Номер 1132, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1132, страница 354.

Условие.

1132. Найти значения $x$, при которых $f'(x) \leq g'(x)$, если $f(x)=x^3+x^2+x\sqrt{3}$, $g(x)=x\sqrt{3}+1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $f'(x) \le g'(x)$, необходимо сначала найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

1. Находим производную функции $f(x) = x^3 + x^2 + x\sqrt{3}$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (x^3)' + (x^2)' + (x\sqrt{3})' = 3x^2 + 2x + \sqrt{3}$

2. Находим производную функции $g(x) = x\sqrt{3} + 1$.

Производная этой функции равна:

$g'(x) = (x\sqrt{3})' + (1)' = \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$

3. Теперь составим и решим неравенство $f'(x) \le g'(x)$, подставив в него найденные производные.

$3x^2 + 2x + \sqrt{3} \le \sqrt{3}$

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей неравенства:

$3x^2 + 2x \le 0$

Это квадратичное неравенство. Для его решения разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(3x + 2) \le 0$

Далее решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(3x + 2) = 0$.

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

$3x + 2 = 0 \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{3}$

Отметим эти корни на числовой оси. Они разделяют ось на три интервала. Графиком функции $y = 3x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $3$, что больше нуля). Следовательно, значения функции будут меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, принадлежащие отрезку $[-\frac{2}{3}, 0]$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}, 0]$.