Страница 9 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.1. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см, основание – 18 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Равнобедренный треугольник имеет две равные по длине стороны, которые называются боковыми, и третью сторону — основание.

Пусть $a$ — длина основания, а $b$ — длина боковой стороны. Тогда периметр $P$ равнобедренного треугольника можно найти по формуле:
$P = a + b + b = a + 2b$

Согласно условию задачи:
Периметр $P = 48$ см
Основание $a = 18$ см

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти сумму длин двух боковых сторон:
$48 = 18 + 2b$
$2b = 48 - 18$
$2b = 30$ см

Поскольку боковые стороны равны, для нахождения длины одной боковой стороны разделим их сумму на 2:
$b = \frac{30}{2}$
$b = 15$ см

Ответ: 15 см.

0.2. Найдите углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна $300^\circ$.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Они делятся на две пары равных между собой вертикальных углов. Смежные углы, то есть углы, имеющие общую сторону, в сумме дают $180^\circ$.

Пусть одна пара равных вертикальных углов равна $α$, а вторая пара — $β$. Тогда все четыре угла — это $α, β, α, β$. Сумма всех четырех углов, образующих полный круг, равна $360^\circ$.

$α + β + α + β = 2α + 2β = 360^\circ$

По условию, сумма трех из этих углов равна $300^\circ$. Сумма всех четырех углов равна $360^\circ$. Следовательно, мы можем найти величину четвертого угла, вычтя сумму трех из общей суммы:

Четвертый угол = $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, один из углов равен $60^\circ$. Пусть это будет угол $β$. Значит, $β = 60^\circ$. Так как в одной паре вертикальные углы равны, то у нас есть два угла по $60^\circ$.

Другой угол, $α$, является смежным к углу $β$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$α + β = 180^\circ$

Отсюда находим $α$:

$α = 180^\circ - β = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Вторая пара вертикальных углов также равна $120^\circ$.

В результате мы получили две пары углов: два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

Проверим, выполняется ли условие задачи. Сумма трех углов должна быть $300^\circ$. Если мы возьмем два угла по $120^\circ$ и один угол $60^\circ$, их сумма будет:

$120^\circ + 120^\circ + 60^\circ = 300^\circ$.

Условие выполняется.

Ответ: Два угла равны $60^\circ$ и два угла равны $120^\circ$.

0.3. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Докажите, что $\triangle AOD = \triangle BOC$.

Дано:

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$.

$AO = OB$ (точка $O$ — середина отрезка $AB$).

$CO = OD$ (точка $O$ — середина отрезка $CD$).

Доказать:

$\triangle AOD = \triangle BOC$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $AOD$ и $BOC$. Для доказательства их равенства воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Сторона $AO$ треугольника $AOD$ равна стороне $BO$ треугольника $BOC$ по условию задачи ($AO = OB$).

2. Сторона $DO$ треугольника $AOD$ равна стороне $CO$ треугольника $BOC$ по условию задачи ($DO = OC$).

3. Угол $\angle AOD$ равен углу $\angle BOC$ ($\angle AOD = \angle BOC$), так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $AB$ и $CD$.

Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника ($AO$, $DO$ и $\angle AOD$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($BO$, $CO$ и $\angle BOC$), то эти треугольники равны.

Следовательно, $\triangle AOD = \triangle BOC$ по первому признаку равенства треугольников (СУС - сторона, угол, сторона).

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Равенство треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ доказано. В треугольниках $AOD$ и $BOC$: стороны $AO = BO$ и $DO = CO$ по условию; углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ равны как вертикальные. Таким образом, $\triangle AOD = \triangle BOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

0.4. Какую фигуру можно построить, последовательно соединяя середины сторон:

1) треугольника;

2) прямоугольника;

3) ромба;

4) квадрата?

Обоснуйте ответ.

1) треугольника
Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CA$ как $F, D, E$ соответственно. Фигура, полученная последовательным соединением точек $D, E, F$, является треугольником $DEF$. Этот треугольник называют срединным треугольником. Его стороны являются средними линиями исходного треугольника. По теореме о средней линии, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. Например, $EF$ — средняя линия, поэтому $EF || BC$ и $EF = \frac{1}{2}BC$. Следовательно, полученная фигура — это треугольник, подобный исходному.
Ответ: треугольник.

2) прямоугольника
Согласно теореме Вариньона, четырёхугольник, вершины которого являются серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям исходного четырёхугольника и равны их половине. У прямоугольника диагонали равны. Пусть диагонали прямоугольника $ABCD$ это $AC$ и $BD$, тогда $AC = BD$. Фигура $MNPQ$, образованная серединами сторон, будет иметь стороны $MN = PQ = \frac{1}{2}AC$ и $NP = MQ = \frac{1}{2}BD$. Так как $AC=BD$, то все стороны параллелограмма $MNPQ$ равны: $MN = NP = PQ = QM$. Параллелограмм с равными сторонами — это ромб.
Ответ: ромб.

3) ромба
Как и в предыдущем пункте, воспользуемся теоремой Вариньона. Фигура, образованная серединами сторон ромба, является параллелограммом. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям исходного ромба. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как стороны полученного параллелограмма $MNPQ$ параллельны диагоналям ($MN || AC$, $MQ || BD$), то смежные стороны этого параллелограмма также будут перпендикулярны ($MN \perp MQ$). Параллелограмм с прямыми углами — это прямоугольник.
Ответ: прямоугольник.

