Страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.24. В окружности длиной $12\pi$ см проведена хорда, равная 6 см. Найдите градусную меру меньшей дуги, стягиваемой хордой.

Для решения задачи необходимо сначала найти радиус окружности, а затем рассмотреть треугольник, образованный хордой и двумя радиусами, проведенными к ее концам.

1. Нахождение радиуса окружности.

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ – радиус окружности. Из условия известно, что $C = 12\pi$ см. Подставим это значение в формулу и найдем радиус:

$12\pi = 2\pi R$

Разделив обе части уравнения на $2\pi$, получим:

$R = \frac{12\pi}{2\pi} = 6$ см.

2. Анализ треугольника.

Пусть $O$ – центр окружности, а $AB$ – данная хорда. Длина хорды $AB$ равна 6 см. Проведем радиусы $OA$ и $OB$ к концам хорды. Длины радиусов равны $R$, то есть $OA = 6$ см и $OB = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Все его стороны равны:

$OA = OB = AB = 6$ см.

Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним.

3. Нахождение градусной меры дуги.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Угол $\angle AOB$ является центральным углом, опирающимся на хорду $AB$. Таким образом, $\angle AOB = 60^\circ$.

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Хорда стягивает две дуги. Меньшая дуга соответствует центральному углу $\angle AOB$. Следовательно, градусная мера меньшей дуги, стягиваемой хордой $AB$, равна $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

0.25. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $E$ так, что $BE : EC = 1 : 4$. Выразите векторы $\vec{AE}$ и $\vec{ED}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, равные $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно (рис. 0.3).

Рис. 0.3

Выражение вектора $\overrightarrow{AE}$

Вектор $\overrightarrow{AE}$ можно представить как сумму векторов по правилу треугольника: $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}$.
По условию задачи, $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$.
Точка $E$ делит сторону $BC$ в отношении $BE : EC = 1 : 4$. Это значит, что вектор $\overrightarrow{BE}$ составляет $\frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}$ часть от вектора $\overrightarrow{BC}$, так как они сонаправлены. То есть, $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$.
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на них, равны: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
По условию, $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$. Следовательно, $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{5}\vec{b}$.
Теперь подставим полученные выражения в исходную формулу для $\overrightarrow{AE}$:
$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$.
Ответ: $\overrightarrow{AE} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$.

Выражение вектора $\overrightarrow{ED}$

Вектор $\overrightarrow{ED}$ можно выразить, используя правило сложения векторов для пути $E \rightarrow C \rightarrow D$: $\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CD}$.
Из соотношения $BE : EC = 1 : 4$ следует, что вектор $\overrightarrow{EC}$ составляет $\frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$ от вектора $\overrightarrow{BC}$. Таким образом, $\overrightarrow{EC} = \frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$.
Так как $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$, то $\overrightarrow{EC} = \frac{4}{5}\vec{b}$.
В параллелограмме $ABCD$ вектор $\overrightarrow{CD}$ равен вектору $\overrightarrow{BA}$, который противоположен вектору $\overrightarrow{AB}$. Значит, $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{a}$.
Сложим найденные векторы:
$\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CD} = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.
В качестве проверки можно найти $\overrightarrow{ED}$ из треугольника $AED$: $\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE}$.
$\overrightarrow{ED} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) = \vec{b} - \vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b} = (1 - \frac{1}{5})\vec{b} - \vec{a} = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.
Результаты совпадают.
Ответ: $\overrightarrow{ED} = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.

0.26. Через вершину C параллелограмма ABCD проведена прямая, которая пересекается с продолжениями сторон AB и AD в точках E и K соответственно. Докажите, что $BE \cdot DK = BC \cdot DC$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом подобия треугольников. Построим чертеж, соответствующий условию задачи.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle EBC$ и $\triangle CDK$. Докажем, что они подобны.

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$. Точка $E$ лежит на продолжении стороны $AB$, значит, прямая $AE$ (и её часть $BE$) параллельна прямой $DC$. Прямая $EK$ является секущей для параллельных прямых $BE$ и $DC$. Следовательно, накрест лежащие углы при секущей равны: $\angle CEB = \angle KCD$.

