Страница 279 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.149. Низший оксид некоторого переходного металла имеет кристаллическую структуру типа NaCl, в которой некоторые атомы отсутствуют:

Установите формулу оксида. Определите, сколько формульных единиц входит в состав элементарной ячейк.

Дано:
Кристаллическая ячейка оксида переходного металла (M) и кислорода (O).
Тип структуры: NaCl.
Расположение атомов (согласно рисунку):
- Атомы M (большие серые сферы) находятся в вершинах и центрах граней куба.
- Атомы O (малые белые сферы) находятся в центре куба и в серединах ребер.

Найти:
1. Формулу оксида.
2. Число формульных единиц в элементарной ячейке.

Решение:

Представленная на рисунке структура является кристаллической структурой типа хлорида натрия (NaCl), которая характеризуется двумя вставленными друг в друга гранецентрированными кубическими решетками. Для определения формулы оксида необходимо рассчитать количество атомов каждого вида, приходящееся на одну элементарную ячейку, исходя из их расположения на рисунке. Упоминание в условии, что "некоторые атомы отсутствуют", вероятно, относится к реальным кристаллам данного оксида, которые часто являются нестехиометрическими. Однако, для решения задачи по представленной идеализированной ячейке, мы должны исходить из того, что на изображении показана полная структура без дефектов.

1. Расчет числа атомов металла (M) в ячейке.
Атомы металла M (большие серые сферы) образуют гранецентрированную кубическую (ГЦК) решетку. Они расположены в 8 вершинах и 6 центрах граней куба. Каждый атом в вершине принадлежит 8 ячейкам (вклад в одну ячейку $1/8$), а каждый атом в центре грани принадлежит 2 ячейкам (вклад $1/2$). Общее число атомов M в ячейке ($N_M$): $N_M = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4$

2. Расчет числа атомов кислорода (O) в ячейке.
Атомы кислорода O (малые белые сферы) занимают октаэдрические пустоты в ГЦК решетке металла. Эти пустоты находятся в центре куба и в серединах его 12 ребер. Атом в центре куба полностью принадлежит ячейке (вклад 1), а каждый атом на ребре принадлежит 4 ячейкам (вклад $1/4$). Общее число атомов O в ячейке ($N_O$): $N_O = 1 \times 1 + 12 \times \frac{1}{4} = 1 + 3 = 4$

Установите формулу оксида.

Соотношение атомов в элементарной ячейке составляет $N_M : N_O = 4 : 4$, что упрощается до $1 : 1$. Следовательно, простейшая формула оксида - MO.

Ответ: MO.

Определите, сколько формульных единиц входит в состав элементарной ячейки.

Формульная единица соответствует простейшей формуле MO. Поскольку в элементарной ячейке содержится 4 атома M и 4 атома O, это соответствует 4 формульным единицам MO.

Ответ: 4.

10.150. Низший оксид некоторого переходного металла имеет кристаллическую структуру с кубической элементарной ячейкой:

Установите формулу оксида. Определите, сколько формульных единиц входит в состав элементарной ячейки.

Дано:

Изображение кубической элементарной ячейки низшего оксида переходного металла (M).
Атомы кислорода (O, светлые шары) расположены в вершинах и в центре куба.
Атомы металла (M, темные шары) расположены полностью внутри куба.

Найти:

Формулу оксида и число формульных единиц в элементарной ячейке.

Решение:

Для решения задачи необходимо определить количество атомов каждого элемента в одной элементарной ячейке. Вклад атома в ячейку зависит от его положения: атом в вершине куба вносит вклад $1/8$, а атом, находящийся целиком внутри объема ячейки, вносит вклад $1$.

Установите формулу оксида.

Сначала подсчитаем число атомов кислорода (О) в ячейке. Атомы кислорода (светлые шары) расположены в 8 вершинах и в 1 центре куба. Общее число атомов кислорода $N_O$ равно: $N_O = 8 \times \frac{1}{8} + 1 \times 1 = 1 + 1 = 2$ атома.

