Страница 10 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.7. По двум сторонам и углу между ними найдите площадь:

а) параллелограмма;

б) треугольника, если:

1) $a = 2$ м, $b = 3$ м, $\alpha = 30^{\circ}$;

2) $a = 4$ см, $b = 2\sqrt{3}$ см, $\alpha = 60^{\circ}$;

3) $a = 2$ м, $b = \sqrt{2}$ м, $\alpha = 45^{\circ}$.

Для решения задачи используются формулы площади параллелограмма и треугольника через две стороны и угол между ними.

Площадь параллелограмма: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

1) Для данных $a = 2$ м, $b = 3$ м, $\alpha = 30°$:

а)параллелограмма;
Подставляем значения в формулу площади параллелограмма:
$S = 2 \cdot 3 \cdot \sin(30°) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ м².
Ответ: 3 м².

б) треугольника,
Подставляем значения в формулу площади треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin(30°) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5$ м².
Ответ: 1,5 м².

2) Для данных $a = 4$ см, $b = 2\sqrt{3}$ см, $\alpha = 60°$:

а)параллелограмма;
Подставляем значения в формулу площади параллелограмма:
$S = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(60°) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12$ см².
Ответ: 12 см².

б) треугольника,
Подставляем значения в формулу площади треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(60°) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot 3 = 6$ см².
Ответ: 6 см².

3) Для данных $a = 2$ м, $b = \sqrt{2}$ м, $\alpha = 45°$:

а)параллелограмма;
Подставляем значения в формулу площади параллелограмма:
$S = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin(45°) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$ м².
Ответ: 2 м².

б) треугольника,
Подставляем значения в формулу площади треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin(45°) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ м².
Ответ: 1 м².

0.8. Найдите площадь ромба, сторона и одна из диагоналей которого равны 6 см.

Пусть дан ромб, у которого сторона $a$ и одна из диагоналей, назовем ее $d_1$, равны 6 см. То есть, $a = 6 \text{ см}$ и $d_1 = 6 \text{ см}$.
Требуется найти площадь ромба $S$.

Для наглядности представим этот ромб:

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: через площадь треугольников
Диагональ ромба делит его на два одинаковых (конгруэнтных) треугольника. В нашем случае диагональ $d_1=6 \text{ см}$ и две прилежащие к ней стороны $a=6 \text{ см}$ образуют треугольник со сторонами 6, 6 и 6 см.
Этот треугольник является равносторонним. Площадь ромба равна удвоенной площади этого равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
Подставим значение стороны $a=6 \text{ см}$:
$S_{\triangle} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \text{ см}^2$
Площадь всего ромба равна:
$S_{ромб} = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 9 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3} \text{ см}^2$

Способ 2: через диагонали
Площадь ромба можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей $d_1$ и $d_2$:
$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$
Мы знаем, что $d_1 = 6 \text{ см}$. Нам нужно найти вторую диагональ $d_2$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
Гипотенузой каждого такого треугольника является сторона ромба $a=6 \text{ см}$, а катетами — половины диагоналей: $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.
Один из катетов равен $\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$.
По теореме Пифагора:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$
Подставим известные значения:
$3^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 6^2$
$9 + (\frac{d_2}{2})^2 = 36$
$(\frac{d_2}{2})^2 = 36 - 9 = 27$
$\frac{d_2}{2} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \text{ см}$
Отсюда вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}$.
Теперь вычислим площадь ромба:
$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $18\sqrt{3} \text{ см}^2$.

0.9. Дан параллелограмм $ABCD$. Точки $E$ и $N$ – середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Выразите векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AN}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Для решения задачи воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника) и свойствами векторов в параллелограмме. Для наглядности изобразим параллелограмм ABCD с заданными точками и векторами.

Выразим вектор $\vec{AE}$

Вектор $\vec{AE}$ можно представить как сумму векторов по правилу треугольника: $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$.
По условию задачи нам дано, что $\vec{AB} = \vec{a}$.
Точка E является серединой стороны BC, следовательно, вектор $\vec{BE}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$. Математически это записывается как $\vec{BE} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.
Так как ABCD — это параллелограмм, его противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Из условия мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{b}$. Таким образом, $\vec{BC} = \vec{b}$.
Подставим это в выражение для $\vec{BE}$: $\vec{BE} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
Теперь мы можем собрать все части вместе и выразить $\vec{AE}$:
$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.
Ответ: $\vec{AE} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

Выразим вектор $\vec{AN}$

Аналогично, для вектора $\vec{AN}$ воспользуемся правилом треугольника: $\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN}$.
По условию задачи, $\vec{AD} = \vec{b}$.
Точка N является серединой стороны CD, поэтому вектор $\vec{DN}$ равен половине вектора $\vec{DC}$: $\vec{DN} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.
В параллелограмме ABCD противоположные стороны AB и DC равны и сонаправлены, значит $\vec{DC} = \vec{AB}$.
Из условия мы знаем, что $\vec{AB} = \vec{a}$. Следовательно, $\vec{DC} = \vec{a}$.
Подставляем это в выражение для $\vec{DN}$: $\vec{DN} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
Теперь соберем все части для выражения $\vec{AN}$:
$\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$.
Ответ: $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$.