2. В параллелограмме $ABCD$ также параллельны стороны $AD$ и $BC$. Точка $K$ лежит на продолжении стороны $AD$, поэтому прямая $AK$ параллельна прямой $BC$.

Рассмотрим параллельные прямые $AK \parallel BC$ и секущую $AE$. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$: $\angle KAE + \angle ABC = 180^\circ$. Углы $\angle ABC$ и $\angle CBE$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$: $\angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$. Из этих двух равенств следует, что $\angle CBE = \angle KAE$. Угол $\angle KAE$ совпадает с углом $\angle DAB$ параллелограмма.

Теперь рассмотрим параллельные прямые $AE \parallel DC$ и секущую $AK$. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$: $\angle EAD + \angle ADC = 180^\circ$, что то же самое, что и $\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$. Углы $\angle ADC$ и $\angle KDC$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$: $\angle ADC + \angle KDC = 180^\circ$. Сравнивая последние два равенства, получаем, что $\angle KDC = \angle DAB$.

Таким образом, мы установили, что $\angle CBE = \angle DAB$ и $\angle KDC = \angle DAB$. Отсюда следует, что $\angle CBE = \angle KDC$.

3. Мы нашли две пары равных углов в треугольниках $\triangle EBC$ и $\triangle CDK$:

$\angle CEB = \angle KCD$

$\angle CBE = \angle KDC$

Следовательно, треугольники $\triangle EBC$ и $\triangle CDK$ подобны по двум углам (признак подобия АА).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон. Стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны.

В $\triangle EBC$ сторона $BE$ лежит против угла $\angle BCE$. В $\triangle CDK$ сторона $DC$ лежит против угла $\angle CKD$. Так как $\angle BCE = \angle CKD$ (как третьи углы подобных треугольников), то $\frac{BE}{DC}$.

В $\triangle EBC$ сторона $BC$ лежит против угла $\angle CEB$. В $\triangle CDK$ сторона $DK$ лежит против угла $\angle KCD$. Так как $\angle CEB = \angle KCD$, то $\frac{BC}{DK}$.

Получаем пропорцию: $\frac{BE}{DC} = \frac{BC}{DK}$.

5. Применив основное свойство пропорции (правило крест-накрест), получим:

$BE \cdot DK = BC \cdot DC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BE \cdot DK = BC \cdot DC$ доказано на основе подобия треугольников $\triangle EBC$ и $\triangle CDK$.

0.27. Найдите третью сторону треугольника, если две стороны его равны $a$ и $b$, а площадь $0.5ab$.

Пусть две известные стороны треугольника равны $a$ и $b$, а угол между ними — $\gamma$. Площадь такого треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} a b \sin(\gamma)$.

По условию задачи, площадь треугольника равна $0.5ab$, или, что то же самое, $\frac{1}{2}ab$. Приравняем это значение к формуле площади: $\frac{1}{2} a b \sin(\gamma) = \frac{1}{2} a b$.

Поскольку $a$ и $b$ являются длинами сторон треугольника, их значения положительны ($a>0$, $b>0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\frac{1}{2}ab$, не меняя его смысла: $\sin(\gamma) = 1$.

Угол в треугольнике может быть в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственный угол в этом диапазоне, синус которого равен 1, это $\gamma = 90^\circ$. Это означает, что угол между сторонами $a$ и $b$ является прямым, а сам треугольник — прямоугольный. Стороны $a$ и $b$ являются его катетами.

Третью сторону $c$ (гипотенузу) можно найти по теореме Пифагора, которая для прямоугольного треугольника гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

Также можно использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$. Подставляя $\gamma = 90^\circ$ и зная, что $\cos(90^\circ) = 0$, получаем: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим длину третьей стороны: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Ответ: $\sqrt{a^2 + b^2}$.

0.28. Угол колебания маятника настенных часов равен $36^\circ$, а длина дуги, которую проделывает конец маятника, равна 24 см. Найдите длину маятника.

Для решения этой задачи рассмотрим движение маятника. Конец маятника движется по дуге окружности. Длина маятника является радиусом ($R$) этой окружности, угол колебания — это центральный угол ($α$), а путь, который проделывает конец маятника — это длина дуги ($L$).

