Страница 352 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1107. График функции $y=x^3+ax^2+bx+c$, $c<0$, пересекает ось ординат в точке A и имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке M, проходит через точку A. Найти $a, b, c$, если площадь треугольника AMN равна 1.

Пусть дана функция $y(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.

Анализ условий задачи
График функции пересекает ось ординат в точке A, абсцисса которой равна 0. Ордината точки A равна $y(0) = c$. Таким образом, координаты точки A: $(0, c)$. По условию $c < 0$.
График имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс ($y=0$). Это означает, что кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно два различных действительных корня. Для кубического многочлена это возможно, только если один корень является простым, а другой — кратным (второй кратности). Корень второй кратности соответствует точке, в которой график функции касается оси абсцисс.
Пусть координаты точек пересечения $M(x_M, 0)$ и $N(x_N, 0)$. Одна из этих точек является точкой касания.
Прямая, касающаяся графика в точке M, проходит через точку A. Определим, какая из точек, M или N, является точкой касания с осью абсцисс. Если бы M была точкой касания, то касательная в этой точке была бы сама ось абсцисс, то есть прямая $Y=0$. Точка A с координатами $(0,c)$, где $c<0$, не лежит на оси абсцисс. Следовательно, касательная в точке M не может быть осью абсцисс. Это означает, что M — это точка пересечения (простой корень), а N — точка касания (кратный корень).
Поскольку N — точка касания, в ней выполняются условия $y(x_N) = 0$ и $y'(x_N) = 0$. Точка M — простой корень, поэтому $y(x_M) = 0$.
Следовательно, функцию можно представить в виде $y(x) = (x - x_M)(x - x_N)^2$, так как старший коэффициент при $x^3$ равен 1.

Связь коэффициентов с корнями
Раскроем скобки в разложении функции на множители:
$y = (x - x_M)(x^2 - 2x_N x + x_N^2) = x^3 - 2x_N x^2 + x_N^2 x - x_M x^2 + 2x_M x_N x - x_M x_N^2$
$y = x^3 + (-x_M - 2x_N)x^2 + (2x_M x_N + x_N^2)x - x_M x_N^2$
Сравнивая это выражение с $y = x^3 + ax^2 + bx + c$, получаем (согласно формулам Виета для кратных корней):
$a = -x_M - 2x_N$ (1)
$b = 2x_M x_N + x_N^2$ (2)
$c = -x_M x_N^2$ (3)

Использование условия о касательной
Касательная к графику в точке $M(x_M, 0)$ проходит через точку $A(0, c)$. Уравнение касательной в точке M имеет вид $Y - y(x_M) = y'(x_M)(X - x_M)$. Так как $y(x_M)=0$, уравнение упрощается до $Y = y'(x_M)(X - x_M)$. Подставим координаты точки A $(0,c)$: $c = y'(x_M)(0 - x_M)$, откуда $c = -x_M y'(x_M)$.
Найдем производную $y'(x)$. Продифференцируем разложенную на множители форму:
$y'(x) = \frac{d}{dx}((x - x_M)(x - x_N)^2) = 1 \cdot (x-x_N)^2 + (x-x_M) \cdot 2(x-x_N)$
$y'(x) = (x-x_N)((x-x_N) + 2(x-x_M)) = (x-x_N)(3x-x_N-2x_M)$.
Значение производной в точке M: $y'(x_M) = (x_M - x_N)(3x_M - x_N - 2x_M) = (x_M - x_N)(x_M - x_N) = (x_M - x_N)^2$.
Подставим это выражение и формулу для $c$ (3) в условие для касательной $c = -x_M y'(x_M)$:
$-x_M x_N^2 = -x_M (x_M - x_N)^2$.
Из условия $c < 0$ и формулы (3) $c = -x_M x_N^2$ следует, что $x_M x_N^2 > 0$. Поскольку $x_N$ — корень, если бы $x_N=0$, то и $c=0$, что противоречит условию. Значит, $x_N \neq 0$ и $x_N^2 > 0$. Отсюда следует, что $x_M > 0$. Так как $x_M \neq 0$, мы можем разделить уравнение на $-x_M$:
$x_N^2 = (x_M - x_N)^2$
$x_N^2 = x_M^2 - 2x_M x_N + x_N^2$
$0 = x_M^2 - 2x_M x_N = x_M(x_M - 2x_N)$.
Поскольку $x_M \neq 0$, получаем $x_M - 2x_N = 0$, откуда находим ключевое соотношение: $x_M = 2x_N$.

Использование условия о площади треугольника
Вершины треугольника AMN: $A(0, c)$, $M(x_M, 0)$ и $N(x_N, 0)$. Основание треугольника MN лежит на оси абсцисс, его длина равна $|x_M - x_N|$. Высота треугольника, проведенная из вершины A к основанию MN, равна модулю ординаты точки A, то есть $|c|$. Площадь треугольника равна 1: $S_{AMN} = \frac{1}{2} |x_M - x_N| |c| = 1$.
Используя соотношение $x_M = 2x_N$:
Длина основания: $|x_M - x_N| = |2x_N - x_N| = |x_N|$.
Из формулы (3) выразим $c$ через $x_N$: $c = -x_M x_N^2 = -(2x_N)x_N^2 = -2x_N^3$.
Высота: $|c| = |-2x_N^3| = 2|x_N|^3$.
Подставим найденные выражения для основания и высоты в формулу площади:
$\frac{1}{2} |x_N| \cdot (2|x_N|^3) = 1$
$|x_N|^4 = 1$.
Отсюда $|x_N| = 1$, что дает два возможных значения: $x_N = 1$ или $x_N = -1$.

