Номер 1131, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1131, страница 354.

Условие.

1131. Дана функция $f(x) = \frac{1 + \sin 2x}{1 - \sin 2x}$. Найти $f'(0), f'\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи сначала необходимо найти производную функции $f(x) = \frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x}$.

Функция представляет собой частное двух функций, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 1 + \sin 2x$ и $v(x) = 1 - \sin 2x$.

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$u'(x) = (1 + \sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$

$v'(x) = (1 - \sin 2x)' = -\cos(2x) \cdot (2x)' = -2\cos 2x$

Теперь подставим полученные производные в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{(2\cos 2x)(1 - \sin 2x) - (1 + \sin 2x)(-2\cos 2x)}{(1 - \sin 2x)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$f'(x) = \frac{2\cos 2x - 2\cos 2x \sin 2x + 2\cos 2x + 2\cos 2x \sin 2x}{(1 - \sin 2x)^2}$

$f'(x) = \frac{4\cos 2x}{(1 - \sin 2x)^2}$

Имея выражение для производной, вычислим ее значения в заданных точках.

$f'(0)$

Подставим $x=0$ в выражение для производной $f'(x)$:

$f'(0) = \frac{4\cos(2 \cdot 0)}{(1 - \sin(2 \cdot 0))^2} = \frac{4\cos(0)}{(1 - \sin(0))^2}$

Так как $\cos(0) = 1$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$f'(0) = \frac{4 \cdot 1}{(1 - 0)^2} = \frac{4}{1} = 4$

Ответ: $4$

$f'(\frac{\pi}{6})$

Подставим $x=\frac{\pi}{6}$ в выражение для производной $f'(x)$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{4\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6})}{(1 - \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}))^2} = \frac{4\cos(\frac{\pi}{3})}{(1 - \sin(\frac{\pi}{3}))^2}$

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{2}{(\frac{2 - \sqrt{3}}{2})^2} = \frac{2}{\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{4}} = \frac{8}{(2 - \sqrt{3})^2}$

Раскроем квадрат разности в знаменателе: $(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

Подставим это значение в наше выражение:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{8}{7 - 4\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(7 + 4\sqrt{3})$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{49 - 16 \cdot 3} = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{49 - 48} = \frac{8(7 + 4\sqrt{3})}{1} = 56 + 32\sqrt{3}$

Ответ: $56 + 32\sqrt{3}$