4) квадрата
Квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом. Поэтому фигура, образованная соединением середин его сторон, должна обладать свойствами фигур, получаемых как из прямоугольника, так и из ромба.
1. Так как квадрат — это частный случай прямоугольника, то полученная фигура будет ромбом (см. пункт 2), поскольку диагонали квадрата равны.
2. Так как квадрат — это частный случай ромба, то полученная фигура будет прямоугольником (см. пункт 3), поскольку диагонали квадрата перпендикулярны.
Фигура, которая одновременно является и ромбом (все стороны равны), и прямоугольником (все углы прямые), — это квадрат.
Ответ: квадрат.

0.5. Периметр параллелограмма $PQRT$ равен 24 см, а периметр треугольника $PQT$ – 18 см. Найдите длину диагонали $QT$ (рис.0.1)

Рис. 0.1

Периметр параллелограмма $PQRT$ – это сумма длин всех его сторон. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны ($PQ = RT$ и $PT = QR$), его периметр $P_{PQRT}$ можно вычислить по формуле:

$P_{PQRT} = PQ + QR + RT + PT = 2 \cdot (PQ + PT)$

Согласно условию задачи, периметр параллелограмма равен 24 см. Используя эту информацию, мы можем найти сумму длин двух смежных сторон:

$2 \cdot (PQ + PT) = 24$ см

$PQ + PT = \frac{24}{2} = 12$ см

Теперь рассмотрим треугольник $PQT$. Его периметр $P_{PQT}$ равен сумме длин его сторон:

$P_{PQT} = PQ + PT + QT$

По условию, периметр треугольника $PQT$ равен 18 см.

$PQ + PT + QT = 18$ см

Мы уже нашли, что сумма сторон $PQ + PT$ равна 12 см. Подставим это значение в формулу периметра треугольника:

$12 + QT = 18$

Из этого уравнения находим длину диагонали $QT$:

$QT = 18 - 12 = 6$ см

Ответ: 6 см.

0.6. В прямоугольном треугольнике $a$ и $b$ – катеты, $c$ – гипотенуза, а $\alpha$ – угол, противолежащий катету $a$. Найдите неизвестные элементы треугольника, если:

1) $a = 4$м, $b = 3$м;

2) $a = 12$ см, $c = 13$ см;

3) $\alpha = 30^\circ$, $c = 12$ см;

4) $\alpha = 60^\circ$, $b = 7$ дм.

1) Дано: катеты $a = 4$ м и $b = 3$ м. Необходимо найти гипотенузу $c$ и острые углы $\alpha$ и $\beta$ (угол, противолежащий катету $b$).
Решение:
1. По теореме Пифагора находим гипотенузу $c$:$
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ м.
2. Находим угол $\alpha$, противолежащий катету $a$. Синус этого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{4}{5} = 0.8$.
$\alpha = \arcsin(0.8) \approx 53,13^\circ$.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому угол $\beta$ равен:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 53,13^\circ = 36,87^\circ$.
Ответ: $c = 5$ м, $\alpha \approx 53,13^\circ$, $\beta \approx 36,87^\circ$.

2) Дано: катет $a = 12$ см и гипотенуза $c = 13$ см. Необходимо найти катет $b$ и острые углы $\alpha$ и $\beta$.
Решение:
1. По теореме Пифагора находим катет $b$:$
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.
2. Находим угол $\alpha$, противолежащий катету $a$. Синус этого угла равен:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{12}{13}$.
$\alpha = \arcsin(\frac{12}{13}) \approx 67,38^\circ$.
3. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 67,38^\circ = 22,62^\circ$.
Ответ: $b = 5$ см, $\alpha \approx 67,38^\circ$, $\beta \approx 22,62^\circ$.

3) Дано: угол $\alpha = 30^\circ$ и гипотенуза $c = 12$ см. Необходимо найти катеты $a$ и $b$ и угол $\beta$.
Решение:
1. Находим угол $\beta$:$
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
2. Находим катет $a$, противолежащий углу $\alpha$. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:
$a = c \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
3. Находим катет $b$, прилежащий к углу $\alpha$:$
$b = c \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.
Ответ: $a = 6$ см, $b = 6\sqrt{3}$ см, $\beta = 60^\circ$.

4) Дано: угол $\alpha = 60^\circ$ и катет $b = 7$ дм. Необходимо найти катет $a$, гипотенузу $c$ и угол $\beta$.
Решение:
1. Находим угол $\beta$:$
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
2. Находим катет $a$ через тангенс угла $\alpha$:$
$a = b \cdot \tan(\alpha) = 7 \cdot \tan(60^\circ) = 7\sqrt{3}$ дм.
3. Находим гипотенузу $c$ через косинус угла $\alpha$:$
$c = \frac{b}{\cos(\alpha)} = \frac{7}{\cos(60^\circ)} = \frac{7}{1/2} = 14$ дм.
Ответ: $a = 7\sqrt{3}$ дм, $c = 14$ дм, $\beta = 30^\circ$.