По условию задачи нам даны:

• Угол колебания $α = 36°$.
• Длина дуги $L = 24$ см.

Нужно найти длину маятника $R$.

Для нахождения длины дуги окружности используется формула, связывающая радиус, центральный угол в градусах и длину дуги:

$L = \frac{π R α}{180°}$

Чтобы найти длину маятника ($R$), выразим её из этой формулы:

$R = \frac{L \cdot 180°}{π \cdot α}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу:

$R = \frac{24 \cdot 180°}{π \cdot 36°}$

Выполним вычисления. Сначала можно сократить градусы и числовые значения:

$R = \frac{24}{π} \cdot \frac{180}{36}$

Поскольку $\frac{180}{36} = 5$, получаем:

$R = \frac{24 \cdot 5}{π} = \frac{120}{π}$

Таким образом, длина маятника равна $\frac{120}{π}$ сантиметров.

Ответ: $\frac{120}{π}$ см.

0.29. Постройте треугольник, зная его угол, биссектрису и высоту, опущенную из вершины этого угла.

Анализ

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по заданному углу $\angle A = \alpha$, длине биссектрисы $l_a$, проведенной из вершины этого угла, и длине высоты $h_a$, опущенной из той же вершины. Пусть $A$ — вершина данного угла, $AH$ — высота, опущенная на сторону $BC$, а $AD$ — биссектриса угла $\angle A$. Точки $H$ и $D$ лежат на прямой, содержащей сторону $BC$. Высота $AH$, биссектриса $AD$ и отрезок $HD$ образуют прямоугольный треугольник $AHD$, в котором $\angle AHD = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AD = l_a$ и катет $AH = h_a$. Построение этого треугольника является первым и ключевым шагом решения. После его построения мы будем иметь вершину $A$, прямую, на которой лежит сторона $BC$, и положение биссектрисы $AD$. Стороны $AB$ и $AC$ можно будет построить, зная, что они образуют с биссектрисой $AD$ равные углы $\angle BAD = \angle CAD = \alpha/2$.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $AHD$ по гипотенузе $AD = l_a$ и катету $AH = h_a$. Для этого выполним следующие шаги:

а. Проведем произвольную прямую $m$, на которой будет лежать сторона $BC$ искомого треугольника.

б. Выберем на прямой $m$ произвольную точку $H$ и восставим в этой точке перпендикуляр к прямой $m$.

в. На этом перпендикуляре отложим отрезок $AH$, равный данной высоте $h_a$. Таким образом, мы определим положение вершины $A$.

г. Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом, равным длине биссектрисы $l_a$. Точка пересечения этой дуги с прямой $m$ даст нам точку $D$ — основание биссектрисы. (Для существования решения необходимо, чтобы $l_a \ge h_a$).

2. Теперь, имея вершину $A$ и биссектрису $AD$, построим стороны $AB$ и $AC$ треугольника:

а. Построим угол, равный данному углу $\alpha$, и разделим его пополам с помощью циркуля и линейки, чтобы получить угол $\alpha/2$.

б. От луча $AD$ по обе стороны отложим углы, равные $\alpha/2$. Для этого построим лучи, исходящие из точки $A$, так, чтобы $\angle BAD = \alpha/2$ и $\angle CAD = \alpha/2$.

3. Найдем вершины $B$ и $C$ треугольника:

а. Продолжим построенные лучи до их пересечения с прямой $m$.

б. Точка пересечения одного луча с прямой $m$ будет вершиной $B$.

в. Точка пересечения другого луча с прямой $m$ будет вершиной $C$.

4. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый треугольник $ABC$.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ по построению выполнены все условия задачи:

1. Высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, является отрезком $AH$, и ее длина равна заданной величине $h_a$.

2. Отрезок $AD$ соединяет вершину $A$ с точкой $D$ на стороне $BC$, и его длина равна заданной величине $l_a$. По построению, $\angle BAD = \angle CAD = \alpha/2$, следовательно, $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.

3. Угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение не при любых заданных значениях $\alpha, l_a, h_a$. Необходимы следующие условия:

1. Из построения прямоугольного треугольника $AHD$ следует, что его гипотенуза $l_a$ не может быть короче катета $h_a$. Следовательно, должно выполняться неравенство $l_a \ge h_a$.

2. Для того чтобы лучи $AB$ и $AC$ пересекли прямую $m$ и образовали невырожденный треугольник, они не должны быть ей параллельны. Прямая $m$ перпендикулярна высоте $AH$. Угол, который образует луч $AC$ с высотой $AH$, равен $\angle CAH = \angle CAD + \angle DAH = \alpha/2 + \angle DAH$. Из $\triangle AHD$ имеем $\angle DAH = \arccos(\frac{h_a}{l_a})$. Чтобы луч $AC$ пересек прямую $m$ с нужной стороны, угол $\angle CAH$ должен быть меньше $90^\circ$. Таким образом, должно выполняться условие $\alpha/2 + \arccos(\frac{h_a}{l_a}) < 90^\circ$.

Следовательно, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если $l_a \ge h_a$ и $\alpha/2 + \arccos(\frac{h_a}{l_a}) < 90^\circ$.

Ответ: Искомый треугольник строится путем первоначального построения прямоугольного треугольника по известной высоте $h_a$ (катет) и биссектрисе $l_a$ (гипотенуза). Это позволяет определить положение вершины $A$ и прямой, содержащей основание $BC$. Затем, отложив от построенной биссектрисы $AD$ в обе стороны углы, равные половине данного угла $\alpha$, находятся лучи $AB$ и $AC$. Точки их пересечения с прямой, содержащей основание, являются вершинами $B$ и $C$ треугольника.

0.30. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Сформулируем утверждение в виде теоремы и докажем его.

Теорема: Если две стороны и медиана, проведенная к одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к соответствующей стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:
Два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
$AB = A_1B_1$.
$AC = A_1C_1$.
$BM$ – медиана к стороне $AC$.
$B_1M_1$ – медиана к стороне $A_1C_1$.
$BM = B_1M_1$.

Доказать:
$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Так как $BM$ – медиана, проведенная к стороне $AC$, то точка $M$ делит сторону $AC$ пополам. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AC$.
2. Аналогично, так как $B_1M_1$ – медиана, проведенная к стороне $A_1C_1$, то $M_1$ – середина $A_1C_1$, и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.
3. В условии дано, что $AC = A_1C_1$. Отсюда следует, что и половины этих сторон равны: $AM = A_1M_1$.
4. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. У них:
• $AB = A_1B_1$ (по условию),
• $BM = B_1M_1$ (по условию),
• $AM = A_1M_1$ (доказано в п. 3).
5. Таким образом, $\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
6. Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует равенство их соответственных углов. В частности, $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$. Так как луч $AM$ совпадает с лучом $AC$, а луч $A_1M_1$ с $A_1C_1$, то $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.
7. Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. У них:
• $AB = A_1B_1$ (по условию),
• $AC = A_1C_1$ (по условию),
• $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (доказано в п. 6).
8. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон, доказано. Доказательство основано на рассмотрении вспомогательного треугольника, образованного одной из данных сторон, медианой и половиной второй данной стороны. Равенство этих вспомогательных треугольников (по третьему признаку SSS) позволяет установить равенство углов между данными сторонами в исходных треугольниках, что, в свою очередь, доказывает их равенство по первому признаку (SAS).

0.31. Диагональ трапеции делит трапецию на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, основаниями которых являются ее боковые стороны, равновелики.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC и AD — основания (BC || AD), а AB и CD — боковые стороны. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. При этом образуются четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Требуется доказать, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам (в условии они названы треугольниками, основаниями которых являются боковые стороны), равновелики, то есть их площади равны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. У них общее основание AD. Высоты этих треугольников, проведенные из вершин B и C к основанию AD, равны между собой, так как они обе равны высоте трапеции (поскольку прямая BC, содержащая вершины B и C, параллельна прямой AD).

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Так как у треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ общее основание и равные высоты, то их площади равны:$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.

Площадь треугольника $\triangle ABD$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$:$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$.

Аналогично, площадь треугольника $\triangle ACD$ является суммой площадей треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOD$:$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$.

