Страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

1041. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых вершины двух парабол $y = 4x^2 + 8ax - a$ и $y = 4ax^2 - 8x + a - 2$ лежат по одну сторону от прямой $y = -5$.

Условие, что вершины двух парабол лежат по одну сторону от горизонтальной прямой $y=c$, означает, что ординаты их вершин $y_{v1}$ и $y_{v2}$ либо обе больше $c$, либо обе меньше $c$. Это условие равносильно выполнению неравенства $(y_{v1} - c)(y_{v2} - c) > 0$. В данной задаче прямая задана уравнением $y = -5$, поэтому $c=-5$. Таким образом, нам нужно решить неравенство:

$(y_{v1} + 5)(y_{v2} + 5) > 0$

Сначала найдем координаты вершин каждой параболы.

Для первой параболы $y_1 = 4x^2 + 8ax - a$:

Координаты вершины параболы вида $y=Ax^2+Bx+C$ находятся по формулам $x_v = -\frac{B}{2A}$, $y_v = y(x_v)$.

$x_{v1} = -\frac{8a}{2 \cdot 4} = -a$

$y_{v1} = 4(-a)^2 + 8a(-a) - a = 4a^2 - 8a^2 - a = -4a^2 - a$

Для второй параболы $y_2 = 4ax^2 - 8x + a - 2$:

Это уравнение является уравнением параболы только при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $4a \neq 0$, откуда $a \neq 0$.

$x_{v2} = -\frac{-8}{2 \cdot 4a} = \frac{8}{8a} = \frac{1}{a}$

$y_{v2} = 4a\left(\frac{1}{a}\right)^2 - 8\left(\frac{1}{a}\right) + a - 2 = \frac{4a}{a^2} - \frac{8}{a} + a - 2 = \frac{4}{a} - \frac{8}{a} + a - 2 = a - \frac{4}{a} - 2$

Теперь подставим найденные ординаты $y_{v1}$ и $y_{v2}$ в наше неравенство:

$(-4a^2 - a + 5) \left( (a - \frac{4}{a} - 2) + 5 \right) > 0$

$(-4a^2 - a + 5) \left( a + 3 - \frac{4}{a} \right) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни каждого множителя и точки, где они не определены.

1. Рассмотрим первый множитель: $-4a^2 - a + 5$. Найдем его корни, решив уравнение:

$4a^2 + a - 5 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

$a_{1,2} = \frac{-1 \pm 9}{8}$, откуда $a_1 = \frac{8}{8} = 1$ и $a_2 = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$.

2. Рассмотрим второй множитель: $a + 3 - \frac{4}{a}$. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{a^2 + 3a - 4}{a}$

Найдем корни числителя: $a^2 + 3a - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $a_3 = 1$ и $a_4 = -4$.

Знаменатель обращается в ноль при $a=0$. Эта точка также является критической, так как в ней второй множитель не определен и меняет знак.

Нанесем все найденные точки $a=-4$, $a=-5/4$, $a=0$, $a=1$ на числовую ось и определим знаки произведения на получившихся интервалах.

Неравенство имеет вид: $-(4a^2+a-5) \cdot \frac{a^2+3a-4}{a} > 0$, что эквивалентно $(a-1)(a+\frac{5}{4}) \cdot \frac{(a-1)(a+4)}{a} < 0$, или $\frac{(a-1)^2(a+5/4)(a+4)}{a} < 0$.

Так как множитель $(a-1)^2$ всегда неотрицателен (и равен нулю при $a=1$, что не является решением неравенства), то знак выражения зависит от знака $\frac{(a+5/4)(a+4)}{a}$.

Решаем неравенство $\frac{(a+4)(a+5/4)}{a} < 0$ методом интервалов с точками $-4$, $-5/4$, $0$.

• При $a > 0$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Не подходит.
• При $-5/4 < a < 0$: $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$. Подходит.
• При $-4 < a < -5/4$: $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$. Не подходит.
• При $a < -4$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Подходит.

Объединяя полученные интервалы и исключая точку $a=1$, получаем решение. Заметим, что $a=1$ и так не входит в найденные интервалы.

Таким образом, значения параметра $a$ принадлежат объединению интервалов $(-\infty, -4)$ и $(-5/4, 0)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -4) \cup (-\frac{5}{4}; 0)$.

