Номер 1116, страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1116, страница 352.

Условие.

1116. Дана фигура, ограниченная кривой $y=\sin x$ и прямыми $y=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ $(0 \le x \le \frac{\pi}{2})$. Под каким углом к оси $Ox$ нужно провести прямую через точку $(0; 0)$, чтобы эта прямая раз- бивала данную фигуру на две фигуры равной площади?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи сначала найдем общую площадь фигуры, а затем определим, при каком угловом коэффициенте $k$ прямая $y=kx$ делит эту площадь пополам. Угол наклона $\alpha$ к оси $Ox$ находится из соотношения $k = \tan\alpha$.

1. Нахождение площади исходной фигуры
Фигура ограничена кривой $y = \sin x$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$. Её площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл: $$ S = \int_{0}^{\pi/2} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/2} $$ Вычисляем значение интеграла: $$ S = (-\cos\frac{\pi}{2}) - (-\cos 0) = 0 - (-1) = 1 $$ Таким образом, общая площадь фигуры равна 1.

2. Вычисление углового коэффициента прямой
Искомая прямая $y=kx$ проходит через начало координат и делит фигуру на две части равной площади. Это означает, что площадь каждой части должна быть равна $1/2$. Рассмотрим площадь фигуры, расположенной под прямой $y=kx$ и над осью $Ox$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$. Эта площадь $S_1$ (площадь треугольника) должна быть равна $1/2$. Она вычисляется интегралом: $$ S_1 = \int_{0}^{\pi/2} kx \,dx = \frac{1}{2} $$ Вычислим этот интеграл: $$ \int_{0}^{\pi/2} kx \,dx = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = k \left( \frac{(\pi/2)^2}{2} - 0 \right) = k \frac{\pi^2}{8} $$ Теперь приравняем полученный результат к $1/2$: $$ k \frac{\pi^2}{8} = \frac{1}{2} $$ Отсюда находим угловой коэффициент $k$: $$ k = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\pi^2} = \frac{4}{\pi^2} $$ Этот метод расчета верен, так как на всем интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$ прямая $y=kx$ лежит не выше кривой $y=\sin x$. Это следует из того, что функция $g(x) = \sin x - kx$ является вогнутой на данном интервале ($g''(x)=-\sin x \le 0$), и на концах интервала принимает неотрицательные значения: $g(0)=0$ и $g(\pi/2)=1-2/\pi > 0$.

3. Нахождение искомого угла
Угловой коэффициент $k$ связан с углом наклона $\alpha$ прямой к положительному направлению оси $Ox$ соотношением $k = \tan\alpha$. Подставив найденное значение $k$, получим: $$ \tan\alpha = \frac{4}{\pi^2} $$ Следовательно, искомый угол равен: $$ \alpha = \arctan\left(\frac{4}{\pi^2}\right) $$

Ответ: Прямую нужно провести под углом $\alpha = \arctan\left(\frac{4}{\pi^2}\right)$ к оси $Ox$.