Страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Используя рис. 2.12, докажите что $m \perp \alpha$ и эта прямая единственная.

Рис. 2.12

Задача состоит из двух частей: доказательство перпендикулярности прямой $m$ плоскости $\alpha$ и доказательство единственности такой прямой. Решим обе части последовательно, используя данные из рисунка и основные теоремы стереометрии.

Доказательство того, что $m \perp \alpha$

Для доказательства воспользуемся теоремой о перпендикулярности прямой и плоскости, которая гласит: «Если прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости».

Исходя из изображения, мы имеем следующие условия:

1. Есть две плоскости $\alpha$ и $\alpha_1$. Будем считать, что по условию задачи или контексту они взаимно перпендикулярны: $\alpha \perp \alpha_1$.
2. Плоскости пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую как $a$. Таким образом, $a = \alpha \cap \alpha_1$.
3. Точка $A$ лежит на линии пересечения $a$.
4. Прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha_1$ ($m \subset \alpha_1$) и проходит через точку $A$.
5. Из рисунка видно (обозначено символом прямого угла), что прямая $m$ перпендикулярна линии пересечения $a$ в точке $A$: $m \perp a$.

Требуется доказать, что $m \perp \alpha$.

Доказательство:

1. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
2. Мы уже знаем, что $m \perp a$, и прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
3. Построим в плоскости $\alpha$ прямую $b$, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную прямой $a$. Такое построение всегда возможно в плоскости.
4. Так как плоскости $\alpha$ и $\alpha_1$ взаимно перпендикулярны, то двугранный угол между ними равен $90^\circ$. Линейный угол этого двугранного угла образован двумя лучами, исходящими из одной точки на линии пересечения $a$ и перпендикулярными ей. В нашем случае это угол между прямыми $m$ и $b$, так как $m \subset \alpha_1$, $b \subset \alpha$, и обе они перпендикулярны $a$ в точке $A$.
5. Следовательно, угол между прямыми $m$ и $b$ равен $90^\circ$, то есть $m \perp b$.
6. Таким образом, мы показали, что прямая $m$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $A$ прямым $a$ и $b$, которые лежат в плоскости $\alpha$.
7. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, из этого следует, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Ответ: Утверждение $m \perp \alpha$ доказано.

Доказательство единственности этой прямой

Доказательство проведем методом от противного. На рисунке для этой цели изображена вторая прямая $m_1$.

1. Предположим, что через точку $A$ можно провести еще одну прямую $m_1$, отличную от $m$ ($m_1 \neq m$), которая также перпендикулярна плоскости $\alpha$.
2. Таким образом, мы имеем две различные прямые $m$ и $m_1$, проходящие через одну и ту же точку $A$, и обе перпендикулярны плоскости $\alpha$.
3. Две пересекающиеся прямые ($m$ и $m_1$) определяют единственную плоскость. Назовем ее $\beta$. Обе прямые $m$ и $m_1$ лежат в этой плоскости $\beta$.
4. Пусть плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по некоторой прямой $c$. Так как точка $A$ принадлежит обеим плоскостям ($\beta$ и $\alpha$), она должна лежать на их линии пересечения $c$.
5. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она должна быть перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения.
6. Поскольку $m \perp \alpha$ и $c \subset \alpha$, то $m \perp c$.
7. Аналогично, поскольку $m_1 \perp \alpha$ и $c \subset \alpha$, то $m_1 \perp c$.
8. Получаем, что в плоскости $\beta$ через точку $A$ на прямой $c$ проходят две различные прямые $m$ и $m_1$, которые перпендикулярны этой прямой $c$.
9. Это противоречит аксиоме планиметрии, согласно которой в плоскости через данную точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.
10. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании второй прямой $m_1$, перпендикулярной плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $A$, было неверным.

Ответ: Прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости, единственна.

1. Сформулируйте определение угла между прямыми? Рассмотрите пересекающиеся и скрещивающиеся прямые.

2. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

3. Каким свойством обладает прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых? Докажите сформулированное вами утверждение.

4. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости?

5. Каким свойством обладают прямые, перпендикулярные одной плоскости?

6. Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

7. Сколько перпендикуляров можно провести к плоскости из данной точки? Обоснуйте ответ.

1. Углом между двумя пересекающимися прямыми называется величина наименьшего из четырех углов, образованных при их пересечении. Его значение $\phi$ находится в пределах $0^\circ \le \phi \le 90^\circ$. Если прямые параллельны или совпадают, угол между ними считается равным $0^\circ$.

Углом между двумя скрещивающимися прямыми (назовем их $a$ и $b$) называется угол между двумя пересекающимися прямыми ($a'$ и $b'$), которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым ($a' \parallel a$, $b' \parallel b$). Для нахождения этого угла можно выбрать произвольную точку в пространстве и провести через нее прямые $a'$ и $b'$. Величина угла между ними не зависит от выбора этой точки.

Ответ: Угол между пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным.

2. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90^\circ$. Это определение справедливо как для пересекающихся, так и для скрещивающихся прямых.

Ответ: Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними составляет $90^\circ$.

