Номер 1124, страница 353 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1124, страница 353.

Условие.

1124. Дневная производительность труда (за 7 рабочих часов) рабочего машиностроительного завода описывается функцией $y = -0,09t^2 + 0,28t + 10,06$, где $t$ — время в часах, $y$ — количество продукции. Сколько продукции производит рабочий за один год (260 рабочих дней)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо определить общее количество продукции, произведенной рабочим за один год. Сначала найдем количество продукции за один рабочий день, а затем умножим его на количество рабочих дней в году.

Функция $y = -0,09t^2 + 0,28t + 10,06$ описывает производительность труда, то есть скорость производства продукции в момент времени $t$. Чтобы найти общее количество продукции, произведенной за 7-часовой рабочий день, нужно вычислить определенный интеграл от этой функции в пределах от 0 до 7 часов.

1. Вычисление количества продукции за один день ($P_{день}$)

Количество продукции за день равно интегралу от функции производительности по времени от $t=0$ до $t=7$:

$P_{день} = \int_{0}^{7} (-0,09t^2 + 0,28t + 10,06) dt$

Найдем первообразную $F(t)$ для подынтегральной функции:

$F(t) = \int (-0,09t^2 + 0,28t + 10,06) dt = -0,09 \frac{t^3}{3} + 0,28 \frac{t^2}{2} + 10,06t = -0,03t^3 + 0,14t^2 + 10,06t$

Теперь вычислим значение определенного интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$P_{день} = F(7) - F(0) = (-0,03 \cdot 7^3 + 0,14 \cdot 7^2 + 10,06 \cdot 7) - (-0,03 \cdot 0^3 + 0,14 \cdot 0^2 + 10,06 \cdot 0)$

$P_{день} = (-0,03 \cdot 343 + 0,14 \cdot 49 + 70,42) - 0$

$P_{день} = -10,29 + 6,86 + 70,42 = 66,99$

Таким образом, за один рабочий день рабочий производит 66,99 единиц продукции.

2. Вычисление количества продукции за год ($P_{год}$)

В году 260 рабочих дней. Чтобы найти годовую выработку, умножим дневную выработку на количество рабочих дней:

$P_{год} = P_{день} \times 260$

$P_{год} = 66,99 \times 260 = 17417,4$

Ответ: за один год (260 рабочих дней) рабочий производит 17417,4 единиц продукции.