Нахождение коэффициентов a, b, c
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $x_N = 1$.
Тогда $x_M = 2x_N = 2(1) = 2$.
Находим коэффициенты по формулам (1), (2), (3):
$a = -x_M - 2x_N = -2 - 2(1) = -4$.
$b = 2x_M x_N + x_N^2 = 2(2)(1) + 1^2 = 4 + 1 = 5$.
$c = -x_M x_N^2 = -2 \cdot 1^2 = -2$.
Значение $c=-2$ удовлетворяет условию $c<0$. Следовательно, это решение подходит.
Случай 2: $x_N = -1$.
Тогда $x_M = 2x_N = 2(-1) = -2$.
Находим коэффициент $c$:
$c = -x_M x_N^2 = -(-2) \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.
Значение $c=2$ противоречит условию $c<0$. Следовательно, этот случай не дает решения.
Единственным решением является набор коэффициентов, полученный в первом случае.

Ответ: $a = -4, b = 5, c = -2$.

1108. График функции $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$, $c > 0$, пересекает ось ординат в точке $D$ и имеет ровно две общие точки $A$ и $B$ с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $B$, проходит через точку $D$. Найти $a, b, c$, если площадь треугольника $ABD$ равна $1$.

Дана функция $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$, где $c > 0$.

1. Определение координат точек

Точка $D$ является точкой пересечения графика с осью ординат. Ее абсцисса равна $x=0$. Найдем ординату: $y(0) = -0^3 + a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Таким образом, координаты точки $D$ — это $(0, c)$. Так как по условию $c > 0$, точка $D$ лежит на положительной части оси ординат.

Точки $A$ и $B$ являются точками пересечения графика с осью абсцисс, поэтому их ординаты равны нулю. Пусть их абсциссы равны $x_A$ и $x_B$. Итак, $A(x_A, 0)$ и $B(x_B, 0)$.

2. Анализ условия о двух точках пересечения с осью абсцисс

Кубическая функция $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$ имеет ровно две общие точки с осью абсцисс. Это означает, что уравнение $-x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно два различных действительных корня. Для кубического многочлена это возможно только в том случае, если один из корней является корнем кратности 2 (двойной корень), а другой — корнем кратности 1 (простой корень).

Графически это означает, что в одной из точек ($A$ или $B$) график функции касается оси абсцисс, а в другой — пересекает ее. Точка касания является точкой локального экстремума, и в ней производная функции равна нулю: $y'(x) = 0$.

3. Использование условия о касательной

Прямая, касающаяся графика в точке $B(x_B, 0)$, проходит через точку $D(0, c)$. Найдем производную функции: $y'(x) = -3x^2 + 2ax + b$. Уравнение касательной к графику в точке с абсциссой $x_B$: $Y - y(x_B) = y'(x_B)(X - x_B)$. Поскольку $B(x_B, 0)$ лежит на графике, $y(x_B) = 0$. Уравнение касательной принимает вид: $Y = y'(x_B)(X - x_B)$.

Так как эта прямая проходит через точку $D(0, c)$, подставим ее координаты ($X=0, Y=c$) в уравнение касательной: $c = y'(x_B)(0 - x_B) = -x_B \cdot y'(x_B)$. $c = -x_B(-3x_B^2 + 2ax_B + b) = 3x_B^3 - 2ax_B^2 - bx_B$.

Также точка $B(x_B, 0)$ принадлежит графику функции, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению функции: $y(x_B) = -x_B^3 + ax_B^2 + bx_B + c = 0$. Отсюда $c = x_B^3 - ax_B^2 - bx_B$.

Приравняем два полученных выражения для $c$: $3x_B^3 - 2ax_B^2 - bx_B = x_B^3 - ax_B^2 - bx_B$ $2x_B^3 - ax_B^2 = 0$ $x_B^2(2x_B - a) = 0$.

Это уравнение дает два возможных решения: $x_B = 0$ или $x_B = a/2$. Если $x_B = 0$, то точка $B$ находится в начале координат. Тогда $y(0) = c = 0$. Это противоречит условию $c > 0$. Следовательно, $x_B = a/2$.

4. Определение корней и коэффициентов

Теперь определим, какая из точек, $A$ или $B$, является точкой касания.

Предположим, что $B(a/2, 0)$ — точка касания. Тогда в этой точке производная должна быть равна нулю: $y'(a/2) = 0$. $y'(a/2) = -3(a/2)^2 + 2a(a/2) + b = -3a^2/4 + a^2 + b = a^2/4 + b$. $a^2/4 + b = 0 \implies b = -a^2/4$. Подставим $x_B = a/2$ и $b = -a^2/4$ в уравнение $y(x_B) = 0$: $-(a/2)^3 + a(a/2)^2 + (-a^2/4)(a/2) + c = 0$ $-a^3/8 + a^3/4 - a^3/8 + c = 0$ $0 + c = 0 \implies c = 0$. Это снова противоречит условию $c > 0$. Значит, $B$ не является точкой касания.

Следовательно, точкой касания является точка $A$, а $B$ — точка простого пересечения. Это означает, что $x_A$ — двойной корень уравнения $y(x)=0$, а $x_B$ — простой корень. Тогда многочлен $y(x)$ можно представить в виде: $y(x) = -(x - x_A)^2(x - x_B)$. Раскроем скобки: $y(x) = -(x^2 - 2x_A x + x_A^2)(x - x_B) = -(x^3 - x_B x^2 - 2x_A x^2 + 2x_A x_B x + x_A^2 x - x_A^2 x_B)$ $y(x) = -x^3 + (2x_A + x_B)x^2 - (x_A^2 + 2x_A x_B)x + x_A^2 x_B$.

