Номер 1.46, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.46. Точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости и $AB = AC = AD = BC = BD = CD = 9$ см. Плоскость, параллельная отрезкам $BD$ и $CD$, пересекает $AD$ в точке $E$. Как найти точки пересечения $F$ и $K$ этой плоскости с отрезками $AB$ и $AC$ соответственно? Найдите периметр треугольника $EFK$, если $AE : ED = 1 : 2$.

В данной задаче мы имеем дело с правильным тетраэдром $ABCD$, так как все его ребра равны 9 см. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ на ребре $AD$ и параллельна двум пересекающимся ребрам $BD$ и $CD$.

Как найти точки пересечения F и K этой плоскости с отрезками AB и AC соответственно?

Обозначим секущую плоскость как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ на ребре $AD$ и параллельна ребрам $BD$ и $CD$.

1. Построение точки F:
Точка $F$ является точкой пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AB$. Рассмотрим плоскость грани $ABD$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD$ (по условию) и пересекает плоскость $ABD$ (которая содержит прямую $BD$), то линия их пересечения должна быть параллельна прямой $BD$. Эта линия пересечения проходит через точку $E$, так как $E \in \alpha$ и $E \in (ABD)$ (поскольку $E \in AD$).
Следовательно, для нахождения точки $F$ необходимо в плоскости грани $ABD$ провести через точку $E$ прямую, параллельную $BD$. Точка пересечения этой прямой с ребром $AB$ и будет искомой точкой $F$.

2. Построение точки K:
Аналогично, точка $K$ является точкой пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AC$. Рассмотрим плоскость грани $ACD$. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $CD$ и пересекает плоскость $ACD$. Линия их пересечения будет проходить через точку $E$ и будет параллельна прямой $CD$.
Следовательно, для нахождения точки $K$ необходимо в плоскости грани $ACD$ провести через точку $E$ прямую, параллельную $CD$. Точка пересечения этой прямой с ребром $AC$ и будет искомой точкой $K$.

Ответ: Точка $F$ находится как пересечение ребра $AB$ с прямой, проведенной в плоскости $ABD$ через точку $E$ параллельно ребру $BD$. Точка $K$ находится как пересечение ребра $AC$ с прямой, проведенной в плоскости $ACD$ через точку $E$ параллельно ребру $CD$.

Найдите периметр треугольника EFK, если AE : ED = 1 : 2.

Периметр треугольника $EFK$ равен сумме длин его сторон: $P_{EFK} = EF + FK + EK$. Найдем длину каждой стороны.

Из условия $AE : ED = 1 : 2$ следует, что $AD = AE + ED = AE + 2AE = 3AE$. Таким образом, отношение $\frac{AE}{AD} = \frac{AE}{3AE} = \frac{1}{3}$.

1. Найдем длину стороны EF:
Рассмотрим треугольник $ABD$. По построению, $EF \parallel BD$. Следовательно, треугольник $AEF$ подобен треугольнику $ADB$ ($\triangle AEF \sim \triangle ADB$). Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон:$\frac{AE}{AD} = \frac{AF}{AB} = \frac{EF}{DB} = \frac{1}{3}$.
Так как по условию $DB = 9$ см, то $EF = \frac{1}{3} DB = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

2. Найдем длину стороны EK:
Рассмотрим треугольник $ACD$. По построению, $EK \parallel CD$. Следовательно, треугольник $AEK$ подобен треугольнику $ADC$ ($\triangle AEK \sim \triangle ADC$). Коэффициент подобия также равен $\frac{AE}{AD} = \frac{1}{3}$.
$\frac{AE}{AD} = \frac{AK}{AC} = \frac{EK}{DC} = \frac{1}{3}$.
Так как по условию $DC = 9$ см, то $EK = \frac{1}{3} DC = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

3. Найдем длину стороны FK:
Поскольку секущая плоскость $\alpha$ параллельна двум пересекающимся прямым $BD$ и $CD$ плоскости $BCD$, то плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $BCD$.
Плоскость грани $ABC$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $BCD$ по прямым $FK$ и $BC$ соответственно. Следовательно, эти прямые параллельны: $FK \parallel BC$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $FK \parallel BC$, то треугольник $AFK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle AFK \sim \triangle ABC$).
Из подобия $\triangle AEF \sim \triangle ADB$ мы знаем, что $\frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AD} = \frac{1}{3}$. Это и есть коэффициент подобия для треугольников $AFK$ и $ABC$.
$\frac{AF}{AB} = \frac{FK}{BC} = \frac{1}{3}$.
Так как по условию $BC = 9$ см, то $FK = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

4. Вычислим периметр:
$P_{EFK} = EF + EK + FK = 3 + 3 + 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.