Номер 0.32, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.32. Как построить треугольник, если заданы середины его сторон?

Для построения треугольника по заданным серединам его сторон используется свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Анализ

Пусть нам нужно построить треугольник $ABC$, и пусть точки $M$, $N$ и $P$ являются серединами его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.

Согласно свойству средней линии треугольника:

• Отрезок $MN$ является средней линией в $\triangle ABC$, следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
• Отрезок $NP$ является средней линией в $\triangle ABC$, следовательно, $NP \parallel AB$ и $NP = \frac{1}{2}AB$.
• Отрезок $PM$ является средней линией в $\triangle ABC$, следовательно, $PM \parallel BC$ и $PM = \frac{1}{2}BC$.

Из этих соотношений следует, что стороны искомого треугольника $ABC$ параллельны сторонам треугольника $MNP$, образованного заданными серединами. В частности:

• Сторона $AB$ проходит через точку $M$ и параллельна стороне $NP$.
• Сторона $BC$ проходит через точку $N$ и параллельна стороне $MP$.
• Сторона $AC$ проходит через точку $P$ и параллельна стороне $MN$.

Вершины искомого треугольника $A$, $B$ и $C$ являются точками пересечения этих прямых. На основе этого анализа можно сформулировать алгоритм построения.

Алгоритм построения

1. Соединить данные точки $M$, $N$ и $P$ отрезками, чтобы получить треугольник $MNP$.
2. Через точку $M$ провести прямую, параллельную отрезку $NP$.
3. Через точку $N$ провести прямую, параллельную отрезку $MP$.
4. Через точку $P$ провести прямую, параллельную отрезку $MN$.
5. Точки пересечения построенных трех прямых образуют вершины искомого треугольника $A$, $B$ и $C$.

Доказательство

Пусть $A$, $B$, $C$ — точки пересечения построенных прямых. Докажем, что $M$, $N$, $P$ — середины сторон треугольника $ABC$.

Рассмотрим четырехугольник $AMNP$. По построению, прямая $AB$ проходит через $M$ и параллельна $NP$, значит $AM \parallel NP$. Прямая $AC$ проходит через $P$ и параллельна $MN$, значит $AP \parallel MN$. Следовательно, $AMNP$ — параллелограмм.

Аналогично, рассмотрим четырехугольник $MBNP$. Прямая $AB$ проходит через $M$ и параллельна $NP$, значит $BM \parallel NP$. Прямая $BC$ проходит через $N$ и параллельна $MP$, значит $BN \parallel MP$. Следовательно, $MBNP$ — параллелограмм.

Также рассмотрим четырехугольник $MNCP$. Прямая $BC$ проходит через $N$ и параллельна $MP$, значит $NC \parallel MP$. Прямая $AC$ проходит через $P$ и параллельна $MN$, значит $PC \parallel MN$. Следовательно, $MNCP$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма (противоположные стороны равны) имеем:

• Из параллелограмма $AMNP$: $AM = NP$.
• Из параллелограмма $MBNP$: $MB = NP$.

Следовательно, $AM = MB$, что означает, что $M$ — середина стороны $AB$.

• Из параллелограмма $MBNP$: $BN = MP$.
• Из параллелограмма $MNCP$: $NC = MP$.

Следовательно, $BN = NC$, что означает, что $N$ — середина стороны $BC$.

• Из параллелограмма $AMNP$: $AP = MN$.
• Из параллелограмма $MNCP$: $PC = MN$.

Следовательно, $AP = PC$, что означает, что $P$ — середина стороны $AC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым, так как данные точки $M, N, P$ являются серединами его сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Для построения искомого треугольника необходимо через каждую из заданных точек (середин сторон) провести прямую, параллельную отрезку, соединяющему две другие заданные точки. Точки пересечения этих трех прямых и будут являться вершинами искомого треугольника.