1042. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$y = \frac{2 \cos^4 x + \sin^2 x}{2 \sin^4 x + 3 \cos^2 x}$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{2 \cos^4 x + \sin^2 x}{2 \sin^4 x + 3 \cos^2 x}$ преобразуем данное выражение.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Тогда $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1 - \cos^2 x)^2 = 1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x$.

Теперь подставим эти выражения в числитель и знаменатель исходной функции.

Преобразуем числитель:

$2 \cos^4 x + \sin^2 x = 2 \cos^4 x + (1 - \cos^2 x) = 2 \cos^4 x - \cos^2 x + 1$.

Преобразуем знаменатель:

$2 \sin^4 x + 3 \cos^2 x = 2(1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x) + 3 \cos^2 x = 2 - 4\cos^2 x + 2\cos^4 x + 3 \cos^2 x = 2\cos^4 x - \cos^2 x + 2$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = \frac{2 \cos^4 x - \cos^2 x + 1}{2\cos^4 x - \cos^2 x + 2}$.

Чтобы упростить дальнейший анализ, введем замену переменной. Пусть $t = \cos^2 x$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$ для любого $x$, то область значений для переменной $t$ — это отрезок $[0, 1]$.

После замены функция примет вид:

$f(t) = \frac{2t^2 - t + 1}{2t^2 - t + 2}$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $f(t)$ на отрезке $[0, 1]$. Для этого найдем производную функции $f(t)$ по переменной $t$.

Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(t) = 2t^2 - t + 1$ и $v(t) = 2t^2 - t + 2$. Тогда их производные равны $u'(t) = 4t - 1$ и $v'(t) = 4t - 1$.

$f'(t) = \frac{(4t - 1)(2t^2 - t + 2) - (2t^2 - t + 1)(4t - 1)}{(2t^2 - t + 2)^2}$

Вынесем общий множитель $(4t - 1)$ в числителе:

$f'(t) = \frac{(4t - 1)((2t^2 - t + 2) - (2t^2 - t + 1))}{(2t^2 - t + 2)^2} = \frac{(4t - 1)(1)}{(2t^2 - t + 2)^2} = \frac{4t - 1}{(2t^2 - t + 2)^2}$.

Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю:

$f'(t) = 0 \implies 4t - 1 = 0 \implies t = \frac{1}{4}$.

Эта точка принадлежит отрезку $[0, 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, необходимо вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах. В нашем случае это точки $t=0$, $t=1/4$ и $t=1$.

Вычислим значения функции в этих точках:

• При $t = 0$: $f(0) = \frac{2(0)^2 - 0 + 1}{2(0)^2 - 0 + 2} = \frac{1}{2}$.
• При $t = 1/4$: $f(1/4) = \frac{2(1/4)^2 - 1/4 + 1}{2(1/4)^2 - 1/4 + 2} = \frac{2/16 - 1/4 + 1}{2/16 - 1/4 + 2} = \frac{1/8 - 2/8 + 8/8}{1/8 - 2/8 + 16/8} = \frac{7/8}{15/8} = \frac{7}{15}$.
• При $t = 1$: $f(1) = \frac{2(1)^2 - 1 + 1}{2(1)^2 - 1 + 2} = \frac{2}{3}$.

Сравним полученные значения: $\frac{1}{2}$, $\frac{7}{15}$ и $\frac{2}{3}$.

Чтобы их сравнить, приведем дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{2} = \frac{15}{30}$

$\frac{7}{15} = \frac{14}{30}$

$\frac{2}{3} = \frac{20}{30}$

Сравнивая числители, видим, что $\frac{14}{30} < \frac{15}{30} < \frac{20}{30}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $\frac{7}{15}$, а наибольшее — $\frac{2}{3}$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = \frac{7}{15}$, наибольшее значение функции $y_{max} = \frac{2}{3}$.

1043. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = \sin x + \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$;

2) $f(x) = \cos 3x, x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = \sin x + \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x + \cos x)' = (\sin x)' + (\cos x)' = \cos x - \sin x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$, чтобы найти угловой коэффициент:

$k = f'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$k = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1

2) Дана функция $f(x) = \cos 3x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$k = f'(\frac{\pi}{6}) = -3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = -3\sin(\frac{3\pi}{6}) = -3\sin(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$k = -3 \cdot 1 = -3$.

