Номер 0.29, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.29. Постройте треугольник, зная его угол, биссектрису и высоту, опущенную из вершины этого угла.

Анализ

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по заданному углу $\angle A = \alpha$, длине биссектрисы $l_a$, проведенной из вершины этого угла, и длине высоты $h_a$, опущенной из той же вершины. Пусть $A$ — вершина данного угла, $AH$ — высота, опущенная на сторону $BC$, а $AD$ — биссектриса угла $\angle A$. Точки $H$ и $D$ лежат на прямой, содержащей сторону $BC$. Высота $AH$, биссектриса $AD$ и отрезок $HD$ образуют прямоугольный треугольник $AHD$, в котором $\angle AHD = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AD = l_a$ и катет $AH = h_a$. Построение этого треугольника является первым и ключевым шагом решения. После его построения мы будем иметь вершину $A$, прямую, на которой лежит сторона $BC$, и положение биссектрисы $AD$. Стороны $AB$ и $AC$ можно будет построить, зная, что они образуют с биссектрисой $AD$ равные углы $\angle BAD = \angle CAD = \alpha/2$.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $AHD$ по гипотенузе $AD = l_a$ и катету $AH = h_a$. Для этого выполним следующие шаги:

а. Проведем произвольную прямую $m$, на которой будет лежать сторона $BC$ искомого треугольника.

б. Выберем на прямой $m$ произвольную точку $H$ и восставим в этой точке перпендикуляр к прямой $m$.

в. На этом перпендикуляре отложим отрезок $AH$, равный данной высоте $h_a$. Таким образом, мы определим положение вершины $A$.

г. Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом, равным длине биссектрисы $l_a$. Точка пересечения этой дуги с прямой $m$ даст нам точку $D$ — основание биссектрисы. (Для существования решения необходимо, чтобы $l_a \ge h_a$).

2. Теперь, имея вершину $A$ и биссектрису $AD$, построим стороны $AB$ и $AC$ треугольника:

а. Построим угол, равный данному углу $\alpha$, и разделим его пополам с помощью циркуля и линейки, чтобы получить угол $\alpha/2$.

б. От луча $AD$ по обе стороны отложим углы, равные $\alpha/2$. Для этого построим лучи, исходящие из точки $A$, так, чтобы $\angle BAD = \alpha/2$ и $\angle CAD = \alpha/2$.

3. Найдем вершины $B$ и $C$ треугольника:

а. Продолжим построенные лучи до их пересечения с прямой $m$.

б. Точка пересечения одного луча с прямой $m$ будет вершиной $B$.

в. Точка пересечения другого луча с прямой $m$ будет вершиной $C$.

4. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый треугольник $ABC$.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ по построению выполнены все условия задачи:

1. Высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, является отрезком $AH$, и ее длина равна заданной величине $h_a$.

2. Отрезок $AD$ соединяет вершину $A$ с точкой $D$ на стороне $BC$, и его длина равна заданной величине $l_a$. По построению, $\angle BAD = \angle CAD = \alpha/2$, следовательно, $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.

3. Угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение не при любых заданных значениях $\alpha, l_a, h_a$. Необходимы следующие условия:

1. Из построения прямоугольного треугольника $AHD$ следует, что его гипотенуза $l_a$ не может быть короче катета $h_a$. Следовательно, должно выполняться неравенство $l_a \ge h_a$.

2. Для того чтобы лучи $AB$ и $AC$ пересекли прямую $m$ и образовали невырожденный треугольник, они не должны быть ей параллельны. Прямая $m$ перпендикулярна высоте $AH$. Угол, который образует луч $AC$ с высотой $AH$, равен $\angle CAH = \angle CAD + \angle DAH = \alpha/2 + \angle DAH$. Из $\triangle AHD$ имеем $\angle DAH = \arccos(\frac{h_a}{l_a})$. Чтобы луч $AC$ пересек прямую $m$ с нужной стороны, угол $\angle CAH$ должен быть меньше $90^\circ$. Таким образом, должно выполняться условие $\alpha/2 + \arccos(\frac{h_a}{l_a}) < 90^\circ$.

Следовательно, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если $l_a \ge h_a$ и $\alpha/2 + \arccos(\frac{h_a}{l_a}) < 90^\circ$.

Ответ: Искомый треугольник строится путем первоначального построения прямоугольного треугольника по известной высоте $h_a$ (катет) и биссектрисе $l_a$ (гипотенуза). Это позволяет определить положение вершины $A$ и прямой, содержащей основание $BC$. Затем, отложив от построенной биссектрисы $AD$ в обе стороны углы, равные половине данного угла $\alpha$, находятся лучи $AB$ и $AC$. Точки их пересечения с прямой, содержащей основание, являются вершинами $B$ и $C$ треугольника.