Страница 281 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.163. Найдите расстояние между центрами соседних молекул фуллерена ${\mathrm{C}}_{60}$ в его низкотемпературной модификации (плотность 1,7 $\mathrm{г}/{\mathrm{см}}^3),$ которая имеет примитивную кубическую решётку, где молекулы находятся только в вершинах кубической элементарной ячейки.

Дано:

Молекула: фуллерен C₆₀
Тип решётки: примитивная кубическая
Плотность: $ \rho = 1,7 \text{ г/см}^3 $
Постоянная Авогадро: $ N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} $
Молярная масса углерода: $ M_r(\text{C}) = 12 \text{ г/моль} $

Перевод в систему СИ:
$ \rho = 1,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 1,7 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 1,7 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} $

Найти:

Расстояние между центрами соседних молекул $d$.

Решение:

Плотность кристаллического вещества связана с параметрами его элементарной ячейки формулой:

$ \rho = \frac{m_{яч}}{V_{яч}} = \frac{Z \cdot m_0}{a^3} $

где $Z$ — число молекул, приходящихся на одну элементарную ячейку, $m_0$ — масса одной молекулы, $a$ — параметр (длина ребра) элементарной ячейки, $V_{яч} = a^3$ — объём элементарной ячейки.

В примитивной кубической решётке молекулы находятся только в вершинах куба. Каждая из 8 вершин принадлежит одновременно 8 ячейкам, поэтому на одну ячейку приходится:

$ Z = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1 $ молекула

В такой решётке соседние молекулы расположены вдоль рёбер куба, и расстояние между их центрами равно параметру решётки $a$. Следовательно, искомое расстояние $d=a$.

Массу одной молекулы фуллерена $m_0$ можно найти через его молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$:

$ m_0 = \frac{M}{N_A} $

Молярная масса фуллерена C₆₀ равна:

$ M = 60 \cdot M_r(\text{C}) = 60 \cdot 12 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 720 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0,72 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} $

Подставим все выражения в формулу для плотности:

$ \rho = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot a^3} $

Выразим отсюда параметр решётки $a$:

$ a^3 = \frac{Z \cdot M}{\rho \cdot N_A} $

$ a = \sqrt[3]{\frac{Z \cdot M}{\rho \cdot N_A}} $

Подставим числовые значения в системе СИ:

$ a = \sqrt[3]{\frac{1 \cdot 0,72 \text{ кг/моль}}{1,7 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}} = \sqrt[3]{\frac{0,72}{1,7 \cdot 6,022 \cdot 10^{26}}} \text{ м} $

$ a = \sqrt[3]{\frac{0,72}{10,2374 \cdot 10^{26}}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{0,0703 \cdot 10^{-26}} \text{ м} = \sqrt[3]{70,3 \cdot 10^{-30}} \text{ м} $

$ a \approx 4,13 \cdot 10^{-10} \text{ м} $

Ой, ошибка в вычислении. Давайте пересчитаем внимательнее, используя исходные единицы г и см, чтобы избежать ошибок с порядками.

$ a = \sqrt[3]{\frac{1 \cdot 720 \text{ г/моль}}{1,7 \text{ г/см}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}} = \sqrt[3]{\frac{720}{10,2374 \cdot 10^{23}}} \text{ см} $

$ a = \sqrt[3]{70,328 \cdot 10^{-23}} \text{ см} = \sqrt[3]{7,0328 \cdot 10^{-22}} \text{ см} $

Чтобы извлечь кубический корень, представим степень как кратную трём:

$ a = \sqrt[3]{703,28 \cdot 10^{-24}} \text{ см} $

Поскольку $8^3=512$ и $9^3=729$, корень из 703.28 будет близок к 9. Точнее, $ \sqrt[3]{703,28} \approx 8,89 $.

$ a \approx 8,89 \cdot 10^{-8} \text{ см} $

Переведем в метры и нанометры:

$ d = a \approx 8,89 \cdot 10^{-10} \text{ м} = 0,889 \text{ нм} $

Ответ: $d \approx 8,89 \cdot 10^{-10} \text{ м}$ или $0,889 \text{ нм}$.