Поскольку $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$, мы можем приравнять правые части этих выражений:$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$.

Вычитая из обеих частей равенства общую для них площадь треугольника $\triangle AOD$, получаем требуемое равенство:$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$.

Таким образом, доказано, что треугольники, основаниями которых являются боковые стороны трапеции, равновелики.

Ответ: Утверждение доказано. Площади треугольников, образованных пересечением диагоналей и прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны.

0.32. Как построить треугольник, если заданы середины его сторон?

Для построения треугольника по заданным серединам его сторон используется свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Анализ

Пусть нам нужно построить треугольник $ABC$, и пусть точки $M$, $N$ и $P$ являются серединами его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.

Согласно свойству средней линии треугольника:

• Отрезок $MN$ является средней линией в $\triangle ABC$, следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
• Отрезок $NP$ является средней линией в $\triangle ABC$, следовательно, $NP \parallel AB$ и $NP = \frac{1}{2}AB$.
• Отрезок $PM$ является средней линией в $\triangle ABC$, следовательно, $PM \parallel BC$ и $PM = \frac{1}{2}BC$.

Из этих соотношений следует, что стороны искомого треугольника $ABC$ параллельны сторонам треугольника $MNP$, образованного заданными серединами. В частности:

• Сторона $AB$ проходит через точку $M$ и параллельна стороне $NP$.
• Сторона $BC$ проходит через точку $N$ и параллельна стороне $MP$.
• Сторона $AC$ проходит через точку $P$ и параллельна стороне $MN$.

Вершины искомого треугольника $A$, $B$ и $C$ являются точками пересечения этих прямых. На основе этого анализа можно сформулировать алгоритм построения.

Алгоритм построения

1. Соединить данные точки $M$, $N$ и $P$ отрезками, чтобы получить треугольник $MNP$.
2. Через точку $M$ провести прямую, параллельную отрезку $NP$.
3. Через точку $N$ провести прямую, параллельную отрезку $MP$.
4. Через точку $P$ провести прямую, параллельную отрезку $MN$.
5. Точки пересечения построенных трех прямых образуют вершины искомого треугольника $A$, $B$ и $C$.

Доказательство

Пусть $A$, $B$, $C$ — точки пересечения построенных прямых. Докажем, что $M$, $N$, $P$ — середины сторон треугольника $ABC$.

Рассмотрим четырехугольник $AMNP$. По построению, прямая $AB$ проходит через $M$ и параллельна $NP$, значит $AM \parallel NP$. Прямая $AC$ проходит через $P$ и параллельна $MN$, значит $AP \parallel MN$. Следовательно, $AMNP$ — параллелограмм.

Аналогично, рассмотрим четырехугольник $MBNP$. Прямая $AB$ проходит через $M$ и параллельна $NP$, значит $BM \parallel NP$. Прямая $BC$ проходит через $N$ и параллельна $MP$, значит $BN \parallel MP$. Следовательно, $MBNP$ — параллелограмм.

Также рассмотрим четырехугольник $MNCP$. Прямая $BC$ проходит через $N$ и параллельна $MP$, значит $NC \parallel MP$. Прямая $AC$ проходит через $P$ и параллельна $MN$, значит $PC \parallel MN$. Следовательно, $MNCP$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма (противоположные стороны равны) имеем:

• Из параллелограмма $AMNP$: $AM = NP$.
• Из параллелограмма $MBNP$: $MB = NP$.

Следовательно, $AM = MB$, что означает, что $M$ — середина стороны $AB$.

• Из параллелограмма $MBNP$: $BN = MP$.
• Из параллелограмма $MNCP$: $NC = MP$.

Следовательно, $BN = NC$, что означает, что $N$ — середина стороны $BC$.

• Из параллелограмма $AMNP$: $AP = MN$.
• Из параллелограмма $MNCP$: $PC = MN$.

Следовательно, $AP = PC$, что означает, что $P$ — середина стороны $AC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым, так как данные точки $M, N, P$ являются серединами его сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Для построения искомого треугольника необходимо через каждую из заданных точек (середин сторон) провести прямую, параллельную отрезку, соединяющему две другие заданные точки. Точки пересечения этих трех прямых и будут являться вершинами искомого треугольника.

