Номер 1134, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1134, страница 354.

Условие.

1134. Найти первообразную функции:

1) $y = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}$;

2) $y = \frac{3}{4x-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $y = f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Первообразная функции — это множество всех функций, производная которых равна исходной функции, и находится она путем интегрирования.
$F(x) = \int \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}\right) dx$
Используя свойство линейности интеграла (интеграл разности равен разности интегралов), получаем:
$F(x) = \int \frac{1}{x+1} dx - \int \frac{1}{x-1} dx$
Оба интеграла являются табличными. Общая формула для первообразной функции вида $\frac{1}{ax+b}$ есть $\frac{1}{a}\ln|ax+b| + C$.
Для первого слагаемого $\frac{1}{x+1}$, коэффициенты $a=1, b=1$. Следовательно, его первообразная:
$\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1|$
Для второго слагаемого $\frac{1}{x-1}$, коэффициенты $a=1, b=-1$. Его первообразная:
$\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1|$
Таким образом, общая первообразная для исходной функции имеет вид:
$F(x) = \ln|x+1| - \ln|x-1| + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.
Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, можно упростить выражение:
$F(x) = \ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| + C$
Ответ: $F(x) = \ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| + C$.

2) Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $y = \frac{3}{4x-1}$, нужно вычислить неопределенный интеграл:
$F(x) = \int \frac{3}{4x-1} dx$
Постоянный множитель 3 можно вынести за знак интеграла:
$F(x) = 3 \int \frac{1}{4x-1} dx$
Для вычисления этого интеграла снова используем формулу для первообразной функции вида $\frac{1}{ax+b}$, которая равна $\frac{1}{a}\ln|ax+b| + C$.
В данном случае $a=4$ и $b=-1$. Применяя формулу, получаем:
$\int \frac{1}{4x-1} dx = \frac{1}{4} \ln|4x-1|$
Подставляем это выражение обратно:
$F(x) = 3 \cdot \left(\frac{1}{4} \ln|4x-1|\right) + C = \frac{3}{4} \ln|4x-1| + C$
Альтернативно, можно использовать метод замены переменной. Пусть $u = 4x-1$. Тогда дифференциал $du = (4x-1)' dx = 4 dx$, откуда $dx = \frac{du}{4}$.
$F(x) = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{4} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{u} du = \frac{3}{4} \ln|u| + C$
Выполнив обратную замену $u=4x-1$, приходим к тому же результату:
$F(x) = \frac{3}{4} \ln|4x-1| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{3}{4} \ln|4x-1| + C$.