Номер 1.40, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.40. Докажите, что $a \parallel b$, если $b = a \cap \beta$, $a \subset \alpha$ и $a \parallel \beta$.

Дано:
$b = \alpha \cap \beta$ (плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $b$),
$a \subset \alpha$ (прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$),
$a \parallel \beta$ (прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$).

Доказать:
$a \parallel b$ (прямая $a$ параллельна прямой $b$).

Доказательство:

Доказательство проведем методом от противного.

1. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Это следует из условий: $a \subset \alpha$ (дано) и $b \subset \alpha$ (поскольку $b$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, она принадлежит обеим плоскостям, в том числе и $\alpha$).

2. Две прямые, лежащие в одной плоскости, могут либо пересекаться, либо быть параллельными. Случай, когда прямые совпадают ($a = b$), невозможен, так как по условию $a \parallel \beta$, а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Если бы $a=b$, то и $a \subset \beta$, что противоречит условию $a \parallel \beta$.

3. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны, а пересекаются в некоторой точке $M$.

4. Если точка $M$ является точкой пересечения, то она принадлежит обеим прямым: $M \in a$ и $M \in b$.

5. Поскольку прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то и точка $M$, принадлежащая прямой $b$, также лежит в плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).

6. Таким образом, мы установили, что точка $M$ принадлежит одновременно и прямой $a$, и плоскости $\beta$. Это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $M$.

7. Этот вывод находится в прямом противоречии с условием задачи, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$). По определению, прямая, параллельная плоскости, не имеет с ней ни одной общей точки.

8. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, является ложным.

9. Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости ($\alpha$) и не пересекаются (и не совпадают), они могут быть только параллельными.

Ответ: Что и требовалось доказать.