Страница 280 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.154. Считая атомы твёрдыми шарами, найдите, сколько процентов объёма вещества занимают атомы в: а) ОЦК-структуре; б) примитивной кубической структуре.

Дано:

Найти:

Решение:

Коэффициент упаковки, или плотность упаковки, $\eta$ — это безразмерная величина, которая показывает, какая доля объема элементарной ячейки кристаллической решетки заполнена атомами. Она рассчитывается по формуле:

$\eta = \frac{n \cdot V_{атома}}{V_{ячейки}}$

где $n$ — число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку, $V_{атома}$ — объем одного атома, который мы считаем шаром радиуса $R$ ($V_{атома} = \frac{4}{3}\pi R^3$), а $V_{ячейки}$ — объем элементарной ячейки.

а) ОЦК-структуре;

В объемно-центрированной кубической (ОЦК) решетке атомы расположены в 8 вершинах куба и 1 атом находится в центре куба. Пусть ребро куба (постоянная решетки) равно $a$.

Подсчитаем число атомов $n$, приходящихся на одну элементарную ячейку:

• 8 атомов в вершинах, каждый из которых принадлежит 8 соседним ячейкам, дают в сумме $8 \cdot \frac{1}{8} = 1$ атом.
• 1 атом в центре, полностью принадлежащий данной ячейке.

Таким образом, $n_{ОЦК} = 1 + 1 = 2$ атома.

Суммарный объем атомов в ячейке:

$V_{атомов} = n_{ОЦК} \cdot V_{атома} = 2 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{8}{3}\pi R^3$.

В ОЦК-структуре атомы касаются друг друга вдоль главной (пространственной) диагонали куба. Длина этой диагонали по теореме Пифагора равна $d = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\sqrt{3}$. Эта же диагональ вмещает в себя радиус одного углового атома, диаметр центрального атома и радиус второго углового атома, т.е. $d = R + 2R + R = 4R$.

Приравнивая два выражения для длины диагонали, находим связь между $a$ и $R$:

$a\sqrt{3} = 4R \Rightarrow a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$

Объем элементарной ячейки равен:

$V_{ячейки} = a^3 = \left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{64R^3}{3\sqrt{3}}$

Теперь можем рассчитать коэффициент упаковки для ОЦК-структуры:

$\eta_{ОЦК} = \frac{V_{атомов}}{V_{ячейки}} = \frac{\frac{8}{3}\pi R^3}{\frac{64R^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{8\pi R^3}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{64R^3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0.6802$

В процентах это составляет $0.6802 \cdot 100\% \approx 68\%$.

Ответ: 68%.

б) примитивной кубической структуре.

В примитивной кубической (ПК) решетке атомы расположены только в 8 вершинах куба.

Число атомов $n$ на элементарную ячейку:

$n_{ПК} = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$ атом.

Суммарный объем атомов в ячейке:

$V_{атомов} = n_{ПК} \cdot V_{атома} = 1 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$.

В данной структуре атомы касаются друг друга вдоль ребер куба. Поэтому длина ребра куба $a$ равна двум радиусам атомов:

$a = 2R$

Объем элементарной ячейки:

$V_{ячейки} = a^3 = (2R)^3 = 8R^3$

Рассчитаем коэффициент упаковки для ПК-структуры:

$\eta_{ПК} = \frac{V_{атомов}}{V_{ячейки}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{8R^3} = \frac{4\pi R^3}{3 \cdot 8R^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236$

В процентах это составляет $0.5236 \cdot 100\% \approx 52.4\%$.

Ответ: 52.4%.

10.155. Один из галогенидов лития имеет кристаллическую структуру типа NaCl. Элементарная ячейка представляет собой куб стороной 0,550 нм, плотность кристаллов 3,464 $\mathrm{г}/{\mathrm{см}}^3.$ Установите формулу галогенида.