Сравнивая коэффициенты с исходной функцией $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$, получаем систему: $a = 2x_A + x_B$ $b = -(x_A^2 + 2x_A x_B)$ $c = x_A^2 x_B$

Мы уже знаем, что $x_B = a/2$. Подставим это в первое уравнение: $a = 2x_A + a/2 \implies a/2 = 2x_A \implies x_A = a/4$.

Теперь выразим коэффициенты $b$ и $c$ через $a$: $b = -((a/4)^2 + 2(a/4)(a/2)) = -(a^2/16 + a^2/4) = -(a^2/16 + 4a^2/16) = -5a^2/16$. $c = (a/4)^2(a/2) = (a^2/16)(a/2) = a^3/32$. Из условия $c > 0$ следует, что $a^3/32 > 0$, а значит $a > 0$.

5. Использование условия о площади треугольника

Площадь треугольника $ABD$ равна 1. Координаты его вершин: $A(x_A, 0) = (a/4, 0)$ $B(x_B, 0) = (a/2, 0)$ $D(0, c) = (0, a^3/32)$

Основание треугольника $AB$ лежит на оси абсцисс, его длина равна: $|AB| = |x_B - x_A| = |a/2 - a/4| = |a/4|$. Так как $a > 0$, длина основания равна $a/4$.

Высота треугольника, проведенная из вершины $D$ к основанию $AB$, равна ординате точки $D$, то есть $c$. Высота $h = c = a^3/32$.

Площадь треугольника $S_{ABD}$ вычисляется по формуле: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{a^3}{32} = \frac{a^4}{256}$.

По условию площадь равна 1: $\frac{a^4}{256} = 1 \implies a^4 = 256$. Поскольку $256 = 4^4$ и мы знаем, что $a>0$, единственным решением является $a=4$.

6. Вычисление $b$ и $c$

Теперь, зная $a=4$, находим значения $b$ и $c$: $b = -\frac{5a^2}{16} = -\frac{5 \cdot 4^2}{16} = -\frac{5 \cdot 16}{16} = -5$. $c = \frac{a^3}{32} = \frac{4^3}{32} = \frac{64}{32} = 2$.

Итак, мы нашли все коэффициенты: $a=4$, $b=-5$, $c=2$.

Ответ: $a=4$, $b=-5$, $c=2$.

1109. В какой точке графика функции $y=(x-1)^2$, $0 \le x \le 1$, нужно провести касательную к графику, чтобы площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, была наименьшей?

Задача состоит в том, чтобы найти такую точку на графике функции $y=(x-1)^2$ в пределах отрезка $0 \le x \le 1$, касательная в которой образует с осями координат треугольник наименьшей площади.

Пусть искомая точка касания имеет абсциссу $x_0 = a$, где $a \in [0, 1]$. Ордината этой точки на графике функции равна $y_0 = (a-1)^2$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0=a$ имеет вид $y = f(a) + f'(a)(x-a)$. Для нашей функции $f(x) = (x-1)^2$:

• Значение функции в точке касания: $f(a) = (a-1)^2$.
• Производная функции: $f'(x) = ((x-1)^2)' = 2(x-1)$.
• Значение производной в точке касания (угловой коэффициент касательной): $f'(a) = 2(a-1)$.

Подставив эти значения, получаем уравнение касательной: $y = (a-1)^2 + 2(a-1)(x-a)$

Для вычисления площади треугольника, ограниченного касательной и осями координат, найдем точки пересечения касательной с осями $Ox$ и $Oy$.

Точка пересечения с осью $Oy$ (осью ординат) находится при $x=0$: $y_{int} = (a-1)^2 + 2(a-1)(-a) = a^2 - 2a + 1 - 2a^2 + 2a = 1-a^2$. Координаты точки пересечения: $(0, 1-a^2)$.

Точка пересечения с осью $Ox$ (осью абсцисс) находится при $y=0$: $0 = (a-1)^2 + 2(a-1)(x-a)$ Вынесем общий множитель $(a-1)$: $0 = (a-1)[(a-1) + 2(x-a)]$ $0 = (a-1)(a-1+2x-2a)$ $0 = (a-1)(2x-a-1)$

Это уравнение дает два возможных случая в зависимости от значения $a$:
1. Если $a=1$, точка касания — $(1, 0)$. Уравнение касательной становится $y = (1-1)^2 + 2(1-1)(x-1)$, что упрощается до $y=0$. Эта касательная совпадает с осью $Ox$. Площадь треугольника, образованного касательной и осями координат, в этом случае является вырожденной и равна 0.
2. Если $a \in [0, 1)$, то множитель $(a-1)$ не равен нулю, и мы можем разделить на него. Тогда $2x-a-1=0$, откуда находим абсциссу точки пересечения: $x_{int} = \frac{a+1}{2}$. Координаты точки пересечения: $(\frac{a+1}{2}, 0)$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника, образованного касательной и осями, является функцией от $a$. Длины катетов равны модулям отрезков, отсекаемых на осях: $|x_{int}|$ и $|y_{int}|$. Поскольку $a \in [0, 1)$, то $x_{int} = \frac{a+1}{2} > 0$ и $y_{int} = 1-a^2 \ge 0$. $S(a) = \frac{1}{2} \cdot x_{int} \cdot y_{int} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a+1}{2} \cdot (1-a^2) = \frac{(a+1)(1-a)(1+a)}{4} = \frac{(1-a)(a+1)^2}{4}$.