Далее подсчитаем число атомов металла (M) в ячейке. Атомы металла (темные шары) в количестве 4 штук полностью находятся внутри ячейки. Общее число атомов металла $N_M$ равно: $N_M = 4 \times 1 = 4$ атома.

Теперь найдем соотношение атомов, чтобы определить эмпирическую формулу. Соотношение атомов металла к атомам кислорода в ячейке составляет $N_M : N_O = 4 : 2$. Простейшее целочисленное соотношение равно $2:1$.

Ответ: Формула оксида M₂O.

Определите, сколько формульных единиц входит в состав элементарной ячейки.

Формульная единица соответствует простейшей химической формуле вещества, то есть M₂O. Мы определили, что в элементарной ячейке содержится 4 атома металла M и 2 атома кислорода O. Число формульных единиц (Z) в ячейке можно найти, разделив количество атомов каждого элемента в ячейке на количество атомов этого же элемента в формульной единице: $Z = \frac{\text{число атомов M в ячейке}}{\text{число атомов M в формуле}} = \frac{4}{2} = 2$
$Z = \frac{\text{число атомов O в ячейке}}{\text{число атомов O в формуле}} = \frac{2}{1} = 2$
Таким образом, в состав элементарной ячейки входят 2 формульные единицы M₂O.

Ответ: В состав элементарной ячейки входят 2 формульные единицы.

10.151. Масса одного кубического сантиметра некоторого серебристо-белого металла равна 7,874 г. Металл имеет ОЦК-решётку, металлический радиус атома равен 1,24 А. Определите металл.

Дано:

Плотность металла ($\rho$) = 7,874 г/см³
Тип кристаллической решётки = ОЦК (объёмно-центрированная кубическая)
Металлический радиус атома ($r$) = 1,24 Å
Число Авогадро ($N_A$) = $6,022 \times 10^{23}$ моль^-1

$\rho = 7,874 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 7874 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$r = 1,24 \text{ Å} = 1,24 \times 10^{-10} \text{ м}$

Найти:

Определить металл.

Решение:

Для определения металла необходимо рассчитать его молярную массу ($M$). Молярную массу можно найти, используя формулу плотности вещества через параметры его кристаллической решётки:

$\rho = \frac{m_{ячейки}}{V_{ячейки}} = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot V_{ячейки}}$

где $n$ — число атомов в элементарной ячейке, $M$ — молярная масса, $N_A$ — число Авогадро, а $V_{ячейки}$ — объём элементарной ячейки.

1. Определим число атомов в элементарной ячейке ($n$) для ОЦК-решётки. В объёмно-центрированной кубической решётке атомы находятся в вершинах куба (8 вершин) и один атом в центре куба. Атом в каждой вершине принадлежит 8 соседним ячейкам, а центральный атом принадлежит только одной ячейке. Таким образом:

$n = 8 \cdot \frac{1}{8} + 1 = 2$ атома.

2. Определим объём элементарной ячейки ($V_{ячейки}$). Для этого сначала найдём параметр решётки $a$ (длину ребра куба). В ОЦК-решётке атомы соприкасаются вдоль пространственной диагонали куба. Длина этой диагонали равна $4r$. Также длина пространственной диагонали куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{3}$.

$a\sqrt{3} = 4r$

Отсюда выразим параметр решётки $a$:

$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$

Для удобства расчетов переведем радиус из ангстрем в сантиметры: $r = 1,24 \text{ Å} = 1,24 \times 10^{-8} \text{ см}$.