10.164. Алмаз имеет кубическую решётку с длиной ребра ячейки $\mathrm{\alpha }=357\mathrm{пм}.$ Определите число атомов углерода, приходящееся на одну ячейку, и найдите плотность алмаза. Какую долю пространства занимают атомы углерода, если длина связи С–С равна 154 пм?

Дано:

Найти:

Решение:

1. Определите число атомов углерода, приходящееся на одну ячейку

Кристаллическая решётка алмаза является разновидностью кубической гранецентрированной решётки. Атомы углерода в элементарной ячейке располагаются следующим образом:

• 8 атомов в вершинах куба. Каждый из этих атомов принадлежит одновременно 8 соседним ячейкам, поэтому вклад в одну ячейку составляет $8 \times \frac{1}{8} = 1$ атом.
• 6 атомов в центрах граней куба. Каждый из этих атомов принадлежит 2 соседним ячейкам, поэтому вклад в одну ячейку составляет $6 \times \frac{1}{2} = 3$ атома.
• 4 атома находятся полностью внутри объёма элементарной ячейки (в тетраэдрических пустотах). Их вклад равен 4 атомам.

Суммарное число атомов углерода $n$ на одну элементарную ячейку равно сумме этих вкладов:

$n = \left(8 \times \frac{1}{8}\right) + \left(6 \times \frac{1}{2}\right) + 4 = 1 + 3 + 4 = 8 \text{ атомов}$

Ответ: На одну элементарную ячейку приходится 8 атомов углерода.

2. Найдите плотность алмаза

Плотность $\rho$ определяется как отношение массы всех атомов в элементарной ячейке $m_{ячейки}$ к объёму ячейки $V_{ячейки}$:

$\rho = \frac{m_{ячейки}}{V_{ячейки}}$

Объём элементарной ячейки (куба) равен $V_{ячейки} = a^3$.

Масса ячейки равна произведению числа атомов в ячейке $n$ на массу одного атома углерода $m_C$. Массу одного атома можно найти, разделив молярную массу углерода $M(C)$ на число Авогадро $N_A$: $m_C = \frac{M(C)}{N_A}$.

Таким образом, $m_{ячейки} = n \times \frac{M(C)}{N_A}$.

Итоговая формула для плотности:

$\rho = \frac{n \cdot M(C)}{a^3 \cdot N_A}$

Подставим значения в системе СИ:

$\rho = \frac{8 \times 0,012011 \text{ кг/моль}}{(3,57 \times 10^{-10} \text{ м})^3 \times 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} = \frac{0,096088 \text{ кг}}{(4,5503 \times 10^{-29} \text{ м}^3) \times (6,022 \times 10^{23})} \approx \frac{0,096088}{2,740 \times 10^{-5}} \text{ кг/м}^3 \approx 3506 \text{ кг/м}^3$

Ответ: Плотность алмаза составляет приблизительно $3506 \text{ кг/м}^3$ (или $3,506 \text{ г/см}^3$).

3. Какую долю пространства занимают атомы углерода, если длина связи C—C равна 154 пм?

Доля пространства $f$ (также называемая коэффициентом упаковки), занимаемая атомами, равна отношению суммарного объёма атомов в ячейке $V_{атомов}$ к объёму самой ячейки $V_{ячейки}$.

$f = \frac{V_{атомов}}{V_{ячейки}} = \frac{n \cdot V_{атома}}{a^3}$

Атомы углерода моделируются как шары. Объём одного атома (шара) вычисляется по формуле $V_{атома} = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Радиус атома углерода $r$ принимаем равным половине длины связи C—C:

$r = \frac{d}{2} = \frac{154 \text{ пм}}{2} = 77 \text{ пм}$

Теперь можем найти долю занимаемого пространства. Для удобства расчётов можно оставить длины в пикометрах, так как единицы измерения сократятся.