Дано:

Тип кристаллической структуры - $NaCl$
Параметр элементарной ячейки (сторона куба) $a = 0.550 \text{ нм}$
Плотность кристаллов $\rho = 3.464 \text{ г/см}^3$
Постоянная Авогадро $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
Атомная масса лития $Ar(Li) \approx 6.94 \text{ а.е.м.}$

Перевод в систему СИ:
$a = 0.550 \text{ нм} = 0.550 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
$\rho = 3.464 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 3.464 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 3.464 \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 3464 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Формулу галогенида лития.

Решение:

Плотность кристалла связана с параметрами его элементарной ячейки формулой: $\rho = \frac{Z \cdot M}{V \cdot N_A}$, где
$Z$ - число формульных единиц в элементарной ячейке,
$M$ - молярная масса вещества (в кг/моль в СИ),
$V$ - объем элементарной ячейки,
$N_A$ - число Авогадро.

Кристаллическая структура типа $NaCl$ является гранецентрированной кубической (ГЦК). В такой ячейке содержится 4 катиона и 4 аниона. Следовательно, число формульных единиц $Z$ для галогенида лития ($LiX$) равно 4.

Элементарная ячейка представляет собой куб со стороной $a$, поэтому ее объем $V$ равен $a^3$. $V = a^3 = (0.550 \cdot 10^{-9} \text{ м})^3 = 0.166375 \cdot 10^{-27} \text{ м}^3$.

Выразим молярную массу $M$ из формулы плотности: $M = \frac{\rho \cdot V \cdot N_A}{Z}$

Подставим известные значения в систему СИ: $M = \frac{3464 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (0.166375 \cdot 10^{-27} \text{ м}^3) \cdot (6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1})}{4}$ $M \approx \frac{3468.1}{4} \cdot 10^{-4} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \approx 867 \cdot 10^{-4} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \approx 0.0867 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Переведем молярную массу в более привычные единицы г/моль: $M = 0.0867 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 1000 \frac{\text{г}}{\text{кг}} = 86.7 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$

Найденная молярная масса $M$ относится ко всему соединению $LiX$. Она равна сумме молярных масс лития и неизвестного галогена $X$: $M(LiX) = M(Li) + M(X)$

Молярная масса лития $M(Li)$ составляет примерно $6.94 \text{ г/моль}$. Найдем молярную массу галогена: $M(X) = M(LiX) - M(Li) = 86.7 \frac{\text{г}}{\text{моль}} - 6.94 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 79.76 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$

Сравним полученное значение с молярными массами галогенов: $M(F) \approx 19.00 \text{ г/моль}$; $M(Cl) \approx 35.45 \text{ г/моль}$; $M(Br) \approx 79.90 \text{ г/моль}$; $M(I) \approx 126.9 \text{ г/моль}$. Полученное значение $79.76 \text{ г/моль}$ наиболее близко к молярной массе брома ($Br$). Следовательно, неизвестный галогенид — это бромид лития.

Ответ: $LiBr$ (бромид лития).

10.156. Один из галогенидов калия имеет кристаллическую структуру типа NaCl. Элементарная ячейка представляет собой куб стороной 0,536 нм, плотность кристаллов 2,49 $\mathrm{г}/{\mathrm{см}}^3.$ Установите формулу галогенида.

Дано:

Кристаллическая структура - тип NaCl

Сторона элементарной ячейки, $a = 0,536 \text{ нм}$

Плотность, $\rho = 2,49 \text{ г/см}^3$

Соединение - галогенид калия (KHal)

Постоянная Авогадро, $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Молярная масса калия, $M(K) \approx 39,1 \text{ г/моль}$

Перевод данных для расчетов:

$a = 0,536 \text{ нм} = 0,536 \cdot 10^{-7} \text{ см}$

Найти:

Формулу галогенида калия.

Решение:

1. Определим число формульных единиц ($Z$) в элементарной ячейке. Кристаллическая структура типа NaCl является гранецентрированной кубической (ГЦК). В такой решетке ионы одного знака (например, K⁺) занимают вершины и центры граней куба, а ионы другого знака (Hal⁻) занимают центр куба и середины его ребер. Число ионов каждого типа в одной элементарной ячейке равно:

Число катионов K⁺ = $8 \text{ (в вершинах)} \times \frac{1}{8} + 6 \text{ (в центрах граней)} \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4$

Число анионов Hal⁻ = $12 \text{ (на ребрах)} \times \frac{1}{4} + 1 \text{ (в центре куба)} \times 1 = 3 + 1 = 4$

Таким образом, на одну элементарную ячейку приходится 4 формульные единицы KHal. Следовательно, $Z=4$.

