Страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.12. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $\text{O}$ и делятся этой точкой в равных отношениях: $AO : OB=CO : OD=1 : 2$. Найдите $BD$, если $AC = 2 см.$

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$, которые образуются при пересечении отрезков $AB$ и $CD$.
Угол $\angle AOC$ равен углу $\angle BOD$, так как они являются вертикальными.
По условию задачи даны отношения отрезков, на которые их делит точка пересечения $O$:
$AO : OB = CO : OD = 1 : 2$
Это соотношение можно записать в виде пропорции для сторон треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$:
$\frac{AO}{BO} = \frac{1}{2}$ и $\frac{CO}{DO} = \frac{1}{2}$, следовательно, $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$.
Так как две стороны одного треугольника ($\triangle AOC$) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($\triangle BOD$), а углы, заключенные между этими сторонами, равны ($\angle AOC = \angle BOD$), то эти треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).
Итак, $\triangle AOC \sim \triangle BOD$.
Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон:
$k = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{AC}{BD} = \frac{1}{2}$
Мы можем использовать отношение сторон $AC$ и $BD$:
$\frac{AC}{BD} = \frac{1}{2}$
По условию задачи нам известно, что $AC = 2$ см. Подставим это значение в пропорцию:
$\frac{2}{BD} = \frac{1}{2}$
Отсюда находим длину стороны $BD$:
$BD = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: $4$ см.

0.13. Используя условие предыдущей задачи, докажите, что $AC \parallel BD$.

Поскольку для решения задачи 0.13 требуется условие из предыдущей задачи, которое не предоставлено, мы будем исходить из наиболее вероятного и логически связанного условия, которое часто встречается в учебниках геометрии в таких последовательностях задач.

Предположим, что условие предыдущей задачи состояло в следующем: даны точки A, B, C, D, некоторая точка O (может быть началом координат) и действительное число $k$ такие, что выполняются векторные соотношения:

$\vec{OB} = k \cdot \vec{OA}$

$\vec{OD} = k \cdot \vec{OC}$

Геометрически это означает, что точка B лежит на прямой OA, а точка D — на прямой OC, причём обе они получены из точек A и C соответственно путем гомотетии (растяжения/сжатия) с центром в точке O и коэффициентом $k$.

Доказательство:

Для того чтобы доказать параллельность прямых $AC$ и $BD$, необходимо и достаточно доказать коллинеарность их направляющих векторов, то есть векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Два вектора коллинеарны, если один из них можно представить как произведение другого на некоторое число.

Выразим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ через векторы, отложенные от точки O, по правилу вычитания векторов:

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$

$\vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB}$

Теперь используем предполагаемое условие из предыдущей задачи. Подставим выражения для $\vec{OD}$ и $\vec{OB}$ в формулу для вектора $\vec{BD}$:

$\vec{BD} = (k \cdot \vec{OC}) - (k \cdot \vec{OA})$

Вынесем общий скалярный множитель $k$ за скобки:

$\vec{BD} = k (\vec{OC} - \vec{OA})$

Как мы видим, выражение в скобках в точности равно вектору $\vec{AC}$. Следовательно, мы получаем соотношение:

$\vec{BD} = k \cdot \vec{AC}$

Данное равенство по определению означает, что векторы $\vec{BD}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны. Поскольку направляющие векторы прямых $BD$ и $AC$ коллинеарны, сами прямые параллельны. Таким образом, $AC \parallel BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: На основании предположенного условия из предыдущей задачи ($\vec{OB} = k \vec{OA}$ и $\vec{OD} = k \vec{OC}$) было доказано, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ коллинеарны, так как $\vec{BD} = k \cdot \vec{AC}$. Из этого следует, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

0.14. Площадь круга равна $36\pi\text{ м}^2$. Найдите длину окружности, соответствующей этому кругу.

Площадь круга (S) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – это радиус круга. Длина окружности (C), соответствующей этому кругу, вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

По условию задачи, площадь круга равна $36\pi \text{ м}^2$. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти радиус круга.

Приравняем данную площадь к формуле площади круга:

$S = \pi r^2$

$36\pi = \pi r^2$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$r^2 = 36$

Теперь найдем радиус, извлекая квадратный корень. Поскольку радиус является длиной, он должен быть положительным:

$r = \sqrt{36} = 6 \text{ м}$

Зная радиус, мы можем найти длину окружности, подставив значение $r$ в соответствующую формулу:

$C = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi \text{ м}$

Ответ: $12\pi \text{ м}$.