3.Свойство: Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй прямой.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$), и пусть прямая $c$ перпендикулярна прямой $a$ ($c \perp a$). Это означает, что угол между прямыми $a$ и $c$ равен $90^\circ$, то есть $\angle(a, c) = 90^\circ$. Нам нужно доказать, что прямая $c$ перпендикулярна прямой $b$, то есть $\angle(b, c) = 90^\circ$.

Согласно определению угла между прямыми в пространстве, выберем в пространстве произвольную точку $M$ и проведем через нее прямые $a'$, $b'$ и $c'$ так, что $a' \parallel a$, $b' \parallel b$ и $c' \parallel c$.

Тогда по определению:

$\angle(a, c) = \angle(a', c') = 90^\circ$.

$\angle(b, c) = \angle(b', c')$.

Поскольку по условию $a \parallel b$, а по построению $a' \parallel a$ и $b' \parallel b$, то по свойству транзитивности параллельности прямых следует, что $a' \parallel b'$. Так как прямые $a'$ и $b'$ параллельны и проходят через одну и ту же точку $M$, они совпадают: $a' = b'$.

Следовательно, $\angle(b', c') = \angle(a', c')$.

Таким образом, $\angle(b, c) = \angle(a', c') = 90^\circ$, что и означает, что $c \perp b$. Утверждение доказано.

Ответ: Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.

4. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ (обозначается $a \perp \alpha$), то для любой прямой $b$, лежащей в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), выполняется условие $a \perp b$.

Ответ: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в этой плоскости.

5.Свойство: Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.

Если прямые $a$ и $b$ перпендикулярны плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$ и $b \perp \alpha$), то $a \parallel b$.

Ответ: Прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны друг другу.

6.Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство:

Пусть прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $b$ и $c$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Пусть $b \cap c = \{O\}$. Для простоты будем считать, что прямая $a$ проходит через точку $O$. (Если $a$ не проходит через $O$, можно рассмотреть параллельную ей прямую $a'$, проходящую через $O$. Если мы докажем, что $a' \perp \alpha$, то из этого будет следовать, что и $a \perp \alpha$).

Итак, $a \perp b$ и $a \perp c$. Нам нужно доказать, что прямая $a$ перпендикулярна любой другой прямой $m$, лежащей в плоскости $\alpha$.

1. На прямой $a$ отложим от точки $O$ равные отрезки $OA$ и $OA'$, так что $AO = OA'$.

2. Проведем в плоскости $\alpha$ произвольную прямую, не проходящую через точку $O$, которая пересекает прямые $b$, $c$ и $m$ в точках $B$, $C$ и $M$ соответственно.

3. Рассмотрим $\triangle ABA'$. Так как $a \perp b$, то $BO$ является высотой. По построению $BO$ также является медианой. Следовательно, $\triangle ABA'$ — равнобедренный, и $AB = A'B$.

4. Аналогично, в $\triangle ACA'$, $CO$ — высота и медиана, значит, $\triangle ACA'$ — равнобедренный, и $AC = A'C$.

5. Теперь сравним $\triangle ABC$ и $\triangle A'BC$. У них общая сторона $BC$, $AB = A'B$ и $AC = A'C$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC \cong \triangle A'BC$.

6. Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов, в частности $\angle ABC = \angle A'BC$.

7. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle A'BM$. У них сторона $BM$ — общая, $AB = A'B$ (из п.3), и $\angle ABM = \angle A'BM$ (так как это те же углы, что и $\angle ABC$ и $\angle A'BC$). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABM \cong \triangle A'BM$.

8. Из равенства этих треугольников следует, что $AM = A'M$.

9. Наконец, рассмотрим $\triangle AMA'$. В нем $OM$ — медиана (так как $M$ лежит на прямой $m$, проходящей через $O$). Поскольку $AM = A'M$, треугольник $\triangle AMA'$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $OM \perp AA'$, то есть $m \perp a$.

Так как $m$ — любая прямая в плоскости $\alpha$, проходящая через точку $O$, то прямая $a$ перпендикулярна любой такой прямой. Следовательно, по определению, $a \perp \alpha$. Признак доказан.

Ответ: Утверждение "Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости" доказано выше.

7. Из данной точки можно провести к плоскости только один перпендикуляр.

Обоснование:

Теорема о существовании и единственности перпендикуляра к плоскости утверждает, что через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

1. Существование. Существование такого перпендикуляра доказывается построением (как для точки, лежащей в плоскости, так и для точки вне плоскости). Мы не будем приводить здесь это построение, но примем факт его существования.

2. Единственность. Докажем единственность методом от противного. Предположим, что из некоторой точки $P$ можно провести две различные прямые, $a_1$ и $a_2$, которые обе перпендикулярны плоскости $\alpha$.

Согласно свойству, рассмотренному в пункте 5, две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой. Так как $a_1 \perp \alpha$ и $a_2 \perp \alpha$, то должно выполняться условие $a_1 \parallel a_2$.

Однако по нашему предположению обе прямые $a_1$ и $a_2$ проходят через одну и ту же точку $P$. Это противоречит аксиоме параллельных прямых (или определению параллельных прямых), согласно которой параллельные прямые не имеют общих точек.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании двух различных перпендикуляров из одной точки к плоскости было неверным. Следовательно, такой перпендикуляр может быть только один.

Ответ: К плоскости из данной точки можно провести ровно один перпендикуляр.