Номер 0.9, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.9. Дан параллелограмм $ABCD$. Точки $E$ и $N$ – середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Выразите векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AN}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Для решения задачи воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника) и свойствами векторов в параллелограмме. Для наглядности изобразим параллелограмм ABCD с заданными точками и векторами.

Выразим вектор $\vec{AE}$

Вектор $\vec{AE}$ можно представить как сумму векторов по правилу треугольника: $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$.
По условию задачи нам дано, что $\vec{AB} = \vec{a}$.
Точка E является серединой стороны BC, следовательно, вектор $\vec{BE}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$. Математически это записывается как $\vec{BE} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.
Так как ABCD — это параллелограмм, его противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Из условия мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{b}$. Таким образом, $\vec{BC} = \vec{b}$.
Подставим это в выражение для $\vec{BE}$: $\vec{BE} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
Теперь мы можем собрать все части вместе и выразить $\vec{AE}$:
$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.
Ответ: $\vec{AE} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

Выразим вектор $\vec{AN}$

Аналогично, для вектора $\vec{AN}$ воспользуемся правилом треугольника: $\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN}$.
По условию задачи, $\vec{AD} = \vec{b}$.
Точка N является серединой стороны CD, поэтому вектор $\vec{DN}$ равен половине вектора $\vec{DC}$: $\vec{DN} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.
В параллелограмме ABCD противоположные стороны AB и DC равны и сонаправлены, значит $\vec{DC} = \vec{AB}$.
Из условия мы знаем, что $\vec{AB} = \vec{a}$. Следовательно, $\vec{DC} = \vec{a}$.
Подставляем это в выражение для $\vec{DN}$: $\vec{DN} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
Теперь соберем все части для выражения $\vec{AN}$:
$\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$.
Ответ: $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$.