$f = \frac{n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3} = \frac{8 \cdot \frac{4}{3}\pi (77 \text{ пм})^3}{(357 \text{ пм})^3} = \frac{32\pi \cdot 77^3}{3 \cdot 357^3} = \frac{32\pi \cdot 456533}{3 \cdot 45503373} \approx \frac{45904842}{136510119} \approx 0,3363$

Эта доля в процентах составляет $0,3363 \times 100\% = 33,63\%$.

Примечание: Теоретическое значение для идеальной алмазной решётки равно $\frac{\pi\sqrt{3}}{16} \approx 0,3401$, или 34,01%. Небольшое расхождение связано с тем, что приведённые в задаче значения $a=357$ пм и $d=154$ пм не строго соответствуют идеальной геометрии, в которой $d = a\sqrt{3}/4$.

Ответ: Атомы углерода занимают долю пространства, равную примерно 0,336, или 33,6%.

10.165. Вещество ионного строения X состоит из трёх элементов. В положительном и отрицательном ионах число электронов одинаково. Вещество X образуется при взаимодействии газа А и жидкости (при н. у.) В, молекулы которых также содержат одинаковое число электронов. Определите формулы X, А, В и найдите число электронов в каждом ионе и каждой молекуле. Напишите уравнение взаимодействия X со щёлочью и превращения X в кислую соль, состоящую из трёх элементов.

Определение формул X, A, B и нахождение числа электронов в каждом ионе и каждой молекуле

1. Начнем с анализа веществ А и В. Вещество А — газ при нормальных условиях (н. у.), а вещество В — жидкость. В их молекулах содержится одинаковое число электронов. Рассмотрим распространенные молекулы с небольшим числом электронов. Число электронов в молекуле равно сумме порядковых номеров всех атомов в ней.
Кандидаты с 10 электронами:

• Газы: аммиак ($NH_3$: $7 + 3 \cdot 1 = 10 e^-$), метан ($CH_4$: $6 + 4 \cdot 1 = 10 e^-$), неон ($Ne$: $10 e^-$).
• Жидкости: вода ($H_2O$: $8 + 2 \cdot 1 = 10 e^-$), фтороводород ($HF$: $9 + 1 = 10 e^-$, т.кип. 19.5°C, при н.у. газ, но часто рассматривается как жидкость или раствор).

2. Вещество Х образуется при взаимодействии А и В. $NH_3 + H_2O \rightleftharpoons NH_3 \cdot H_2O \rightleftharpoons NH_4OH$ Таким образом, вещество Х — это гидроксид аммония, $NH_4OH$.

3. Проверим, соответствует ли вещество Х ($NH_4OH$) остальным условиям задачи.

• Это вещество ионного строения, в водном растворе диссоциирует на ионы: $NH_4OH \rightleftharpoons NH_4^+ + OH^-$.
• Оно состоит из трёх элементов: азота (N), водорода (H) и кислорода (O).
• В положительном и отрицательном ионах число электронов должно быть одинаковым.
  • Число электронов в катионе аммония $NH_4^+$: $N_e(N) + 4 \cdot N_e(H) - 1 = 7 + 4 \cdot 1 - 1 = 10$ электронов.
  • Число электронов в гидроксид-ионе $OH^-$: $N_e(O) + N_e(H) + 1 = 8 + 1 + 1 = 10$ электронов.

Ответ: Формула вещества X – $NH_4OH$ (гидроксид аммония). Формула газа А – $NH_3$ (аммиак). Формула жидкости В – $H_2O$ (вода). Число электронов в катионе $NH_4^+$ равно 10. Число электронов в анионе $OH^-$ равно 10. Число электронов в молекуле $NH_3$ равно 10. Число электронов в молекуле $H_2O$ равно 10.

Напишите уравнение взаимодействия X со щёлочью

Вещество X (гидроксид аммония, $NH_4OH$) является слабым основанием и существует в равновесии с аммиаком и водой. При добавлении сильной щёлочи (например, $NaOH$) к раствору гидроксида аммония и последующем нагревании равновесие смещается в сторону образования аммиака, который выделяется в виде газа. Это качественная реакция на ион аммония. $NH_4OH + NaOH \xrightarrow{t^{\circ}} NH_3 \uparrow + H_2O + NaOH$ Более корректно записать реакцию в ионном виде, так как она описывает взаимодействие иона аммония $NH_4^+$ с гидроксид-ионом $OH^-$ из сильной щелочи: $NH_4^+ + OH^- \xrightarrow{t^{\circ}} NH_3 \uparrow + H_2O$

Ответ: $NH_4OH \xrightarrow{t^{\circ}} NH_3 \uparrow + H_2O$ (реакция разложения, усиливающаяся в присутствии щелочи), или в ионной форме: $NH_4^+ + OH^- \xrightarrow{t^{\circ}} NH_3 \uparrow + H_2O$.

