Номер 1136, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1136, страница 354.

Условие.

1136. 1) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x dx;$

3) $\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) dx;$

4) $\int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 8) dx;$

5) $\int_{1}^{3} (x^{-2} + 1) dx;$

6) $\int_{-1}^{1} \frac{2}{5-4x} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = \sin x$ есть $F(x) = -\cos x$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx = (-\cos x) \big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos \frac{\pi}{2}) = (-(-1)) - (-0) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$

2) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx = (\sin x) \big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

3) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) \, dx$.

Находим первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2 + 2x + 3$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + 3x = \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$.

Вычисляем значение по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 3) \, dx = (\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x) \big|_{-2}^{1} = (\frac{1^3}{3} + 1^2 + 3 \cdot 1) - (\frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 3 \cdot (-2))$

$= (\frac{1}{3} + 1 + 3) - (\frac{-8}{3} + 4 - 6) = (\frac{1}{3} + 4) - (-\frac{8}{3} - 2) = \frac{13}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{13}{3} + \frac{14}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Ответ: $9$

4) Вычислим интеграл $\int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 8) \, dx$.

Находим первообразную для функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 8x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 8) \, dx = (\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x) \big|_{1}^{2} = (\frac{2^3}{3} - 3 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2) - (\frac{1^3}{3} - 3 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1)$

$= (\frac{8}{3} - 12 + 16) - (\frac{1}{3} - 3 + 8) = (\frac{8}{3} + 4) - (\frac{1}{3} + 5) = \frac{20}{3} - \frac{16}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

5) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} (x^{-2} + 1) \, dx$.

Находим первообразную для $f(x) = x^{-2} + 1$:

$F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + x = \frac{x^{-1}}{-1} + x = -\frac{1}{x} + x$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{1}^{3} (x^{-2} + 1) \, dx = (-\frac{1}{x} + x) \big|_{1}^{3} = (-\frac{1}{3} + 3) - (-\frac{1}{1} + 1) = (\frac{8}{3}) - (-1 + 1) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$

6) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} \frac{2}{5-4x} \, dx$.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{2}{5-4x}$ воспользуемся табличным интегралом $\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C$.

Первообразная $F(x) = 2 \cdot \frac{1}{-4} \ln|5-4x| = -\frac{1}{2} \ln|5-4x|$.

Вычисляем значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^{1} \frac{2}{5-4x} \, dx = (-\frac{1}{2} \ln|5-4x|) \big|_{-1}^{1} = (-\frac{1}{2} \ln|5-4 \cdot 1|) - (-\frac{1}{2} \ln|5-4 \cdot (-1)|)$

$= (-\frac{1}{2} \ln|1|) - (-\frac{1}{2} \ln|9|) = (-\frac{1}{2} \cdot 0) - (-\frac{1}{2} \ln 9) = 0 + \frac{1}{2} \ln 9 = \frac{1}{2} \ln(3^2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \ln 3 = \ln 3$.

Ответ: $\ln 3$