2. Плотность кристалла ($\rho$) связана с параметрами элементарной ячейки следующей формулой:

$\rho = \frac{m_{ячейки}}{V_{ячейки}} = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot V_{ячейки}}$

где $M$ – молярная масса вещества, $N_A$ – число Авогадро, $V_{ячейки}$ – объем элементарной ячейки.

Поскольку ячейка кубическая со стороной $a$, ее объем $V_{ячейки} = a^3$. Формула принимает вид:

$\rho = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot a^3}$

3. Выразим из этой формулы молярную массу галогенида калия $M(KHal)$ и вычислим ее значение:

$M(KHal) = \frac{\rho \cdot N_A \cdot a^3}{Z}$

Подставим числовые значения в формулу:

$M(KHal) = \frac{2,49 \text{ г/см}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot (0,536 \cdot 10^{-7} \text{ см})^3}{4}$

$M(KHal) = \frac{2,49 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \cdot 0,154 \cdot 10^{-21}}{4} \text{ г/моль}$

$M(KHal) = \frac{2,49 \cdot 6,022 \cdot 0,154 \cdot 10^2}{4} \text{ г/моль}$

$M(KHal) \approx \frac{231,05}{4} \text{ г/моль} \approx 57,76 \text{ г/моль}$

4. Теперь найдем молярную массу неизвестного галогена $M(Hal)$. Она равна разности молярной массы соединения и молярной массы калия:

$M(Hal) = M(KHal) - M(K)$

$M(Hal) \approx 57,76 \text{ г/моль} - 39,1 \text{ г/моль} = 18,66 \text{ г/моль}$

5. Сравним полученное значение с молярными массами галогенов:

• $M(F) = 19,00 \text{ г/моль}$
• $M(Cl) = 35,45 \text{ г/моль}$
• $M(Br) = 79,90 \text{ г/моль}$
• $M(I) = 126,90 \text{ г/моль}$

Расчетное значение $18,66 \text{ г/моль}$ наиболее близко к молярной массе фтора ($19,00 \text{ г/моль}$). Следовательно, искомый галогенид — это фторид калия.

Ответ: Формула галогенида — KF.

10.157. Один из галогенидов рубидия имеет кристаллическую структуру типа NaCl. Элементарная ячейка представляет собой куб стороной 0,690 нм, плотность кристаллов 3,35 $\mathrm{г}/{\mathrm{см}}^3.$ Установите формулу галогенида.

Дано:

Тип кристаллической структуры - NaCl

Сторона элементарной ячейки, $a = 0,690 \text{ нм} = 0,690 \cdot 10^{-7} \text{ см}$

Плотность кристаллов, $\rho = 3,35 \text{ г/см}^3$

Число Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Атомная масса рубидия, $A_r(\text{Rb}) = 85,47$

Молярная масса рубидия, $M(\text{Rb}) = 85,47 \text{ г/моль}$

Найти:

Формулу галогенида рубидия RbX.

Решение:

Кристаллическая структура типа NaCl является гранецентрированной кубической. В элементарной ячейке такой структуры содержится 4 катиона (в данном случае $Rb^{+}$) и 4 аниона (галогенид-ионы $X^{-}$). Таким образом, число формульных единиц в элементарной ячейке $Z = 4$.

Плотность кристалла ($\rho$) связана с параметрами элементарной ячейки следующей формулой:

$\rho = \frac{m_{ячейки}}{V_{ячейки}} = \frac{Z \cdot M(\text{RbX})}{N_A \cdot a^3}$

где $M(\text{RbX})$ - молярная масса галогенида рубидия, $N_A$ - число Авогадро, $a$ - параметр (длина ребра) элементарной ячейки.