Теперь нам необходимо найти наименьшее значение функции $S(a)$ на отрезке $[0, 1]$. Для этого найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках внутри него.
Значения на концах отрезка:

• При $a=0$: $S(0) = \frac{(1-0)(0+1)^2}{4} = \frac{1}{4}$.
• При $a=1$: $S(1) = \frac{(1-1)(1+1)^2}{4} = 0$.

Найдем критические точки, вычислив производную $S'(a)$ и приравняв ее к нулю. $S(a) = \frac{1}{4}(1+a-a^2-a^3)$ $S'(a) = \frac{1}{4}(1 - 2a - 3a^2)$. $S'(a) = 0 \implies 3a^2+2a-1=0$. Решая квадратное уравнение, получаем корни $a_1 = \frac{1}{3}$ и $a_2 = -1$. Отрезку $[0, 1]$ принадлежит только одна критическая точка $a=1/3$.

Вычислим значение площади в этой точке: $S(\frac{1}{3}) = \frac{(1-1/3)(1/3+1)^2}{4} = \frac{(2/3)(4/3)^2}{4} = \frac{2/3 \cdot 16/9}{4} = \frac{32/27}{4} = \frac{8}{27}$.

Сравним все полученные значения площади: $S(0) = 1/4$, $S(1/3) = 8/27$ и $S(1)=0$. Поскольку $1/4 = 0.25$, а $8/27 \approx 0.296$, наименьшим значением является $S=0$.

Наименьшая площадь достигается при $a=1$. Точка на графике, соответствующая этому значению, имеет координаты $x=1$, $y=(1-1)^2=0$.

Ответ: $(1, 0)$.

1110. На параболе $y=2x^2-3x+8$ найти точки, касательные в которых проходят через начало координат.

Для решения задачи найдем уравнение касательной к параболе $y = 2x^2 - 3x + 8$ в произвольной точке $(x_0, y_0)$, а затем используем условие, что эта касательная проходит через начало координат $(0, 0)$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = 2x^2 - 3x + 8$.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (2x^2 - 3x + 8)' = 4x - 3$.

2. Составим уравнение касательной. Для этого найдем значение функции и ее производной в точке $x_0$: $f(x_0) = 2x_0^2 - 3x_0 + 8$
$f'(x_0) = 4x_0 - 3$

Подставим эти выражения в общее уравнение касательной: $y = (2x_0^2 - 3x_0 + 8) + (4x_0 - 3)(x - x_0)$.

3. Используем условие, что касательная проходит через начало координат. Это означает, что точка $(0, 0)$ удовлетворяет уравнению касательной. Подставим $x=0$ и $y=0$: $0 = (2x_0^2 - 3x_0 + 8) + (4x_0 - 3)(0 - x_0)$.

4. Решим полученное уравнение относительно $x_0$: $0 = 2x_0^2 - 3x_0 + 8 - x_0(4x_0 - 3)$
$0 = 2x_0^2 - 3x_0 + 8 - 4x_0^2 + 3x_0$
$0 = -2x_0^2 + 8$
$2x_0^2 = 8$
$x_0^2 = 4$
$x_0 = \pm 2$.

Мы нашли две абсциссы точек касания: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$.

5. Найдем соответствующие ординаты этих точек, подставив значения $x_0$ в исходное уравнение параболы $y = 2x^2 - 3x + 8$:

Если $x_0 = 2$, то: $y_0 = 2(2)^2 - 3(2) + 8 = 2 \cdot 4 - 6 + 8 = 8 - 6 + 8 = 10$.
Первая точка: $(2, 10)$.

Если $x_0 = -2$, то: $y_0 = 2(-2)^2 - 3(-2) + 8 = 2 \cdot 4 + 6 + 8 = 8 + 6 + 8 = 22$.
Вторая точка: $(-2, 22)$.

Таким образом, на параболе существуют две точки, касательные в которых проходят через начало координат.

Ответ: $(2, 10)$ и $(-2, 22)$.

1111. Парабола $y = x^2 + px + q$ пересекает прямую $y = 2x - 3$ в точке с абсциссой 1. При каких значениях $p$ и $q$ расстояние от вершины параболы до оси $Ox$ является наименьшим? Найти это расстояние.

Поскольку парабола $y = x^2 + px + q$ и прямая $y = 2x - 3$ пересекаются в точке с абсциссой $x=1$, их значения $y$ в этой точке должны быть равны. Найдем ординату точки пересечения по уравнению прямой: $y = 2(1) - 3 = -1$.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(1, -1)$. Эта точка лежит на параболе, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению параболы: $-1 = (1)^2 + p(1) + q$ $-1 = 1 + p + q$ Отсюда получаем связь между $p$ и $q$: $q = -p - 2$.

Далее найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины для параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. Для нашей параболы $a=1$ и $b=p$, поэтому: $x_в = -\frac{p}{2}$.

Ордината вершины $y_в$ — это значение параболы в точке $x_в$: $y_в = (x_в)^2 + p(x_в) + q = (-\frac{p}{2})^2 + p(-\frac{p}{2}) + q = \frac{p^2}{4} - \frac{p^2}{2} + q = -\frac{p^2}{4} + q$.