0.33. В прямоугольном треугольнике один из углов равен среднему арифметическому двух других углов. Найдите катеты этого треугольника, если его гипотенуза равна $c$.

Пусть углы данного прямоугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Поскольку треугольник прямоугольный, один из его углов равен $90^\circ$. Пусть это будет угол $\gamma$, то есть $\gamma = 90^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Подставив значение $\gamma$, получим $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, откуда следует, что сумма двух острых углов $\alpha + \beta = 90^\circ$.

По условию задачи, один из углов равен среднему арифметическому двух других. Рассмотрим все возможные случаи:

1. Прямой угол $\gamma$ является средним арифметическим двух острых углов $\alpha$ и $\beta$.
В этом случае: $\gamma = \frac{\alpha + \beta}{2}$.
Подставим известные значения: $90^\circ = \frac{\alpha + \beta}{2}$, откуда $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Это противоречит ранее полученному выводу, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Следовательно, этот вариант невозможен.

2. Один из острых углов (например, $\alpha$) является средним арифметическим прямого угла $\gamma$ и другого острого угла $\beta$.
В этом случае: $\alpha = \frac{\beta + \gamma}{2}$.
Мы знаем, что $\gamma = 90^\circ$ и $\beta = 90^\circ - \alpha$. Подставим эти выражения в формулу:
$\alpha = \frac{(90^\circ - \alpha) + 90^\circ}{2}$
$\alpha = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$
$2\alpha = 180^\circ - \alpha$
$3\alpha = 180^\circ$
$\alpha = 60^\circ$
Тогда второй острый угол $\beta$ будет равен: $\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Таким образом, углы треугольника равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.

Теперь нам нужно найти катеты этого треугольника, зная, что его гипотенуза равна $c$. Обозначим катеты как $a$ и $b$. Катет $a$ пусть лежит напротив угла в $30^\circ$, а катет $b$ — напротив угла в $60^\circ$.

Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла.
Для катета $a$, противолежащего углу $30^\circ$:
$a = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$
Для катета $b$, противолежащего углу $60^\circ$:
$b = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

Ответ: катеты этого треугольника равны $\frac{c}{2}$ и $\frac{c\sqrt{3}}{2}$.

0.34. Докажите формулу Герона, используя теорему Пифагора.

Для доказательства формулы Герона рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к стороне $AB$. Обозначим длину высоты как $h$. Точка $H$ делит сторону $AB$ на два отрезка. Обозначим длину отрезка $AH$ как $x$, тогда длина отрезка $HB$ будет равна $c-x$.

Высота $CH$ делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$. Применим к каждому из них теорему Пифагора:

В $\triangle AHC$: $h^2 + x^2 = b^2$ (1)

В $\triangle BHC$: $h^2 + (c-x)^2 = a^2$ (2)

Выразим $h^2$ из обоих уравнений:

Из (1): $h^2 = b^2 - x^2$

Из (2): $h^2 = a^2 - (c-x)^2 = a^2 - (c^2 - 2cx + x^2) = a^2 - c^2 + 2cx - x^2$

Приравняем правые части этих выражений, чтобы найти $x$:$b^2 - x^2 = a^2 - c^2 + 2cx - x^2$

$b^2 = a^2 - c^2 + 2cx$

$2cx = b^2 - a^2 + c^2$

$x = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}$

Теперь подставим найденное выражение для $x$ в формулу для $h^2$ из уравнения (1):$h^2 = b^2 - x^2 = b^2 - \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right)^2$

Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:$h^2 = \left(b - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right) \left(b + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right)$

Приведем к общему знаменателю выражения в скобках:$h^2 = \left(\frac{2bc - (b^2 + c^2 - a^2)}{2c}\right) \left(\frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right)$

$h^2 = \left(\frac{2bc - b^2 - c^2 + a^2}{2c}\right) \left(\frac{(b^2 + 2bc + c^2) - a^2}{2c}\right)$

Перегруппируем слагаемые в числителях и выделим полные квадраты:$h^2 = \left(\frac{a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)}{2c}\right) \left(\frac{(b+c)^2 - a^2}{2c}\right)$