Выразим молярную массу галогенида $M(\text{RbX})$ из этой формулы:

$M(\text{RbX}) = \frac{\rho \cdot N_A \cdot a^3}{Z}$

Сначала вычислим объем элементарной ячейки $V_{ячейки} = a^3$:

$a^3 = (0,690 \cdot 10^{-7} \text{ см})^3 = 0,328509 \cdot 10^{-21} \text{ см}^3$

Теперь подставим все известные значения в формулу для молярной массы:

$M(\text{RbX}) = \frac{3,35 \text{ г/см}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot 0,328509 \cdot 10^{-21} \text{ см}^3}{4}$

$M(\text{RbX}) = \frac{3,35 \cdot 6,022 \cdot 0,328509 \cdot 10^2}{4} \text{ г/моль}$

$M(\text{RbX}) \approx \frac{662,75}{4} \text{ г/моль} \approx 165,69 \text{ г/моль}$

Молярная масса соединения $M(\text{RbX})$ является суммой молярных масс рубидия $M(\text{Rb})$ и неизвестного галогена $M(\text{X})$:

$M(\text{RbX}) = M(\text{Rb}) + M(\text{X})$

Найдем молярную массу галогена:

$M(\text{X}) = M(\text{RbX}) - M(\text{Rb})$

$M(\text{X}) = 165,69 \text{ г/моль} - 85,47 \text{ г/моль} = 80,22 \text{ г/моль}$

Сравним полученное значение с молярными массами галогенов:

• F (фтор): $19,00 \text{ г/моль}$
• Cl (хлор): $35,45 \text{ г/моль}$
• Br (бром): $79,90 \text{ г/моль}$
• I (иод): $126,90 \text{ г/моль}$

Рассчитанное значение $80,22 \text{ г/моль}$ наиболее близко к молярной массе брома. Следовательно, неизвестный галоген - это бром (Br).

Таким образом, формула искомого галогенида рубидия - RbBr.

Ответ: RbBr.

10.158. Плотность хлорида металла равна 4130 $\mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^3.$ Ионы металла образуют ГЦК-подрешётку, а длина ребра ячейки составляет 0,542 нм. Определите хлорид.

Дано:

Плотность хлорида металла, $ρ = 4130$ кг/м³

Тип подрешетки ионов металла - Гранецентрированная кубическая (ГЦК)

Длина ребра элементарной ячейки, $a = 0,542$ нм

Переведем данные в систему СИ:
$a = 0,542 \text{ нм} = 0,542 \times 10^{-9}$ м

Найти:

Определить хлорид (найти неизвестный металл).

Решение:

Плотность кристаллического вещества связана с параметрами его элементарной ячейки формулой:

$ρ = \frac{m_{яч}}{V_{яч}} = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot a^3}$

где:

• $Z$ - число формульных единиц в элементарной ячейке,
• $M$ - молярная масса соединения (в кг/моль),
• $N_A$ - число Авогадро ($N_A \approx 6,022 \times 10^{23}$ моль⁻¹),
• $a$ - параметр (длина ребра) элементарной ячейки.

Из условия известно, что ионы металла образуют ГЦК-подрешетку. В ГЦК-решетке число атомов (в данном случае ионов металла) на одну элементарную ячейку составляет:

$N_{Me} = 8 \cdot \frac{1}{8} \text{ (в вершинах)} + 6 \cdot \frac{1}{2} \text{ (на гранях)} = 1 + 3 = 4$

Следовательно, в каждой элементарной ячейке содержится 4 иона металла. Это означает, что число формульных единиц $Z$ также равно 4.

Выразим молярную массу соединения $M$ из формулы для плотности:

$M = \frac{ρ \cdot N_A \cdot a^3}{Z}$

Подставим известные значения и вычислим молярную массу:

$M = \frac{4130 \text{ кг/м}^3 \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot (0,542 \times 10^{-9} \text{ м})^3}{4}$

$M = \frac{4130 \cdot 6,022 \times 10^{23} \cdot 0,15922 \times 10^{-27}}{4} \text{ кг/моль}$

$M \approx \frac{3,962 \times 10^{-1}}{4} \text{ кг/моль} \approx 0,09905$ кг/моль

Переведем молярную массу в более привычные единицы, грамм на моль:

$M \approx 99,05$ г/моль

Это молярная масса всего соединения, хлорида металла MeClₓ. Она складывается из молярной массы металла $M_{Me}$ и молярной массы хлора $M_{Cl}$:

$M = M_{Me} + x \cdot M_{Cl}$

где $x$ - валентность металла (и число атомов хлора в формуле). Молярная масса хлора $M_{Cl} \approx 35,45$ г/моль.