0.10. В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\angle A = 30^{\circ}$, $AB = 2\sqrt{2}$ см, $CD$ — медиана. Вычислите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{CD} \cdot \vec{AB}$

2) $\vec{CD} \cdot \vec{CB}$

3) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ (рис. 0.2).

В задаче дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Известны гипотенуза $AB = 2\sqrt{2}$ см, угол $\angle A = 30°$, и то, что $CD$ — медиана, проведенная к гипотенузе.

Прежде чем вычислять скалярные произведения, найдем длины катетов и медианы, а также углы треугольника.

1. Углы треугольника:
Сумма углов в треугольнике равна $180°$.
$\angle C = 90°$, $\angle A = 30°$.
Следовательно, $\angle B = 180° - 90° - 30° = 60°$.

2. Длины катетов:
Катет $BC$ лежит против угла в $30°$, поэтому он равен половине гипотенузы:
$BC = AB \cdot \sin(30°) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}$ см.
Катет $AC$ найдем по теореме Пифагора или через косинус угла $A$:
$AC = AB \cdot \cos(30°) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}$ см.

3. Длина медианы:
Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы.
$CD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$ см.
Также, $D$ — середина $AB$, поэтому $AD = DB = \frac{1}{2} AB = \sqrt{2}$ см.

Теперь перейдем к вычислению скалярных произведений.

1) $\vec{CD} \cdot \vec{AB}$
Для нахождения этого скалярного произведения воспользуемся векторной алгеброй. Вектор медианы $\vec{CD}$ можно выразить через векторы сторон, выходящих из той же вершины $C$: $\vec{CD} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$. Вектор стороны $\vec{AB}$ можно выразить как разность векторов: $\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}$.
Теперь вычислим их скалярное произведение:
$\vec{CD} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) \cdot (\vec{CB} - \vec{CA})$
Это произведение является разностью квадратов векторов:
$\vec{CD} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}((\vec{CB})^2 - (\vec{CA})^2) = \frac{1}{2}(|\vec{CB}|^2 - |\vec{CA}|^2)$
Подставим длины катетов $BC = \sqrt{2}$ и $AC = \sqrt{6}$:
$\vec{CD} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}((\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2) = \frac{1}{2}(2 - 6) = \frac{1}{2}(-4) = -2$.
Ответ: -2

2) $\vec{CD} \cdot \vec{CB}$
Для вычисления этого произведения рассмотрим треугольник $CDB$. Мы знаем длины его сторон:
$CD = \sqrt{2}$ см (длина медианы).
$CB = \sqrt{2}$ см (длина катета).
$DB = \sqrt{2}$ см (половина гипотенузы).
Поскольку все стороны треугольника $CDB$ равны, он является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60°$.
Таким образом, угол между векторами $\vec{CD}$ и $\vec{CB}$ равен $\angle DCB = 60°$.
Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними:
$\vec{CD} \cdot \vec{CB} = |\vec{CD}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(\angle DCB)$
Подставим известные значения:
$\vec{CD} \cdot \vec{CB} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(60°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: 1

3) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$
Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ по определению равно $|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между ними. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол $\angle A = 30°$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle A)$
Подставим известные значения длин сторон и угла:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6}) \cdot \cos(30°) = 2\sqrt{12} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
Альтернативный способ: разложим вектор $\vec{AB}$ на сумму векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$: $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (\vec{AC} + \vec{CB}) \cdot \vec{AC} = \vec{AC} \cdot \vec{AC} + \vec{CB} \cdot \vec{AC}$.
Поскольку угол $C$ прямой, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ ортогональны (перпендикулярны), и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{CB} \cdot \vec{AC} = 0$.
Тогда $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}|^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$.
Ответ: 6

0.11. Один из катетов прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиусом 50 м, равен 60 м. Найдите второй катет треугольника.

Основное свойство прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, заключается в том, что его гипотенуза является диаметром этой окружности. Это следует из того, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда является прямым (равен 90°).

По условию задачи, радиус окружности $R = 50 \text{ м}$. Гипотенуза треугольника $c$ равна диаметру окружности $d$:
$c = d = 2 \times R = 2 \times 50 \text{ м} = 100 \text{ м}$.

Теперь, зная гипотенузу $c = 100 \text{ м}$ и один из катетов $a = 60 \text{ м}$, мы можем найти второй катет $b$ с помощью теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Выразим неизвестный катет $b$ из формулы и подставим значения:
$b^2 = c^2 - a^2$
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{100^2 - 60^2}$
$b = \sqrt{10000 - 3600} = \sqrt{6400}$
$b = 80 \text{ м}$

Ответ: второй катет треугольника равен 80 м.