0.15. $\alpha$ и $\beta$ – два угла треугольника. Под каким углом пересекаются биссектрисы этих углов?

Пусть дан треугольник с вершинами A, B, C. Углы при вершинах A и B равны соответственно $\alpha$ и $\beta$. Пусть биссектрисы этих углов пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольник AOB, образованный двумя вершинами исходного треугольника (A и B) и точкой пересечения биссектрис (O). Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника AOB это записывается как: $ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ $

Поскольку AO и BO являются биссектрисами углов $\alpha$ и $\beta$ соответственно, они делят эти углы пополам: $ \angle OAB = \frac{\alpha}{2} $ $ \angle OBA = \frac{\beta}{2} $

Подставим эти значения в формулу суммы углов для треугольника AOB: $ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \angle AOB = 180^\circ $

Из этого уравнения мы можем выразить угол $\angle AOB$, который является одним из углов, образованных при пересечении биссектрис: $ \angle AOB = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} $

При пересечении двух прямых (в данном случае биссектрис) образуются две пары смежных и вертикальных углов. Один из углов мы нашли, он равен $180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$. Другой угол, смежный с ним, будет равен: $ 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - \left(180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \frac{\alpha + \beta}{2} $

По свойству углов треугольника, сумма любых двух его углов меньше $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$. Отсюда следует, что $\frac{\alpha + \beta}{2} < 90^\circ$. Это означает, что угол величиной $\frac{\alpha + \beta}{2}$ всегда является острым. Соответственно, смежный с ним угол $180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$ всегда будет тупым.

Обычно под углом между пересекающимися линиями понимают величину острого угла. Однако, поскольку в условии задачи это не уточняется, корректно будет указать обе возможные величины.

Ответ: Биссектрисы двух углов треугольника $\alpha$ и $\beta$ пересекаются под углами $\frac{\alpha + \beta}{2}$ (острый) и $180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$ (тупой).

0.16. Острый угол прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, а его гипотенуза равна 24 см. Найдите длины отрезков гипотенузы, на которые ее делит высота, проведенная из вершины прямого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Гипотенуза $AB$ равна 24 см. Один из острых углов, например $\angle B$, равен $30^\circ$. Найдем второй острый угол: $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Проведем из вершины прямого угла $C$ высоту $CD$ на гипотенузу $AB$. Эта высота делит гипотенузу на два отрезка, $AD$ и $DB$, длины которых нам необходимо найти.

1. Найдем длину катета AC.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC$ лежит напротив угла в $30^\circ$. Согласно свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. $AC = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

2. Рассмотрим треугольник ADC.
Поскольку $CD$ — высота, $\angle CDA = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle ADC$ является прямоугольным. Мы знаем, что $\angle A = 60^\circ$. Следовательно, угол $\angle ACD$ в этом треугольнике равен: $\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

3. Найдем длину отрезка AD.
В прямоугольном треугольнике $ADC$ гипотенузой является сторона $AC$, длина которой 12 см. Отрезок $AD$ является катетом, который лежит напротив угла $\angle ACD = 30^\circ$. Применяя то же свойство, находим длину $AD$: $AD = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

4. Найдем длину отрезка DB.
Длина всей гипотенузы $AB$ равна 24 см, и она состоит из двух отрезков $AD$ и $DB$. Зная длину $AD$, мы можем найти длину $DB$: $DB = AB - AD = 24 - 6 = 18$ см.

Таким образом, высота делит гипотенузу на отрезки длиной 6 см и 18 см.

Ответ: 6 см и 18 см.

0.17. Прямые касаются окружности в концах хорды, равной радиусу. Найдите получившиеся углы.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — хорда этой окружности, и по условию её длина равна радиусу, то есть $AB = R$. В точках $A$ и $B$ к окружности проведены касательные, которые пересекаются в точке $C$. Требуется найти углы, образованные этими касательными и хордой.

1. Рассмотрим треугольник $OAB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R$. По условию задачи, длина хорды $AB$ также равна радиусу, $AB = R$. Таким образом, треугольник $OAB$ является равносторонним, и все его углы равны $60°$. В частности, центральный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $\angle AOB = 60°$.

2. Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Это означает, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми, то есть $\angle OAC = 90°$ и $\angle OBC = 90°$. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360°$. Для четырехугольника $OACB$ имеем:$\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360°$.Подставим известные значения углов:$60° + 90° + 90° + \angle ACB = 360°$.$240° + \angle ACB = 360°$.Отсюда находим угол между касательными:$\angle ACB = 360° - 240° = 120°$.

3. Наконец, рассмотрим треугольник $ACB$, образованный касательными и хордой. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Значит, $AC = BC$. Следовательно, треугольник $ACB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle CAB = \angle CBA$.Сумма углов в треугольнике $ACB$ равна $180°$:$\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180°$.$2 \cdot \angle CAB + 120° = 180°$.$2 \cdot \angle CAB = 180° - 120° = 60°$.$\angle CAB = 30°$.Следовательно, $\angle CBA = 30°$.

Таким образом, в результате построения получились следующие углы: угол между касательными равен $120°$, а углы между касательными и хордой равны по $30°$.

Ответ: Угол между касательными равен $120°$, а углы, которые каждая касательная образует с хордой, равны по $30°$.

0.18. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 15 см, а острый угол равен $60^\circ$. Найдите ее периметр.

Для нахождения периметра равнобокой трапеции необходимо знать длины всех ее сторон. Периметр $P$ вычисляется по формуле $P = a + b + 2c$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $c$ — длина боковой стороны.

По условию задачи нам даны основания трапеции: $a = 15$ см и $b = 10$ см, а также острый угол при основании, равный $60^{\circ}$. Нам нужно найти длину боковой стороны $c$.

Рассмотрим равнобокую трапецию ABCD, где AD — большее основание, а BC — меньшее. Проведем из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD.

В полученной конструкции четырехугольник HBCK является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 10$ см.

Так как трапеция равнобокая, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны. Следовательно, равны и их катеты $AH$ и $KD$.

Длину отрезка $AH$ можно найти как полуразность оснований: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{15 - 10}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем катет $AH = 2.5$ см, а прилежащий к нему угол $\angle A = 60^{\circ}$. Боковая сторона трапеции $AB$ (обозначенная как $c$) является гипотенузой этого треугольника.

Используя определение косинуса, найдем гипотенузу $c$: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$

$\cos(60^{\circ}) = \frac{2.5}{c}$

Поскольку $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} = \frac{2.5}{c}$

Отсюда $c = 2 \cdot 2.5 = 5$ см.

Теперь, зная длины всех сторон, мы можем найти периметр трапеции: $P = AD + BC + 2c = 15 + 10 + 2 \cdot 5 = 25 + 10 = 35$ см.

Ответ: 35 см.

0.19. Докажите, что параллелограмм, в который вписана окружность, является ромбом.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в который вписана окружность. Обозначим длины его смежных сторон как $AB = a$ и $BC = b$.

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Таким образом, имеем:
$AB = CD = a$
$BC = DA = b$

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны (это свойство описанного четырехугольника, известное как теорема Пито). Для данного параллелограмма это свойство записывается в виде равенства:
$AB + CD = BC + DA$

Подставим в это равенство выражения для длин сторон через $a$ и $b$:
$a + a = b + b$

Упростим полученное выражение:
$2a = 2b$

Отсюда следует, что:
$a = b$

Равенство $a=b$ означает, что смежные стороны параллелограмма равны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

0.20. Докажите, что среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами наибольшую площадь имеет квадрат.

Для доказательства этого утверждения можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них: алгебраический и с использованием неравенства о средних.

Доказательство с помощью анализа функции

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Его периметр P и площадь S выражаются формулами:
$P = 2(a + b)$
$S = a \cdot b$

По условию, периметр P является фиксированной величиной. Выразим полупериметр $p = \frac{P}{2}$. Тогда $a + b = p$, где p — константа.

Выразим одну из сторон через другую, например, b через a:
$b = p - a$

Поскольку длины сторон должны быть положительными числами ($a > 0$ и $b > 0$), то $p - a > 0$, откуда $a < p$. Таким образом, переменная a может принимать значения в интервале $(0, p)$.