Рассмотрим возможные варианты валентности металла:

1. Если металл одновалентен ($x=1$), формула соединения - MeCl. Тогда молярная масса металла:

$M_{Me} = M - M_{Cl} = 99,05 - 35,45 = 63,6$ г/моль.

Полученное значение очень близко к молярной массе меди Cu ($M_{Cu} = 63,55$ г/моль). Хлорид меди(I), CuCl, кристаллизуется в структуре типа цинковой обманки, где ионы Cu⁺ образуют ГЦК-подрешетку, что полностью соответствует условию задачи.

2. Если металл двухвалентен ($x=2$), формула соединения - MeCl₂. Тогда молярная масса металла:

$M_{Me} = M - 2 \cdot M_{Cl} = 99,05 - 2 \cdot 35,45 = 99,05 - 70,90 = 28,15$ г/моль.

Это значение близко к молярной массе кремния Si ($M_{Si} = 28,09$ г/моль), который является неметаллом. Других подходящих металлов с такой молярной массой нет.

3. Если металл трехвалентен ($x=3$), формула соединения - MeCl₃. Тогда молярная масса металла:

$M_{Me} = M - 3 \cdot M_{Cl} = 99,05 - 3 \cdot 35,45 = 99,05 - 106,35 = -7,3$ г/моль.

Масса не может быть отрицательной, этот вариант невозможен.

Таким образом, наиболее вероятным вариантом является хлорид меди(I).

Ответ: Хлорид меди(I) (CuCl).

10.159. Определите плотность кубических кристаллов ${\mathrm{SrCl}}_2$ (структурный тип флюорита), если расстояние Sr–Cl равно 3,02 А.

Дано:

Кристаллическая структура $SrCl_2$ - тип флюорита ($CaF_2$)

Расстояние $Sr-Cl$: $d = 3,02$ Å

Найти:

Плотность кристаллов $SrCl_2$ - $\rho$

Решение:

Плотность вещества определяется по формуле $\rho = \frac{m}{V}$. Для кристалла плотность можно рассчитать как отношение массы элементарной ячейки к ее объему:

$\rho = \frac{m_{яч}}{V_{яч}}$

$SrCl_2$ кристаллизуется в кубической решетке типа флюорита ($CaF_2$). В этой структуре ионы $Sr^{2+}$ образуют гранецентрированную кубическую (ГЦК) решетку, а ионы $Cl^-$ занимают все тетраэдрические пустоты.

Определим число формульных единиц $Z$ в одной элементарной ячейке. Число ионов $Sr^{2+}$ в ячейке ($Z_{Sr}$) равно 4 (8 ионов в вершинах куба, каждый из которых принадлежит 8 ячейкам, и 6 ионов в центрах граней, каждый из которых принадлежит 2 ячейкам):

$Z_{Sr} = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4$

Число ионов $Cl^-$ в ячейке ($Z_{Cl}$) равно 8, так как они занимают все 8 тетраэдрических пустот, которые полностью принадлежат ячейке.

Таким образом, на одну элементарную ячейку приходится 4 иона $Sr^{2+}$ и 8 ионов $Cl^-$, что соответствует 4 формульным единицам $SrCl_2$. Следовательно, $Z = 4$.

Массу элементарной ячейки найдем, умножив массу одной формульной единицы на их число в ячейке:

$m_{яч} = Z \times \frac{M_{SrCl_2}}{N_A}$

Молярная масса хлорида стронция $M_{SrCl_2}$:

$M_{SrCl_2} = M_{Sr} + 2 \cdot M_{Cl} = 0,08762 \text{ кг/моль} + 2 \cdot 0,035453 \text{ кг/моль} = 0,158526 \text{ кг/моль}$

Тогда масса ячейки:

$m_{яч} = \frac{4 \cdot 0,158526 \text{ кг/моль}}{6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 1,0529 \times 10^{-24} \text{ кг}$

Объем элементарной ячейки, являющейся кубом, равен $V_{яч} = a^3$, где $a$ - параметр (ребро) решетки.