$a = \frac{4 \cdot 1,24 \times 10^{-8} \text{ см}}{\sqrt{3}} \approx \frac{4,96 \times 10^{-8} \text{ см}}{1,732} \approx 2,864 \times 10^{-8} \text{ см}$

Теперь найдем объем кубической ячейки:

$V_{ячейки} = a^3 = (2,864 \times 10^{-8} \text{ см})^3 \approx 2,349 \times 10^{-23} \text{ см}^3$

3. Выразим молярную массу $M$ из формулы плотности и подставим известные значения:

$M = \frac{\rho \cdot N_A \cdot V_{ячейки}}{n}$

$M = \frac{7,874 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot 2,349 \times 10^{-23} \text{ см}^3}{2}$

$M \approx \frac{111,54 \text{ г/моль}}{2} \approx 55,77 \text{ г/моль}$

4. Сравним полученное значение молярной массы с данными из периодической таблицы химических элементов. Полученное значение $M \approx 55,77 \text{ г/моль}$ очень близко к молярной массе железа (Fe), которая составляет 55,845 г/моль. Кроме того, железо — это серебристо-белый металл, который при комнатной температуре имеет ОЦК-решётку (модификация $\alpha$-Fe), а его плотность составляет 7,874 г/см³. Все данные совпадают.

Ответ: Железо (Fe).

10.152. Металл А имеет плотность 2,54 г/см3 и кубическую гранецентрированную решётку. Радиус атома А равен 0,216 нм. Определите А.

Дано:

Плотность металла А ($ρ$) = 2,54 г/см³

Тип решетки = кубическая гранецентрированная (ГЦК)

Радиус атома А ($r$) = 0,216 нм

Перевод единиц:

$r = 0,216 \text{ нм} = 0,216 \times 10^{-7} \text{ см}$

Постоянная Авогадро $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ моль⁻¹

Найти:

Определить металл А.

Решение:

Для того чтобы определить металл А, необходимо найти его молярную массу ($M$). Плотность кристаллического вещества связана с параметрами его кристаллической решетки формулой:

$ρ = \frac{n \cdot M}{V_c \cdot N_A}$

где $n$ — число атомов в элементарной ячейке, $M$ — молярная масса, $V_c$ — объем элементарной ячейки, а $N_A$ — число Авогадро.

1. Найдем число атомов в элементарной ячейке ($n$) для гранецентрированной кубической (ГЦК) решетки. В ГЦК решетке атомы расположены в 8 вершинах куба и в центре 6 его граней. Атом в вершине принадлежит 8 ячейкам, а атом в центре грани — 2 ячейкам. Таким образом:

$n = 8 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4$

Итак, в одной элементарной ячейке ГЦК решетки содержится 4 атома.

2. Рассчитаем объем элементарной ячейки ($V_c$). Объем куба вычисляется как $V_c = a^3$, где $a$ — параметр решетки (длина ребра куба). В ГЦК решетке атомы соприкасаются вдоль диагонали грани. Длина диагонали грани ($d$) равна четырем радиусам атома ($d = 4r$).

Согласно теореме Пифагора для грани куба:

$a^2 + a^2 = d^2 = (4r)^2$

$2a^2 = 16r^2$

$a^2 = 8r^2$

$a = \sqrt{8}r = 2\sqrt{2}r$

Теперь можно найти объем элементарной ячейки:

$V_c = a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3$

Подставим значение радиуса атома $r = 0,216 \times 10^{-7}$ см:

$V_c = 16\sqrt{2} \cdot (0,216 \times 10^{-7})^3 \text{ см}^3 \approx 16 \cdot 1,4142 \cdot 0,010077696 \times 10^{-21} \text{ см}^3 \approx 2,28 \times 10^{-22} \text{ см}^3$

3. Выразим молярную массу ($M$) из формулы плотности и рассчитаем ее значение.

$M = \frac{\rho \cdot V_c \cdot N_A}{n}$

Подставим все известные величины:

$M = \frac{2,54 \frac{г}{см^3} \cdot 2,28 \times 10^{-22} \text{ см}^3 \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{4}$

$M \approx \frac{3,488 \times 10^2 \text{ г/моль}}{4} \approx 87,2 \text{ г/моль}$

4. Определим металл по его молярной массе.

