Номер 0.35, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.35. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно $a$, а высота, проведенная к боковой стороне, равна $h$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = a$, а боковые стороны $AB = BC = b$. Пусть $AK = h$ — высота, проведенная к боковой стороне $BC$. Площадь треугольника $S$ можно найти несколькими способами.

1. Выражение площади через высоту к боковой стороне.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Используя боковую сторону $BC=b$ в качестве основания и высоту $AK=h$, получаем:$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK = \frac{1}{2} b h$
Из этого выражения мы можем выразить боковую сторону $b$:$b = \frac{2S}{h}$

2. Выражение площади через высоту к основанию.
Проведем высоту $BH'$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AH' = H'C = \frac{a}{2}$.Площадь треугольника также можно выразить как:$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH' = \frac{1}{2} a \cdot BH'$
Отсюда выразим высоту $BH'$:$BH' = \frac{2S}{a}$

3. Использование теоремы Пифагора.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BH'C$. По теореме Пифагора:$BC^2 = BH'^2 + H'C^2$$b^2 = (BH')^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

4. Решение уравнения относительно площади S.
Подставим выражения для $b$ и $BH'$ из шагов 1 и 2 в уравнение теоремы Пифагора:$\left(\frac{2S}{h}\right)^2 = \left(\frac{2S}{a}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы найти $S$:$\frac{4S^2}{h^2} = \frac{4S^2}{a^2} + \frac{a^2}{4}$

Перенесем члены, содержащие $S^2$, в одну сторону:$\frac{4S^2}{h^2} - \frac{4S^2}{a^2} = \frac{a^2}{4}$

Вынесем $4S^2$ за скобки:$4S^2 \left(\frac{1}{h^2} - \frac{1}{a^2}\right) = \frac{a^2}{4}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:$4S^2 \left(\frac{a^2 - h^2}{a^2 h^2}\right) = \frac{a^2}{4}$

Выразим $S^2$:$S^2 = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{a^2 h^2}{4(a^2 - h^2)} = \frac{a^4 h^2}{16(a^2 - h^2)}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти площадь $S$. Так как площадь является положительной величиной, берем положительное значение корня:$S = \sqrt{\frac{a^4 h^2}{16(a^2 - h^2)}} = \frac{\sqrt{a^4 h^2}}{\sqrt{16(a^2 - h^2)}} = \frac{a^2 h}{4\sqrt{a^2 - h^2}}$

Следует отметить, что данная формула имеет смысл только при $a^2 - h^2 > 0$, то есть $a > h$. В треугольнике $AKC$, угол $\angle AKC$ является прямым, а сторона $AC=a$ — гипотенузой, катет $AK=h$. Следовательно, $a > h$ всегда выполняется для невырожденного треугольника.

Ответ: $S = \frac{a^2 h}{4\sqrt{a^2 - h^2}}$