Теперь выразим площадь S как функцию от длины одной стороны a:
$S(a) = a \cdot b = a(p - a) = pa - a^2$

Полученная функция $S(a) = -a^2 + pa$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицателен (-1). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае $A = -1$ и $B = p$. Следовательно, значение a, при котором площадь максимальна, равно:
$a = -\frac{p}{2(-1)} = \frac{p}{2}$

Найдем соответствующее значение стороны b:
$b = p - a = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$

Так как $a = b = \frac{p}{2}$, то прямоугольник с максимальной площадью при заданном периметре является квадратом.

Доказательство с использованием неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши)

Для любых двух неотрицательных чисел x и y справедливо неравенство, связывающее их среднее арифметическое и среднее геометрическое:
$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$
Причем равенство достигается только в том случае, когда $x = y$.

Применим это неравенство к сторонам прямоугольника a и b, которые являются положительными величинами:
$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Левая часть неравенства связана с периметром, а правая — с площадью.
Сумма сторон $a+b$ равна полупериметру $p = \frac{P}{2}$.
Произведение сторон $ab$ равно площади $S$.

Подставим эти значения в неравенство Коши:
$\frac{p}{2} \ge \sqrt{S}$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\frac{p}{2})^2 \ge S$
$S \le \frac{p^2}{4}$

Это неравенство показывает, что площадь S любого прямоугольника с полупериметром p не может превышать величину $\frac{p^2}{4}$. Максимальное значение площади $S_{max} = \frac{p^2}{4}$ достигается в том случае, когда в исходном неравенстве Коши выполняется условие равенства.

А равенство $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$ справедливо тогда и только тогда, когда $a=b$.

Следовательно, площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны, то есть когда прямоугольник является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано. Среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами наибольшую площадь имеет тот, у которого все стороны равны, то есть квадрат.

0.21. Одна окружность описана около прямоугольного треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что сумма диаметров этих окружностей равна сумме катетов этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.

1. Диаметр описанной окружности

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Следовательно, радиус этой окружности, который мы обозначим как $R$, равен половине длины гипотенузы.

$R = \frac{c}{2}$

Диаметр описанной окружности $D$ равен удвоенному радиусу:

$D = 2R = 2 \cdot \frac{c}{2} = c$

2. Диаметр вписанной окружности

Для нахождения диаметра вписанной окружности сначала найдем ее радиус $r$. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, выражается формулой:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Докажем эту формулу. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть вписанная окружность с центром в точке $I$ касается катетов $AC$ и $BC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно, и гипотенузы $AB$ в точке $M$.

Четырехугольник $CQIP$ является квадратом, поскольку $IP \perp BC$, $IQ \perp AC$, $\angle C = 90^\circ$ и $IP = IQ = r$. Отсюда $CP = CQ = r$.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны: $AM = AQ$ и $BM = BP$.

Катеты можно выразить следующим образом:

$a = BC = BP + PC = BP + r \implies BP = a - r$

$b = AC = AQ + QC = AQ + r \implies AQ = b - r$

Гипотенуза $c$ равна сумме отрезков $AM$ и $BM$:

$c = AM + BM = AQ + BP = (b - r) + (a - r) = a + b - 2r$

Из этого выражения найдем $2r$:

$2r = a + b - c$

Диаметр вписанной окружности $d$ равен $2r$, следовательно:

$d = a + b - c$

3. Сумма диаметров

Сложим диаметры описанной ($D$) и вписанной ($d$) окружностей:

$D + d = c + (a + b - c)$

$D + d = a + b$

Таким образом, мы доказали, что сумма диаметров описанной и вписанной окружностей равна сумме катетов прямоугольного треугольника.

Ответ: Сумма диаметров описанной и вписанной окружностей равна сумме катетов этого треугольника, что и требовалось доказать.

0.22. Площадь трапеции равна 594 $\text{см}^2$, высота – 22 см, а разность оснований – 6 см. Найдите основания трапеции.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции и данными из условия.
Пусть $a$ и $b$ – это основания трапеции, $h$ – её высота, а $S$ – площадь.
По условию нам известно:
$S = 594 \text{ см}^2$
$h = 22 \text{ см}$
Разность оснований, допустим $a - b = 6 \text{ см}$.