Напишите уравнение превращения X в кислую соль, состоящую из трёх элементов

Для получения кислой соли необходимо провести реакцию вещества Х (основания $NH_4OH$) с многоосновной кислотой, взятой в избытке. Чтобы полученная кислая соль состояла из трёх элементов, нужно подобрать соответствующую кислоту. Такой кислотой является сероводородная кислота $H_2S$. Продуктом реакции будет гидросульфид аммония $NH_4HS$, который является кислой солью и состоит из трёх элементов: азота (N), водорода (H) и серы (S).

$NH_4OH + H_2S \rightarrow NH_4HS + H_2O$

Ответ: $NH_4OH + H_2S \rightarrow NH_4HS + H_2O$.

10.166. Один моль простого вещества А содержит электронов в 2 раза меньше, чем один моль бинарного соединения Б. Молярная масса А в 2,08 раза меньше молярной массы Б. Оба вещества имеют высокую твёрдость и не проводят электрический ток. Вещество А встречается в природе. Определите вещества А и Б.

Дано:

Вещество А — простое вещество.
Вещество Б — бинарное соединение.
Отношение числа электронов: $N_e(Б) = 2 \cdot N_e(А)$.
Отношение молярных масс: $M(Б) = 2.08 \cdot M(А)$.
Свойства: вещества А и Б имеют высокую твердость и не проводят электрический ток.
Происхождение: вещество А встречается в природе.

Найти:

Вещество А — ?
Вещество Б — ?

Решение:

1. Определение вещества А.Исходя из условий, вещество А является простым веществом, обладает высокой твердостью, не проводит электрический ток и встречается в природе. Этим характеристикам наиболее полно соответствует углерод (C) в его аллотропной модификации — алмаз. Алмаз является самым твердым природным веществом (твердость 10 по шкале Мооса) и диэлектриком. Другие возможные кандидаты, такие как бор или кремний, не встречаются в природе в свободном виде.Принимаем, что вещество А — это углерод. В кристаллической решетке алмаза формульная единица соответствует одному атому.

• Порядковый номер углерода: $Z_A = Z_C = 6$.
• Молярная масса углерода: $M(A) = M(C) \approx 12.011$ г/моль.
• Число электронов в 1 моль вещества А: $N_e(A) = Z_C \cdot N_A = 6 \cdot N_A$, где $N_A$ — постоянная Авогадро.

2. Определение характеристик вещества Б.Вещество Б — бинарное соединение, обозначим его формулу $X_mY_n$.

• Из условия о количестве электронов: $N_e(Б) = 2 \cdot N_e(A) = 2 \cdot (6 \cdot N_A) = 12 \cdot N_A$. Это означает, что суммарное число электронов в одной формульной единице вещества Б равно 12: $m \cdot Z_X + n \cdot Z_Y = 12$.
• Из условия о молярной массе: $M(Б) = 2.08 \cdot M(A) = 2.08 \cdot 12.011 \text{ г/моль} \approx 24.98$ г/моль.

3. Поиск вещества Б.Рассмотрим простейший случай, когда соединение имеет формулу XY ($m=1, n=1$). Тогда $Z_X + Z_Y = 12$. Переберем возможные пары элементов:

• Be и O ($Z=4, Z=8$): Соединение BeO (оксид бериллия). Сумма электронов: $4+8=12$. Молярная масса: $M(BeO) = 9.012 + 15.999 = 25.011$ г/моль. Свойства: Оксид бериллия — очень твердое вещество (9 по шкале Мооса), диэлектрик. Этот вариант подходит.
• B и N ($Z=5, Z=7$): Соединение BN (нитрид бора). Сумма электронов: $5+7=12$. Молярная масса: $M(BN) = 10.811 + 14.007 = 24.818$ г/моль. Свойства: Кубическая модификация нитрида бора (боразон) по твердости почти не уступает алмазу (9.5-10 по шкале Мооса) и является диэлектриком. Этот вариант также подходит.