Теперь подставим в это выражение найденную ранее зависимость $q = -p - 2$: $y_в = -\frac{p^2}{4} + (-p - 2) = -\frac{p^2}{4} - p - 2$.

Расстояние от вершины параболы до оси Ox равно модулю ее ординаты, то есть $d = |y_в|$. Нам нужно найти наименьшее значение этого расстояния: $d(p) = |-\frac{p^2}{4} - p - 2|$.

Чтобы найти минимум этого выражения, исследуем функцию $f(p) = -\frac{p^2}{4} - p - 2$, стоящую под знаком модуля. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $p^2$ отрицателен). Максимум этой функции достигается в ее вершине. Абсцисса вершины: $p_{вершины} = -\frac{-1}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -2$.

Максимальное значение функции $f(p)$ равно: $f(-2) = -\frac{(-2)^2}{4} - (-2) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1$.

Поскольку максимальное значение $f(p)$ равно -1, то $f(p) \le -1$ для всех $p$, то есть функция всегда отрицательна. Следовательно, модуль $|f(p)|$ раскрывается с противоположным знаком: $d(p) = |f(p)| = -f(p) = -(-\frac{p^2}{4} - p - 2) = \frac{p^2}{4} + p + 2$.

Теперь задача сводится к поиску минимума функции $d(p) = \frac{p^2}{4} + p + 2$. Это парабола с ветвями вверх, ее минимум также находится в вершине, абсцисса которой: $p_{вершины} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -2$.

Таким образом, мы нашли значение $p$, при котором расстояние от вершины параболы до оси Ox минимально. Теперь можем ответить на вопросы задачи.

При каких значениях p и q расстояние от вершины параболы до оси Ox является наименьшим?

Наименьшее расстояние достигается при $p=-2$. Соответствующее значение $q$ находим из ранее полученного соотношения $q = -p - 2$: $q = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0$. Ответ: при $p=-2$ и $q=0$.

Найти это расстояние.

Наименьшее расстояние $d_{min}$ — это значение функции $d(p)$ при $p=-2$: $d_{min} = \frac{(-2)^2}{4} + (-2) + 2 = \frac{4}{4} - 2 + 2 = 1$. Ответ: 1.

1112. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4x - x^2$ и касательными к ней, проходящими через точку $M\left(\frac{5}{2}; 6\right)$.

Для нахождения площади фигуры необходимо сначала определить уравнения касательных к параболе $y = 4x - x^2$, проходящих через точку $M(\frac{5}{2}; 6)$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.

Найдём производную функции $y = f(x) = 4x - x^2$:

$f'(x) = 4 - 2x$.

Пусть $(x_0, y_0)$ — точка касания. Тогда $y_0 = 4x_0 - x_0^2$. Угловой коэффициент касательной в этой точке равен $k = f'(x_0) = 4 - 2x_0$.

Уравнение касательной в точке $x_0$ принимает вид: $y = (4x_0 - x_0^2) + (4 - 2x_0)(x - x_0)$.

Так как касательная проходит через точку $M(\frac{5}{2}; 6)$, подставим её координаты $(x = \frac{5}{2}, y = 6)$ в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$6 = (4x_0 - x_0^2) + (4 - 2x_0)(\frac{5}{2} - x_0)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$6 = 4x_0 - x_0^2 + 4 \cdot \frac{5}{2} - 4x_0 - 2x_0 \cdot \frac{5}{2} + 2x_0^2$

$6 = 4x_0 - x_0^2 + 10 - 4x_0 - 5x_0 + 2x_0^2$

Приведём подобные члены:

$6 = x_0^2 - 5x_0 + 10$

$x_0^2 - 5x_0 + 4 = 0$

Корни этого квадратного уравнения, которые можно найти по теореме Виета, равны $x_{01} = 1$ и $x_{02} = 4$. Это абсциссы точек касания.

Теперь найдём уравнения двух касательных.

1. Для $x_0 = 1$:

Ордината точки касания: $y(1) = 4(1) - 1^2 = 3$. Точка касания — $(1, 3)$.

Угловой коэффициент: $k_1 = f'(1) = 4 - 2(1) = 2$.

Уравнение первой касательной $y_1$: $y - 3 = 2(x - 1)$, что даёт $y_1 = 2x + 1$.

2. Для $x_0 = 4$:

Ордината точки касания: $y(4) = 4(4) - 4^2 = 0$. Точка касания — $(4, 0)$.

Угловой коэффициент: $k_2 = f'(4) = 4 - 2(4) = -4$.

Уравнение второй касательной $y_2$: $y - 0 = -4(x - 4)$, что даёт $y_2 = -4x + 16$.

Искомая фигура ограничена снизу параболой $y = 4x - x^2$ и сверху двумя касательными: $y_1 = 2x + 1$ на отрезке $[1, \frac{5}{2}]$ и $y_2 = -4x + 16$ на отрезке $[\frac{5}{2}, 4]$. Точка пересечения касательных $M(\frac{5}{2}, 6)$ делит область интегрирования на две части.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как разность площади под касательными и площади под параболой на отрезке $[1, 4]$.