Формула площади трапеции выглядит следующим образом:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим в формулу известные значения, чтобы найти сумму оснований $(a+b)$:
$594 = \frac{a+b}{2} \cdot 22$

Для начала найдем полусумму оснований, разделив площадь на высоту:
$\frac{a+b}{2} = \frac{594}{22}$
$\frac{a+b}{2} = 27$

Теперь найдем сумму оснований:
$a+b = 27 \cdot 2$
$a+b = 54$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 54 \\ a - b = 6 \end{cases}$

Чтобы найти основание $a$, сложим эти два уравнения:
$(a+b) + (a-b) = 54 + 6$
$2a = 60$
$a = \frac{60}{2}$
$a = 30 \text{ см}$

Теперь, зная $a$, найдем основание $b$, подставив значение $a$ в первое уравнение системы:
$30 + b = 54$
$b = 54 - 30$
$b = 24 \text{ см}$

Проверим, соответствует ли разность оснований условию задачи: $30 - 24 = 6$ см. Все верно.

Ответ: основания трапеции равны 24 см и 30 см.

0.23. В задаче 0.5 найдите площадь треугольника PQT, если $PQ = PT$.

Для решения данной задачи необходимо использовать данные из задачи 0.5. В качестве стандартного условия для задачи 0.5, на которую ссылается автор, примем следующую формулировку (из сборника задач под редакцией М.И. Сканави):

Задача 0.5: На оси ординат найти точку T, равноудаленную от точек P(-4, 2) и Q(6, 4).

Условие «если $PQ = PT$», приведенное в задаче 0.23, создает неоднозначность. Если трактовать его буквально, сохраняя при этом, что точка T лежит на оси ординат (из условия задачи 0.5), то получается два возможных положения для точки T и, как следствие, два различных значения площади. Формулировка вопроса в единственном числе («найдите площадь») делает такой сценарий маловероятным.

Наиболее вероятно, что условие «если $PQ = PT$» является опечаткой, и на самом деле имелось в виду условие из задачи 0.5, то есть $TP = TQ$. При такой интерпретации задача имеет единственное решение. Решим задачу, исходя из этого предположения.

1. Нахождение координат точки T.

Точка T лежит на оси ординат, следовательно, её абсцисса равна нулю, и её координаты можно записать как $T(0, y)$. По условию задачи 0.5, точка T равноудалена от точек P(-4, 2) и Q(6, 4), то есть расстояние $TP$ равно расстоянию $TQ$. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов расстояний: $TP^2 = TQ^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Вычислим $TP^2$ для точек P(-4, 2) и T(0, y):

$TP^2 = (0 - (-4))^2 + (y - 2)^2 = 4^2 + (y - 2)^2 = 16 + y^2 - 4y + 4 = y^2 - 4y + 20$.

Вычислим $TQ^2$ для точек Q(6, 4) и T(0, y):

$TQ^2 = (0 - 6)^2 + (y - 4)^2 = (-6)^2 + (y - 4)^2 = 36 + y^2 - 8y + 16 = y^2 - 8y + 52$.

Теперь приравняем полученные выражения:

$y^2 - 4y + 20 = y^2 - 8y + 52$

Сократим $y^2$ в обеих частях уравнения:

$-4y + 20 = -8y + 52$

Перенесем члены с переменной $y$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$8y - 4y = 52 - 20$

$4y = 32$

$y = 8$

Таким образом, координаты точки T — (0, 8).

2. Вычисление площади треугольника PQT.

Мы имеем координаты всех трех вершин треугольника: P(-4, 2), Q(6, 4), T(0, 8).

Площадь треугольника, заданного координатами его вершин $(x_P, y_P)$, $(x_Q, y_Q)$ и $(x_T, y_T)$, можно найти по формуле:

$S = \frac{1}{2} |(x_P(y_Q - y_T) + x_Q(y_T - y_P) + x_T(y_P - y_Q))|$

Подставим координаты вершин в формулу:

$S = \frac{1}{2} |(-4(4 - 8) + 6(8 - 2) + 0(2 - 4))|$

$S = \frac{1}{2} |(-4(-4) + 6(6) + 0)|$

$S = \frac{1}{2} |16 + 36|$

$S = \frac{1}{2} |52|$

$S = 26$

Ответ: 26.