC}$, так как они сонаправлены. То есть, $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$.
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на них, равны: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
По условию, $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$. Следовательно, $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{5}\vec{b}$.
Теперь подставим полученные выражения в исходную формулу для $\overrightarrow{AE}$:
$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$.
Ответ: $\overrightarrow{AE} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$.

Выражение вектора $\overrightarrow{ED}$

Вектор $\overrightarrow{ED}$ можно выразить, используя правило сложения векторов для пути $E \rightarrow C \rightarrow D$: $\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CD}$.
Из соотношения $BE : EC = 1 : 4$ следует, что вектор $\overrightarrow{EC}$ составляет $\frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$ от вектора $\overrightarrow{BC}$. Таким образом, $\overrightarrow{EC} = \frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$.
Так как $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$, то $\overrightarrow{EC} = \frac{4}{5}\vec{b}$.
В параллелограмме $ABCD$ вектор $\overrightarrow{CD}$ равен вектору $\overrightarrow{BA}$, который противоположен вектору $\overrightarrow{AB}$. Значит, $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{a}$.
Сложим найденные векторы:
$\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CD} = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.
В качестве проверки можно найти $\overrightarrow{ED}$ из треугольника $AED$: $\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE}$.
$\overrightarrow{ED} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) = \vec{b} - \vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b} = (1 - \frac{1}{5})\vec{b} - \vec{a} = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.
Результаты совпадают.
Ответ: $\overrightarrow{ED} = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.