$S = \int_{1}^{5/2} (y_1(x) - (4x-x^2)) dx + \int_{5/2}^{4} (y_2(x) - (4x-x^2)) dx$

$S = \int_{1}^{5/2} ((2x+1) - (4x-x^2)) dx + \int_{5/2}^{4} ((-4x+16) - (4x-x^2)) dx$

Упростим подынтегральные выражения:

$S = \int_{1}^{5/2} (x^2 - 2x + 1) dx + \int_{5/2}^{4} (x^2 - 8x + 16) dx$

Заметим, что подынтегральные выражения являются полными квадратами:

$S = \int_{1}^{5/2} (x-1)^2 dx + \int_{5/2}^{4} (x-4)^2 dx$

Вычислим каждый интеграл:

$\int_{1}^{5/2} (x-1)^2 dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{1}^{5/2} = \frac{(\frac{5}{2}-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} = \frac{(\frac{3}{2})^3}{3} - 0 = \frac{27/8}{3} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$.

$\int_{5/2}^{4} (x-4)^2 dx = \left[ \frac{(x-4)^3}{3} \right]_{5/2}^{4} = \frac{(4-4)^3}{3} - \frac{(\frac{5}{2}-4)^3}{3} = 0 - \frac{(-\frac{3}{2})^3}{3} = - \frac{-27/8}{3} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$.

Сложим полученные значения, чтобы найти общую площадь:

$S = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.

1113. При каком значении $k$ площадь фигуры, заключённой между параболой $y = x^2 + 2x - 3$ и прямой $y = kx + 1$, наименьшая?

Для нахождения площади фигуры, заключенной между параболой и прямой, необходимо сначала определить точки их пересечения. Абсциссы этих точек являются корнями уравнения, получаемого приравниванием выражений для $y$.

1. Нахождение точек пересечения.

Приравняем уравнения параболы и прямой:

$x^2 + 2x - 3 = kx + 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + (2 - k)x - 4 = 0$

Чтобы прямая и парабола ограничивали некоторую площадь, они должны пересекаться в двух различных точках. Это означает, что дискриминант $D$ данного квадратного уравнения должен быть положительным.

$D = (2 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = (2 - k)^2 + 16$

Так как $(2 - k)^2 \ge 0$ для любого значения $k$, то $D = (2 - k)^2 + 16 \ge 16$. Дискриминант всегда положителен, следовательно, при любом $k$ существует две точки пересечения. Обозначим их абсциссы как $x_1$ и $x_2$.

2. Вычисление площади фигуры.

Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ на отрезке $[x_1, x_2]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| \,dx$

В нашем случае разность функций равна:

$(kx + 1) - (x^2 + 2x - 3) = -x^2 + (k - 2)x + 4$

Эта парабола с ветвями вниз положительна на интервале между своими корнями $(x_1, x_2)$. Таким образом, площадь можно найти как:

$S(k) = \int_{x_1}^{x_2} (-x^2 + (k - 2)x + 4) \,dx$

Для вычисления площади, ограниченной параболой $y=ax^2+bx+c$ и прямой, пересекающей ее в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$, существует формула, использующая дискриминант $D$ и старший коэффициент $a$ уравнения разности:

$S = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$

В нашем случае уравнение разности $-x^2 + (k - 2)x + 4 = 0$. Здесь старший коэффициент $a = -1$, а дискриминант $D = (k-2)^2 + 16$.

Подставляем эти значения в формулу площади:

$S(k) = \frac{((k-2)^2 + 16)\sqrt{(k-2)^2 + 16}}{6(-1)^2} = \frac{((k-2)^2 + 16)^{3/2}}{6}$

3. Нахождение минимального значения площади.

Мы получили функцию площади $S(k)$, которая зависит от параметра $k$. Нам нужно найти такое значение $k$, при котором $S(k)$ будет наименьшим.

$S(k) = \frac{1}{6} \left((k-2)^2 + 16\right)^{3/2}$

Функция $u^{3/2}$ является монотонно возрастающей при $u > 0$. Следовательно, функция $S(k)$ достигает своего минимума в той же точке, что и выражение в скобках:

$g(k) = (k-2)^2 + 16$

Это выражение представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Координата вершины параболы вида $a(k-h)^2+p$ находится в точке $k=h$. В нашем случае $h=2$.

Таким образом, выражение $g(k)$ минимально при $k=2$. При этом значении $k$ и площадь $S(k)$ будет наименьшей.

Ответ: $2$

1114. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=0.5x^2-2x+2$ и касательными к ней, проведёнными через точки $A\left(1;\frac{1}{2}\right)$ и $B(4; 2)$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = 0,5x^2 - 2x + 2$ и касательными к ней в точках $A(1; \frac{1}{2})$ и $B(4; 2)$, необходимо выполнить следующие действия.

1. Найти уравнения касательных к параболе.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную данной функции $f(x) = 0,5x^2 - 2x + 2$:

$f'(x) = (0,5x^2 - 2x + 2)' = 2 \cdot 0,5x - 2 = x - 2$.

Теперь найдем уравнения для каждой касательной.

Касательная в точке $A(1; \frac{1}{2})$:

Абсцисса точки касания $x_0 = 1$.

Ордината точки касания: $f(1) = 0,5(1)^2 - 2(1) + 2 = 0,5 - 2 + 2 = 0,5 = \frac{1}{2}$.

Угловой коэффициент касательной (значение производной в точке $x_0=1$): $k_1 = f'(1) = 1 - 2 = -1$.

Уравнение касательной в точке A:

$y = \frac{1}{2} + (-1)(x - 1) = \frac{1}{2} - x + 1$

$y_1 = -x + \frac{3}{2}$

Касательная в точке $B(4; 2)$:

Абсцисса точки касания $x_0 = 4$.

Ордината точки касания: $f(4) = 0,5(4)^2 - 2(4) + 2 = 0,5 \cdot 16 - 8 + 2 = 8 - 8 + 2 = 2$.