Рассчитанная молярная масса ($M \approx 87,2$ г/моль) наиболее близка к молярной массе химического элемента стронция (Sr), которая равна 87,62 г/моль. Кроме того, стронций при комнатной температуре кристаллизуется в гранецентрированной кубической решетке, что соответствует условию задачи. Небольшое расхождение в значениях связано с округлениями в расчетах и возможной погрешностью исходных данных.

Ответ: Металл А — стронций (Sr).

10.153. Золото имеет гранецентрированную кубическую структуру. Плотность золота 19,3 г/см3. Рассчитайте длину ребра элементарной ячейки и металлический радиус атома.

Дано:

Кристаллическая структура золота (Au) - гранецентрированная кубическая (ГЦК)
Плотность $\rho = 19,3 \text{ г/см}^3$
Молярная масса золота $M_{Au} \approx 197 \text{ г/моль}$
Число Авогадро $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

$a$ — длина ребра элементарной ячейки
$r$ — металлический радиус атома

Решение:

Плотность кристаллического вещества связана с параметрами его элементарной ячейки через формулу: $\rho = \frac{m_{ячейки}}{V_{ячейки}}$ где $m_{ячейки}$ — масса всех атомов в одной элементарной ячейке, а $V_{ячейки}$ — объем ячейки.

Для кубической ячейки с ребром $a$, объем равен $V_{ячейки} = a^3$.

Масса ячейки равна произведению числа атомов в ячейке ($n$) на массу одного атома ($m_a$). Для гранецентрированной кубической (ГЦК) структуры число атомов $n=4$. Это число складывается из 8 атомов в вершинах куба (каждый принадлежит ячейке на 1/8) и 6 атомов в центрах граней (каждый принадлежит ячейке на 1/2): $n = 8 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4$ атома.

Масса одного атома золота ($m_a$) вычисляется как отношение молярной массы ($M$) к числу Авогадро ($N_A$): $m_a = \frac{M}{N_A}$

Таким образом, формула для плотности принимает вид: $\rho = \frac{n \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$

Длина ребра элементарной ячейки

Из общей формулы для плотности выразим длину ребра элементарной ячейки $a$: $a^3 = \frac{n \cdot M}{\rho \cdot N_A} \Rightarrow a = \sqrt[3]{\frac{n \cdot M}{\rho \cdot N_A}}$

Подставим числовые значения в системе СИ: $a = \sqrt[3]{\frac{4 \cdot 0,197 \text{ кг/моль}}{19300 \text{ кг/м}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}}$ $a = \sqrt[3]{\frac{0,788}{1,162 \cdot 10^{28}}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{6,78 \cdot 10^{-29}} \text{ м} = \sqrt[3]{67,8 \cdot 10^{-30}} \text{ м}$ $a \approx 4,08 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: Длина ребра элементарной ячейки золота составляет $a \approx 4,08 \cdot 10^{-10}$ м (или 0,408 нм).

Металлический радиус атома

В ГЦК решетке атомы касаются друг друга вдоль диагонали каждой грани куба. Длина диагонали грани ($d$) связана с длиной ребра ячейки ($a$) по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. С другой стороны, эта диагональ равна четырем радиусам атома ($d = 4r$), так как она проходит через центр одного атома (диаметр $2r$) и радиусы двух угловых атомов.

Приравниваем два выражения для диагонали: $a\sqrt{2} = 4r$

Отсюда можем выразить металлический радиус атома $r$: $r = \frac{a\sqrt{2}}{4}$

Подставим ранее найденное значение $a$: $r = \frac{(4,08 \cdot 10^{-10} \text{ м}) \cdot \sqrt{2}}{4} \approx \frac{(4,08 \cdot 10^{-10} \text{ м}) \cdot 1,414}{4}$ $r \approx 1,44 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: Металлический радиус атома золота составляет $r \approx 1,44 \cdot 10^{-10}$ м (или 0,144 нм).