Номер 1122, страница 353 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1122, страница 353.

Условие.

1122. Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорционален кубу времени вращения. Первый оборот был сделан колесом за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после начала вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Согласно условию задачи, угол поворота колеса $\phi$ прямо пропорционален кубу времени вращения $t$. Это можно записать в виде формулы:

$\phi(t) = k \cdot t^3$

где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Известно, что первый оборот был сделан за время $t_1 = 2$ с. Один оборот соответствует углу поворота $\phi_1 = 2\pi$ радиан. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти коэффициент $k$:

$2\pi = k \cdot (2)^3$

$2\pi = k \cdot 8$

Отсюда находим $k$:

$k = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ рад/с³

Таким образом, закон вращения колеса имеет вид:

$\phi(t) = \frac{\pi}{4} t^3$

Угловая скорость $\omega$ является первой производной от угла поворота по времени:

$\omega(t) = \frac{d\phi(t)}{dt}$

Найдем производную от полученного выражения для $\phi(t)$:

$\omega(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{\pi}{4} t^3\right) = \frac{\pi}{4} \cdot 3t^2 = \frac{3\pi}{4} t^2$

Теперь определим угловую скорость колеса через $t_2 = 4$ с после начала вращения, подставив это значение времени в формулу для $\omega(t)$:

$\omega(4) = \frac{3\pi}{4} \cdot (4)^2 = \frac{3\pi}{4} \cdot 16 = 3\pi \cdot 4 = 12\pi$ рад/с

Ответ: $12\pi$ рад/с.