Угловой коэффициент касательной (значение производной в точке $x_0=4$): $k_2 = f'(4) = 4 - 2 = 2$.

Уравнение касательной в точке B:

$y = 2 + 2(x - 4) = 2 + 2x - 8$

$y_2 = 2x - 6$

2. Найти точку пересечения касательных.

Чтобы найти точку пересечения, приравняем правые части уравнений касательных $y_1$ и $y_2$:

$-x + \frac{3}{2} = 2x - 6$

$3x = 6 + \frac{3}{2}$

$3x = \frac{12}{2} + \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$

$x = \frac{15}{2 \cdot 3} = \frac{5}{2} = 2,5$

Абсцисса точки пересечения равна 2,5. Эта точка лежит между абсциссами точек касания (1 и 4).

3. Вычислить площадь фигуры.

Искомая площадь $S$ — это площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху параболой $y = 0,5x^2 - 2x + 2$, а снизу — ломаной линией, состоящей из двух отрезков касательных. Площадь можно найти как разность между площадью под параболой и площадью под касательными на отрезке $[1, 4]$.

Площадь $S$ вычисляется как сумма двух интегралов. На отрезке $[1; 2,5]$ фигура ограничена снизу касательной $y_1 = -x + \frac{3}{2}$, а на отрезке $[2,5; 4]$ — касательной $y_2 = 2x - 6$.

$S = \int_{1}^{2,5} \left( (0,5x^2 - 2x + 2) - (-x + \frac{3}{2}) \right) dx + \int_{2,5}^{4} \left( (0,5x^2 - 2x + 2) - (2x - 6) \right) dx$

Упростим подынтегральные функции:

Первая: $0,5x^2 - 2x + 2 + x - 1,5 = 0,5x^2 - x + 0,5 = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1) = \frac{1}{2}(x - 1)^2$.

Вторая: $0,5x^2 - 2x + 2 - 2x + 6 = 0,5x^2 - 4x + 8 = \frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16) = \frac{1}{2}(x - 4)^2$.

Вычислим интегралы, используя $2,5 = \frac{5}{2}$:

$S = \int_{1}^{5/2} \frac{1}{2}(x - 1)^2 dx + \int_{5/2}^{4} \frac{1}{2}(x - 4)^2 dx$

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{1}^{5/2} + \frac{1}{2} \left[ \frac{(x-4)^3}{3} \right]_{5/2}^{4}$

$S = \frac{1}{6} \left( (\frac{5}{2} - 1)^3 - (1 - 1)^3 \right) + \frac{1}{6} \left( (4 - 4)^3 - (\frac{5}{2} - 4)^3 \right)$

$S = \frac{1}{6} \left( (\frac{3}{2})^3 - 0 \right) + \frac{1}{6} \left( 0 - (-\frac{3}{2})^3 \right)$

$S = \frac{1}{6} \cdot \frac{27}{8} + \frac{1}{6} \cdot \left( -(-\frac{27}{8}) \right) = \frac{27}{48} + \frac{27}{48} = \frac{54}{48}$

Сократим дробь:

$S = \frac{54 \div 6}{48 \div 6} = \frac{9}{8}$

Ответ: $\frac{9}{8}$.

1115. Через точку графика функции $y = \sqrt{x}$ с абсциссой $a$, где $\frac{1}{2} \le a \le 2$, проведена касательная к этому графику. Найти значение $a$, при котором площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью $Ox$ и прямой $x = 3$, будет наименьшей, и вычислить эту площадь.

1. Нахождение уравнения касательной
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. В нашем случае, функция $f(x) = \sqrt{x}$, а точка касания имеет абсциссу $x_0 = a$. Найдем значение функции в этой точке: $f(a) = \sqrt{a}$. Теперь найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Значение производной в точке касания: $f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}$. Подставим найденные значения в уравнение касательной: $y = \sqrt{a} + \frac{1}{2\sqrt{a}}(x - a)$ Упростим это выражение: $y = \sqrt{a} + \frac{x}{2\sqrt{a}} - \frac{a}{2\sqrt{a}} = \sqrt{a} + \frac{x}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} = \frac{x}{2\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{2}$. Итак, уравнение касательной: $y = \frac{x + a}{2\sqrt{a}}$.

2. Определение вершин треугольника
Треугольник ограничен тремя линиями:
1. Касательной: $y = \frac{x + a}{2\sqrt{a}}$
2. Осью Ox: $y = 0$
3. Прямой: $x = 3$
Найдем вершины треугольника как точки пересечения этих линий.
Вершина A (пересечение касательной и оси Ox):
Приравниваем $y$ к нулю: $0 = \frac{x + a}{2\sqrt{a}}$. Так как $a \ge \frac{1}{2}$, знаменатель не равен нулю. Следовательно, $x + a = 0$, откуда $x = -a$. Координаты вершины A: $(-a, 0)$.
Вершина B (пересечение прямой $x=3$ и оси Ox):
Координаты этой точки очевидны: $(3, 0)$.
Вершина C (пересечение касательной и прямой $x=3$):
Подставляем $x=3$ в уравнение касательной: $y = \frac{3 + a}{2\sqrt{a}}$. Координаты вершины C: $(3, \frac{3+a}{2\sqrt{a}})$.

