Номер 306, страница 225 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

7.306. Хранящаяся в лаборатории дистиллированная вода содержит 0,5 мг/л углекислого газа. Рассчитайте pH этой воды, предполагая, что весь углекислый газ присутствует в растворе в виде угольной кислоты, первая константа диссоциации которой равна $3,6 · {10}^{-7}.$

Дано:

Массовая концентрация $CO_2$: $\gamma(CO_2) = 0,5 \text{ мг/л}$

Первая константа диссоциации угольной кислоты: $K_{a1} = 3,6 \cdot 10^{-7}$

Найти:

pH - ?

Решение

Согласно условию задачи, весь углекислый газ, растворенный в воде, образует угольную кислоту ($H_2CO_3$):

$CO_2 + H_2O \rightleftharpoons H_2CO_3$

Следовательно, начальная концентрация угольной кислоты равна молярной концентрации растворенного $CO_2$.

1. Рассчитаем молярную массу углекислого газа:

$M(CO_2) = M(C) + 2 \cdot M(O) = 12,01 + 2 \cdot 16,00 = 44,01 \text{ г/моль}$

2. Рассчитаем начальную молярную концентрацию угольной кислоты ($C_{H_2CO_3}$):

$C_{H_2CO_3} = \frac{\gamma(CO_2)}{M(CO_2)} = \frac{0,5 \cdot 10^{-3} \text{ г/л}}{44,01 \text{ г/моль}} \approx 1,136 \cdot 10^{-5} \text{ моль/л}$

3. Угольная кислота является слабой двухосновной кислотой. Поскольку в задаче дана только первая константа диссоциации, для расчета pH мы будем учитывать только первую ступень диссоциации, так как вклад второй ступени в концентрацию ионов $H^+$ пренебрежимо мал.

Уравнение диссоциации по первой ступени:

$H_2CO_3 \rightleftharpoons H^+ + HCO_3^-$

4. Запишем выражение для константы диссоциации $K_{a1}$:

$K_{a1} = \frac{[H^+][HCO_3^-]}{[H_2CO_3]}$

Пусть равновесная концентрация ионов $[H^+]$ равна $x$. Тогда, согласно уравнению реакции, $[HCO_3^-] = x$, а равновесная концентрация недиссоциированной кислоты $[H_2CO_3] = C_{H_2CO_3} - x$.

Подставим эти значения в выражение для константы:

$K_{a1} = \frac{x \cdot x}{C_{H_2CO_3} - x} = \frac{x^2}{1,136 \cdot 10^{-5} - x}$

Получаем квадратное уравнение:

$x^2 = K_{a1} \cdot (1,136 \cdot 10^{-5} - x)$

$x^2 + K_{a1}x - K_{a1} \cdot (1,136 \cdot 10^{-5}) = 0$

$x^2 + (3,6 \cdot 10^{-7})x - (3,6 \cdot 10^{-7}) \cdot (1,136 \cdot 10^{-5}) = 0$

$x^2 + 3,6 \cdot 10^{-7}x - 4,09 \cdot 10^{-12} = 0$

5. Решим квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с помощью формулы $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{-3,6 \cdot 10^{-7} \pm \sqrt{(3,6 \cdot 10^{-7})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4,09 \cdot 10^{-12})}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-3,6 \cdot 10^{-7} \pm \sqrt{1,296 \cdot 10^{-13} + 1,636 \cdot 10^{-11}}}{2}$

$x = \frac{-3,6 \cdot 10^{-7} \pm \sqrt{0,01296 \cdot 10^{-11} + 1,636 \cdot 10^{-11}}}{2}$

$x = \frac{-3,6 \cdot 10^{-7} \pm \sqrt{1,649 \cdot 10^{-11}}}{2}$

$x = \frac{-3,6 \cdot 10^{-7} \pm 4,06 \cdot 10^{-6}}{2}$

Так как концентрация не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком плюс:

$x = [H^+] = \frac{-3,6 \cdot 10^{-7} + 4,06 \cdot 10^{-6}}{2} = \frac{3,70 \cdot 10^{-6}}{2} = 1,85 \cdot 10^{-6} \text{ моль/л}$

6. Теперь рассчитаем pH:

$pH = -\lg[H^+] = -\lg(1,85 \cdot 10^{-6})$

$pH = -(\lg(1,85) + \lg(10^{-6})) = -(\lg(1,85) - 6) = 6 - \lg(1,85)$

$pH \approx 6 - 0,267 = 5,733$

Округляя до двух знаков после запятой, получаем:

$pH \approx 5,73$

Ответ: $pH \approx 5,73$.