В структуре типа флюорита ион $Sr^{2+}$ может находиться в вершине куба (координаты (0,0,0)), а ближайший к нему ион $Cl^-$ — в тетраэдрической пустоте (координаты ($\frac{a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{a}{4}$)). Расстояние между ними $d$ равно четверти пространственной диагонали куба. Связь между расстоянием $d$ и параметром решетки $a$ выражается формулой:

$d = \sqrt{(\frac{a}{4})^2 + (\frac{a}{4})^2 + (\frac{a}{4})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Отсюда выразим параметр решетки $a$ и вычислим его:

$a = \frac{4d}{\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot 3,02 \times 10^{-10} \text{ м}}{\sqrt{3}} \approx 6,9746 \times 10^{-10} \text{ м}$

Теперь найдем объем элементарной ячейки:

$V_{яч} = a^3 = (6,9746 \times 10^{-10} \text{ м})^3 \approx 339,26 \times 10^{-30} \text{ м}^3$

Наконец, рассчитаем плотность:

$\rho = \frac{m_{яч}}{V_{яч}} = \frac{1,0529 \times 10^{-24} \text{ кг}}{339,26 \times 10^{-30} \text{ м}^3} \approx 3103,5 \text{ кг/м}^3$

Округляя до четырех значащих цифр, получаем $\rho \approx 3104 \text{ кг/м}^3$.

Ответ: Плотность кубических кристаллов $SrCl_2$ равна $3104 \text{ кг/м}^3$.

10.160. Вычислите расстояние Be–Те в структуре ВеТе (структурный тип сфалерита), если плотность кристаллов 5,1 $\mathrm{г}/{\mathrm{см}}^3.$

Дано:

Соединение: BeTe
Тип кристаллической структуры: сфалерит (ZnS)
Плотность: $\rho = 5.1 \text{ г/см}^3$

Перевод в систему СИ:
$\rho = 5.1 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 5.1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$
Молярная масса бериллия $M(\text{Be}) \approx 9.012 \text{ г/моль} = 9.012 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Молярная масса теллура $M(\text{Te}) \approx 127.60 \text{ г/моль} = 127.60 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Молярная масса теллурида бериллия $M(\text{BeTe}) = M(\text{Be}) + M(\text{Te}) = 9.012 + 127.60 = 136.612 \text{ г/моль} = 136.612 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Число Авогадро $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
Число формульных единиц в элементарной ячейке структуры сфалерита $Z = 4$

Найти:

Расстояние Be—Te, $d(\text{Be-Te})$

Решение:

Плотность кристалла связана с параметрами его элементарной ячейки формулой: $\rho = \frac{m_{яч}}{V_{яч}}$, где $m_{яч}$ — масса всех атомов в одной элементарной ячейке, а $V_{яч}$ — её объём.

Масса элементарной ячейки определяется как произведение числа формульных единиц $Z$ на массу одной формульной единицы, которая равна $\frac{M}{N_A}$: $m_{яч} = Z \cdot \frac{M(\text{BeTe})}{N_A}$

Объём кубической ячейки равен $V_{яч} = a^3$, где $a$ — параметр (длина ребра) элементарной ячейки.