3. Выражение площади треугольника как функции от a
Треугольник ABC является прямоугольным, так как одна из его сторон (BC) параллельна оси Oy, а другая (AB) лежит на оси Ox.
Длина основания AB равна разности абсцисс точек B и A: $L_{AB} = 3 - (-a) = 3 + a$.
Высота треугольника равна ординате точки C: $h = \frac{3+a}{2\sqrt{a}}$.
Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S(a) = \frac{1}{2} \cdot (3+a) \cdot \frac{3+a}{2\sqrt{a}} = \frac{(3+a)^2}{4\sqrt{a}}$.

4. Нахождение значения a, при котором площадь наименьшая
Нам нужно найти минимум функции $S(a) = \frac{(3+a)^2}{4\sqrt{a}}$ на отрезке $[\frac{1}{2}, 2]$. Для этого найдем производную $S'(a)$ по правилу дифференцирования частного:
$S'(a) = \frac{1}{4} \cdot \frac{( (3+a)^2 )' \cdot \sqrt{a} - (3+a)^2 \cdot (\sqrt{a})'}{(\sqrt{a})^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2(3+a) \cdot \sqrt{a} - (3+a)^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{a}}}{a}$.
Упростим выражение в числителе, приведя к общему знаменателю $2\sqrt{a}$:
$S'(a) = \frac{1}{4a} \cdot \frac{2(3+a)\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{a} - (3+a)^2}{2\sqrt{a}} = \frac{1}{8a\sqrt{a}} \cdot (4a(3+a) - (3+a)^2)$.
Вынесем общий множитель $(3+a)$:
$S'(a) = \frac{3+a}{8a\sqrt{a}} \cdot (4a - (3+a)) = \frac{(3+a)(3a-3)}{8a\sqrt{a}} = \frac{3(a+3)(a-1)}{8a^{3/2}}$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $S'(a) = 0$.
$\frac{3(a+3)(a-1)}{8a^{3/2}} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю. Так как $a > 0$, то $a+3 > 0$. Следовательно, $a-1=0$, откуда $a=1$.
Точка $a=1$ принадлежит заданному отрезку $[\frac{1}{2}, 2]$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $a \in [\frac{1}{2}, 1)$, $a-1 < 0$, следовательно $S'(a) < 0$, и функция $S(a)$ убывает.
- При $a \in (1, 2]$, $a-1 > 0$, следовательно $S'(a) > 0$, и функция $S(a)$ возрастает.
Таким образом, в точке $a=1$ функция $S(a)$ достигает своего локального и глобального минимума на отрезке $[\frac{1}{2}, 2]$.

5. Вычисление наименьшей площади
Теперь вычислим значение площади при $a=1$:
$S(1) = \frac{(3+1)^2}{4\sqrt{1}} = \frac{4^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

Ответ: Наименьшая площадь достигается при $a=1$ и равна 4.

1116. Дана фигура, ограниченная кривой $y=\sin x$ и прямыми $y=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ $(0 \le x \le \frac{\pi}{2})$. Под каким углом к оси $Ox$ нужно провести прямую через точку $(0; 0)$, чтобы эта прямая раз- бивала данную фигуру на две фигуры равной площади?

Для решения задачи сначала найдем общую площадь фигуры, а затем определим, при каком угловом коэффициенте $k$ прямая $y=kx$ делит эту площадь пополам. Угол наклона $\alpha$ к оси $Ox$ находится из соотношения $k = \tan\alpha$.

1. Нахождение площади исходной фигуры
Фигура ограничена кривой $y = \sin x$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$. Её площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл: $$ S = \int_{0}^{\pi/2} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/2} $$ Вычисляем значение интеграла: $$ S = (-\cos\frac{\pi}{2}) - (-\cos 0) = 0 - (-1) = 1 $$ Таким образом, общая площадь фигуры равна 1.

2. Вычисление углового коэффициента прямой
Искомая прямая $y=kx$ проходит через начало координат и делит фигуру на две части равной площади. Это означает, что площадь каждой части должна быть равна $1/2$. Рассмотрим площадь фигуры, расположенной под прямой $y=kx$ и над осью $Ox$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$. Эта площадь $S_1$ (площадь треугольника) должна быть равна $1/2$. Она вычисляется интегралом: $$ S_1 = \int_{0}^{\pi/2} kx \,dx = \frac{1}{2} $$ Вычислим этот интеграл: $$ \int_{0}^{\pi/2} kx \,dx = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = k \left( \frac{(\pi/2)^2}{2} - 0 \right) = k \frac{\pi^2}{8} $$ Теперь приравняем полученный результат к $1/2$: $$ k \frac{\pi^2}{8} = \frac{1}{2} $$ Отсюда находим угловой коэффициент $k$: $$ k = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\pi^2} = \frac{4}{\pi^2} $$ Этот метод расчета верен, так как на всем интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$ прямая $y=kx$ лежит не выше кривой $y=\sin x$. Это следует из того, что функция $g(x) = \sin x - kx$ является вогнутой на данном интервале ($g''(x)=-\sin x \le 0$), и на концах интервала принимает неотрицательные значения: $g(0)=0$ и $g(\pi/2)=1-2/\pi > 0$.

3. Нахождение искомого угла
Угловой коэффициент $k$ связан с углом наклона $\alpha$ прямой к положительному направлению оси $Ox$ соотношением $k = \tan\alpha$. Подставив найденное значение $k$, получим: $$ \tan\alpha = \frac{4}{\pi^2} $$ Следовательно, искомый угол равен: $$ \alpha = \arctan\left(\frac{4}{\pi^2}\right) $$

Ответ: Прямую нужно провести под углом $\alpha = \arctan\left(\frac{4}{\pi^2}\right)$ к оси $Ox$.