4. Выбор между BeO и BN.Чтобы сделать окончательный выбор, сравним отношение молярных масс кандидатов к молярной массе углерода с заданным в условии значением 2,08.

• Для BeO: $\frac{M(BeO)}{M(C)} = \frac{25.011}{12.011} \approx 2.0823$
• Для BN: $\frac{M(BN)}{M(C)} = \frac{24.818}{12.011} \approx 2.0662$

Ответ: Вещество А — углерод (C) (в виде алмаза), вещество Б — оксид бериллия (BeO).

10.167. Кальций и бор образуют соединение необычного состава, в котором массовая доля одного из элементов составляет 38,17%. а) Установите формулу соединения, б) Сколько формульных единиц содержит изображённая на рисунке ячейка? в) Сколько ближайших соседей – атомов бора имеет каждый атом кальция? г) Плотность вещества равна 2,45 $\mathrm{г}/{\mathrm{см}}^3.$ Найдите длину ребра ячейки.

а) Установите формулу соединения.

Для определения формулы соединения $Ca_x B_y$ необходимо найти соотношение индексов $x$ и $y$. Для этого рассмотрим два возможных случая, исходя из того, какому элементу принадлежит массовая доля $38,17\%$. Примем массу образца за 100 г.

Случай 1: Массовая доля кальция $ω(Ca) = 38,17\%$.

Тогда масса кальция в образце $m(Ca) = 38,17 \text{ г}$, а масса бора $m(B) = 100 - 38,17 = 61,83 \text{ г}$.

Найдем количество вещества (моль) для каждого элемента, используя молярные массы $M(Ca) \approx 40,08 \text{ г/моль}$ и $M(B) \approx 10,81 \text{ г/моль}$.

$n(Ca) = \frac{m(Ca)}{M(Ca)} = \frac{38,17 \text{ г}}{40,08 \text{ г/моль}} \approx 0,9523 \text{ моль}$

$n(B) = \frac{m(B)}{M(B)} = \frac{61,83 \text{ г}}{10,81 \text{ г/моль}} \approx 5,7197 \text{ моль}$

Соотношение индексов $x : y$ равно соотношению количеств вещества $n(Ca) : n(B)$.

$x : y \approx 0,9523 : 5,7197$

Разделим оба числа на наименьшее ($0,9523$):

$x : y \approx \frac{0,9523}{0,9523} : \frac{5,7197}{0,9523} \approx 1 : 6,006 \approx 1 : 6$

Таким образом, простейшая формула соединения — $CaB_6$.

Случай 2: Массовая доля бора $ω(B) = 38,17\%$.

Тогда масса бора $m(B) = 38,17 \text{ г}$, а масса кальция $m(Ca) = 100 - 38,17 = 61,83 \text{ г}$.

$n(B) = \frac{m(B)}{M(B)} = \frac{38,17 \text{ г}}{10,81 \text{ г/моль}} \approx 3,531 \text{ моль}$

$n(Ca) = \frac{m(Ca)}{M(Ca)} = \frac{61,83 \text{ г}}{40,08 \text{ г/моль}} \approx 1,5427 \text{ моль}$

$x : y = n(Ca) : n(B) \approx 1,5427 : 3,531$

Разделим оба числа на наименьшее ($1,5427$):

$x : y \approx \frac{1,5427}{1,5427} : \frac{3,531}{1,5427} \approx 1 : 2,289$

Это соотношение не приводит к целым числам. Следовательно, верен первый случай.

Ответ: Формула соединения — $CaB_6$.

б) Сколько формульных единиц содержит изображённая на рисунке ячейка?