Таким образом, формула для плотности принимает вид: $\rho = \frac{Z \cdot M(\text{BeTe})}{a^3 \cdot N_A}$

Выразим из этой формулы параметр решётки $a$. Сначала найдём объём ячейки $a^3$: $a^3 = \frac{Z \cdot M(\text{BeTe})}{\rho \cdot N_A}$

Подставим известные значения и вычислим объём ячейки: $a^3 = \frac{4 \cdot 136.612 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{5.1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} = \frac{546.448 \cdot 10^{-3}}{30.7122 \cdot 10^{26}} \text{ м}^3 \approx 17.79 \cdot 10^{-29} \text{ м}^3$

Для удобства извлечения кубического корня представим объём как $a^3 \approx 177.9 \cdot 10^{-30} \text{ м}^3$. Тогда параметр решётки $a$: $a = \sqrt[3]{177.9 \cdot 10^{-30} \text{ м}^3} \approx 5.624 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

В кристаллической структуре типа сфалерита (ZnS) атомы одного элемента образуют гранецентрированную кубическую решётку, а атомы другого элемента занимают половину тетраэдрических пустот в этой решётке. Кратчайшее межатомное расстояние (в данном случае, длина связи Be—Te) соответствует расстоянию между вершиной тетраэдра и его центром. Это расстояние равно четверти длины пространственной диагонали кубической ячейки.

Длина пространственной диагонали куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{3}$. Следовательно, расстояние Be—Te вычисляется по формуле: $d(\text{Be-Te}) = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное значение параметра решётки $a$: $d(\text{Be-Te}) = \frac{5.624 \cdot 10^{-10} \text{ м} \cdot \sqrt{3}}{4} \approx \frac{5.624 \cdot 10^{-10} \cdot 1.732}{4} \text{ м} \approx \frac{9.740 \cdot 10^{-10}}{4} \text{ м} \approx 2.435 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Для межатомных расстояний удобно использовать единицы измерения пикометры (пм), где $1 \text{ пм} = 10^{-12} \text{ м}$: $d(\text{Be-Te}) = 2.435 \cdot 10^{-10} \text{ м} = 243.5 \text{ пм}$

Ответ: расстояние Be—Te в структуре BeTe составляет $243.5 \text{ пм}$.

10.161. Одна из кристаллических форм белого фосфора имеет кубическую элементарную ячейку с ребром 0,757 нм. Плотность белого фосфора равна 1,828 $\mathrm{г}/{\mathrm{см}}^3.$ Сколько молекул фосфора входит в состав одной ячейки?

Дано:

Тип кристаллической ячейки: кубическая

Ребро элементарной ячейки: $a = 0,757 \text{ нм}$

Плотность белого фосфора: $\rho = 1,828 \text{ г/см³}$

Вещество: белый фосфор, состоящий из молекул $P_4$.

Молярная масса фосфора (P): $M_r(P) \approx 30,97 \text{ г/мол}$

Число Авогадро: $N_A \approx 6,022 \times 10^{23} \text{ мол}^{-1}$

Переведем данные в единую систему (г, см):

$a = 0,757 \text{ нм} = 0,757 \times 10^{-7} \text{ см}$

$\rho = 1,828 \text{ г/см³}$

Найти:

Число молекул фосфора в одной элементарной ячейке: $Z$

Решение:

Плотность вещества в кристаллическом состоянии связана с параметрами элементарной ячейки следующей формулой:

$\rho = \frac{m_{ячейки}}{V_{ячейки}}$

где $m_{ячейки}$ – масса вещества в одной элементарной ячейке, а $V_{ячейки}$ – объем одной элементарной ячейки.

Так как ячейка кубическая, ее объем равен кубу длины ребра:

$V_{ячейки} = a^3 = (0,757 \times 10^{-7} \text{ см})^3 \approx 0,4338 \times 10^{-21} \text{ см}^3$

Масса вещества в ячейке равна произведению числа молекул $Z$ в ячейке на массу одной молекулы $m_{молекулы}$:

$m_{ячейки} = Z \cdot m_{молекулы}$

Массу одной молекулы белого фосфора ($P_4$) можно найти через его молярную массу $M(P_4)$ и число Авогадро $N_A$.