$h^2 = \left(\frac{a^2 - (b-c)^2}{2c}\right) \left(\frac{(b+c)^2 - a^2}{2c}\right)$

Еще раз применим формулу разности квадратов к числителям:$h^2 = \frac{(a-(b-c))(a+(b-c))((b+c)-a)((b+c)+a)}{4c^2}$

$h^2 = \frac{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)}{4c^2}$

Теперь введем полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда $2p = a+b+c$. Выразим множители в числителе через $p$:

$a+b+c = 2p$

$a+b-c = (a+b+c) - 2c = 2p - 2c = 2(p-c)$

$a-b+c = (a+b+c) - 2b = 2p - 2b = 2(p-b)$

$b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2p - 2a = 2(p-a)$

Подставим эти выражения в формулу для $h^2$:$h^2 = \frac{2(p-b) \cdot 2(p-c) \cdot 2(p-a) \cdot 2p}{4c^2} = \frac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{4c^2}$

$h^2 = \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $h$:$h = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае основание равно $c$, а высота — $h$.$S = \frac{1}{2}ch = \frac{1}{2}c \cdot \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$

Сократив $c$ и $2$, получаем искомую формулу Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника, доказана с использованием теоремы Пифагора и алгебраических преобразований.

0.35. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно $a$, а высота, проведенная к боковой стороне, равна $h$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = a$, а боковые стороны $AB = BC = b$. Пусть $AK = h$ — высота, проведенная к боковой стороне $BC$. Площадь треугольника $S$ можно найти несколькими способами.

1. Выражение площади через высоту к боковой стороне.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Используя боковую сторону $BC=b$ в качестве основания и высоту $AK=h$, получаем:$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK = \frac{1}{2} b h$
Из этого выражения мы можем выразить боковую сторону $b$:$b = \frac{2S}{h}$

2. Выражение площади через высоту к основанию.
Проведем высоту $BH'$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AH' = H'C = \frac{a}{2}$.Площадь треугольника также можно выразить как:$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH' = \frac{1}{2} a \cdot BH'$
Отсюда выразим высоту $BH'$:$BH' = \frac{2S}{a}$

3. Использование теоремы Пифагора.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BH'C$. По теореме Пифагора:$BC^2 = BH'^2 + H'C^2$$b^2 = (BH')^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

4. Решение уравнения относительно площади S.
Подставим выражения для $b$ и $BH'$ из шагов 1 и 2 в уравнение теоремы Пифагора:$\left(\frac{2S}{h}\right)^2 = \left(\frac{2S}{a}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы найти $S$:$\frac{4S^2}{h^2} = \frac{4S^2}{a^2} + \frac{a^2}{4}$

Перенесем члены, содержащие $S^2$, в одну сторону:$\frac{4S^2}{h^2} - \frac{4S^2}{a^2} = \frac{a^2}{4}$

Вынесем $4S^2$ за скобки:$4S^2 \left(\frac{1}{h^2} - \frac{1}{a^2}\right) = \frac{a^2}{4}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:$4S^2 \left(\frac{a^2 - h^2}{a^2 h^2}\right) = \frac{a^2}{4}$

Выразим $S^2$:$S^2 = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{a^2 h^2}{4(a^2 - h^2)} = \frac{a^4 h^2}{16(a^2 - h^2)}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти площадь $S$. Так как площадь является положительной величиной, берем положительное значение корня:$S = \sqrt{\frac{a^4 h^2}{16(a^2 - h^2)}} = \frac{\sqrt{a^4 h^2}}{\sqrt{16(a^2 - h^2)}} = \frac{a^2 h}{4\sqrt{a^2 - h^2}}$

Следует отметить, что данная формула имеет смысл только при $a^2 - h^2 > 0$, то есть $a > h$. В треугольнике $AKC$, угол $\angle AKC$ является прямым, а сторона $AC=a$ — гипотенузой, катет $AK=h$. Следовательно, $a > h$ всегда выполняется для невырожденного треугольника.

Ответ: $S = \frac{a^2 h}{4\sqrt{a^2 - h^2}}$