На рисунке изображена элементарная ячейка кристалла. Атомы кальция (тёмные шары) расположены в вершинах куба, а атомы бора (светлые шары) образуют октаэдрический кластер $B_6$ в центре куба.

Подсчитаем число атомов каждого вида в ячейке:

• Атомы кальция (Ca) находятся в 8 вершинах куба. Каждый атом в вершине принадлежит 8 смежным ячейкам, поэтому вклад каждого в данную ячейку составляет $1/8$.
  Число атомов Ca = $8 \text{ вершин} \times \frac{1}{8} \text{ атома/вершину} = 1$ атом.
• Атомы бора (B) образуют кластер из 6 атомов ($B_6$), который полностью находится внутри ячейки (в её центре).
  Число атомов B = $6 \text{ атомов} \times 1 = 6$ атомов.

Таким образом, на одну элементарную ячейку приходится 1 атом кальция и 6 атомов бора. Состав ячейки ($Ca_1 B_6$) соответствует формуле соединения $CaB_6$. Формульная единица — это $CaB_6$. Следовательно, ячейка содержит одну формульную единицу.

Ответ: Изображённая на рисунке ячейка содержит 1 формульную единицу.

в) Сколько ближайших соседей — атомов бора имеет каждый атом кальция?

Атом кальция расположен в вершине кубической ячейки. Эта вершина является общей для 8 смежных элементарных ячеек. В центре каждой из этих 8 ячеек находится октаэдрический кластер $B_6$. Таким образом, каждый атом кальция окружён 8 кластерами $B_6$.

Рассмотрим атом кальция в начале координат $(0, 0, 0)$ и один из окружающих его кластеров $B_6$, центр которого находится в точке $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$, где $a$ — ребро куба. Шесть атомов бора этого кластера расположены симметрично вокруг его центра. Три из них будут находиться на меньшем расстоянии от атома кальция, чем три других. Эти три ближайших атома бора из одного кластера равноудалены от атома кальция.

Поскольку атом кальция окружён 8 такими кластерами, и каждый кластер предоставляет 3 ближайших атома бора, общее число ближайших соседей (координационное число кальция по бору) равно:

$8 \text{ кластеров} \times 3 \text{ атома бора/кластер} = 24 \text{ атома бора}$

Ответ: Каждый атом кальция имеет 24 ближайших соседа — атомов бора.

г) Плотность вещества равна 2,45 г/см³. Найдите длину ребра ячейки.

Дано:

Перевод в СИ:

Найти:

Решение:

Плотность кристаллического вещества связана с параметрами элементарной ячейки формулой:

$ρ = \frac{Z \cdot M}{V \cdot N_A}$

где $V$ — объём ячейки. Для кубической ячейки $V = a^3$.

Выразим объём ячейки:

$a^3 = V = \frac{Z \cdot M}{ρ \cdot N_A}$

1. Рассчитаем молярную массу $M$ для $CaB_6$:

$M(CaB_6) = M(Ca) + 6 \cdot M(B) = 40,08 + 6 \cdot 10,81 = 40,08 + 64,86 = 104,94 \text{ г/моль}$

2. Подставим значения в формулу для объёма (используя г и см):

$a^3 = \frac{1 \cdot 104,94 \text{ г/моль}}{2,45 \text{ г/см}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx \frac{104,94}{14,7539 \cdot 10^{23}} \text{ см}^3 \approx 7,1127 \cdot 10^{-23} \text{ см}^3$

3. Найдём длину ребра $a$, извлекая кубический корень из объёма:

$a = \sqrt[3]{7,1127 \cdot 10^{-23} \text{ см}^3} = \sqrt[3]{71,127 \cdot 10^{-24} \text{ см}^3} \approx 4,143 \cdot 10^{-8} \text{ см}$

Результат можно выразить в нанометрах ($1 \text{ нм} = 10^{-7} \text{ см}$) или пикометрах ($1 \text{ пм} = 10^{-10} \text{ см}$):

$a \approx 0,4143 \text{ нм} = 414,3 \text{ пм}$

Ответ: Длина ребра ячейки равна $4,143 \cdot 10^{-8} \text{ см}$ (или $0,4143 \text{ нм}$).