Молярная масса молекулы $P_4$ равна учетверенной молярной массе атома фосфора:

$M(P_4) = 4 \cdot M_r(P) = 4 \cdot 30,97 \text{ г/мол} = 123,88 \text{ г/мол}$

Тогда масса одной молекулы:

$m_{молекулы} = \frac{M(P_4)}{N_A}$

Подставим все выражения в формулу для плотности:

$\rho = \frac{Z \cdot M(P_4)}{N_A \cdot a^3}$

Выразим из этой формулы искомое число молекул $Z$:

$Z = \frac{\rho \cdot N_A \cdot a^3}{M(P_4)}$

Подставим числовые значения:

$Z = \frac{1,828 \text{ г/см³} \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ мол}^{-1} \cdot (0,757 \times 10^{-7} \text{ см})^3}{123,88 \text{ г/мол}}$

$Z = \frac{1,828 \cdot 6,022 \times 10^{23} \cdot 0,4338 \times 10^{-21}}{123,88}$

$Z = \frac{1,828 \cdot 6,022 \cdot 0,4338 \cdot 10^2}{123,88} = \frac{477,3}{123,88} \approx 3,85$

Число молекул в элементарной ячейке должно быть целым числом. Полученное значение близко к 4. Расхождение, вероятнее всего, связано с погрешностями в исходных данных. Поэтому округляем результат до ближайшего целого числа.

$Z = 4$

Ответ: в состав одной элементарной ячейки входит 4 молекулы фосфора.

10.162. Элементарная ячейка простого вещества имеет вид:

Плотность вещества 5327 $\mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^3,$ параметр ячейки $\mathrm{\alpha }=0,566\mathrm{нм}.$ Определите элемент.

Дано:

Тип элементарной ячейки: алмазная кубическая
Плотность вещества, $\rho = 5327$ кг/м³
Параметр ячейки, $a = 0,566$ нм

Перевод в систему СИ:
$a = 0,566 \times 10^{-9}$ м

Найти:

Элемент - ?

Решение:

Плотность вещества можно определить через параметры его кристаллической решетки по формуле: $\rho = \frac{m_{\text{ячейки}}}{V_{\text{ячейки}}}$ где $m_{\text{ячейки}}$ — масса всех атомов в одной элементарной ячейке, а $V_{\text{ячейки}}$ — объем элементарной ячейки.

Объем кубической ячейки равен $V_{\text{ячейки}} = a^3$, где $a$ — параметр ячейки.

Масса ячейки $m_{\text{ячейки}}$ равна произведению числа атомов в ячейке ($n$) на массу одного атома ($m_{\text{атома}}$): $m_{\text{ячейки}} = n \cdot m_{\text{атома}}$

На изображении представлена элементарная ячейка алмазоподобной структуры. Такая ячейка содержит:

• 8 атомов в вершинах куба (каждый принадлежит 8 ячейкам, итого $8 \times 1/8 = 1$ атом)
• 6 атомов в центрах граней (каждый принадлежит 2 ячейкам, итого $6 \times 1/2 = 3$ атома)
• 4 атома внутри объема ячейки.

Массу одного атома можно выразить через молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A = 6,022 \times 10^{23}$ моль⁻¹: $m_{\text{атома}} = \frac{M}{N_A}$

Объединив формулы, получим выражение для плотности: $\rho = \frac{n \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$

Выразим из этой формулы молярную массу $M$: $M = \frac{\rho \cdot a^3 \cdot N_A}{n}$

Подставим известные значения и вычислим молярную массу: $M = \frac{5327 \text{ кг/м³} \cdot (0,566 \times 10^{-9} \text{ м})^3 \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{8}$ $M \approx \frac{5327 \cdot 0,1813 \times 10^{-27} \cdot 6,022 \times 10^{23}}{8} \text{ кг/моль}$ $M \approx \frac{5816,6 \times 10^{-4}}{8} \text{ кг/моль}$ $M \approx 727 \times 10^{-4} \text{ кг/моль} \approx 0,0727$ кг/моль

Переведем молярную массу в более привычные единицы г/моль: $M \approx 0,0727 \text{ кг/моль} \cdot 1000 \text{ г/кг} = 72,7$ г/моль.

Сравнив полученное значение с молярными массами элементов в периодической таблице Менделеева, находим, что наиболее близким элементом является Германий (Ge), молярная масса которого составляет 72,63 г/моль. Германий как раз имеет алмазоподобную кристаллическую решетку.

Ответ: Искомый элемент — Германий (Ge).