Ответ: -3

1044. Найти угол между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = \frac{1}{4x^2} - \sqrt{x}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = 2x\sqrt{x}$, $x_0 = \frac{1}{3}$.

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси Ox определяется из соотношения $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$, где $k$ - угловой коэффициент касательной, а $f'(x_0)$ - значение производной функции в точке $x_0$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{4x^2} - \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степеней: $f(x) = \frac{1}{4}x^{-2} - x^{\frac{1}{2}}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, находим производную: $f'(x) = \frac{1}{4}(-2)x^{-2-1} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-3} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$.

Перепишем производную в более удобном виде: $f'(x) = -\frac{1}{2x^3} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $f'(1) = -\frac{1}{2 \cdot 1^3} - \frac{1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

Угловой коэффициент касательной равен $k = f'(1) = -1$. Найдем угол $\alpha$, зная, что $\tan(\alpha) = -1$. Учитывая, что искомый угол находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан), получаем: $\alpha = 135^\circ$ или $\frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $135^\circ$.

2) Дана функция $f(x) = 2x\sqrt{x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Представим функцию в виде одной степени: $f(x) = 2x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = 2x^{1+\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции: $f'(x) = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 3x^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$: $f'(\frac{1}{3}) = 3\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Угловой коэффициент касательной равен $k = f'(\frac{1}{3}) = \sqrt{3}$. Найдем угол $\alpha$, зная, что $\tan(\alpha) = \sqrt{3}$. $\alpha = 60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $60^\circ$.

1045. Написать уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x)=\frac{3}{4x\sqrt{x}}$, $x_0=\frac{1}{4}$;

2) $f(x)=2x^4-x^2+4$, $x_0=-1$.

1) $f(x)=\frac{3}{4x\sqrt{x}}, x_0=\frac{1}{4}$

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала преобразуем функцию для удобства нахождения производной:

$f(x) = \frac{3}{4x\sqrt{x}} = \frac{3}{4x \cdot x^{1/2}} = \frac{3}{4x^{3/2}} = \frac{3}{4}x^{-3/2}$.

Теперь найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:

$f(x_0) = f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}\left(\frac{1}{4}\right)^{-3/2} = \frac{3}{4} \cdot 4^{3/2} = \frac{3}{4} \cdot (\sqrt{4})^3 = \frac{3}{4} \cdot 2^3 = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$.

Далее найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{3}{4}x^{-3/2}\right)' = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)x^{-3/2 - 1} = -\frac{9}{8}x^{-5/2}$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$. Это и будет угловой коэффициент касательной.

$f'(x_0) = f'\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{9}{8}\left(\frac{1}{4}\right)^{-5/2} = -\frac{9}{8} \cdot 4^{5/2} = -\frac{9}{8} \cdot (\sqrt{4})^5 = -\frac{9}{8} \cdot 2^5 = -\frac{9}{8} \cdot 32 = -9 \cdot 4 = -36$.

Подставим найденные значения $x_0 = \frac{1}{4}$, $f(x_0) = 6$ и $f'(x_0) = -36$ в уравнение касательной:

$y = 6 + (-36)\left(x - \frac{1}{4}\right)$.

Упростим полученное уравнение:

$y = 6 - 36x + 36 \cdot \frac{1}{4}$

$y = 6 - 36x + 9$

$y = -36x + 15$.

Ответ: $y = -36x + 15$.

2) $f(x)=2x^4 - x^2 + 4, x_0=-1$

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = 2(-1)^4 - (-1)^2 + 4 = 2 \cdot 1 - 1 + 4 = 5$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^4 - x^2 + 4)' = 2 \cdot 4x^3 - 2x + 0 = 8x^3 - 2x$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(x_0) = f'(-1) = 8(-1)^3 - 2(-1) = 8(-1) + 2 = -8 + 2 = -6$.

Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 5$ и $f'(x_0) = -6$ в уравнение касательной:

$y = 5 + (-6)(x - (-1))$.

Упростим полученное уравнение:

$y = 5 - 6(x + 1)$

$y = 5 - 6x - 6$

$y = -6x - 1$.

Ответ: $y = -6x - 1$.

1046. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^3 - x + 1$ в точке пересечения его с осью $Oy$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в некоторой точке равен значению производной этой функции в данной точке.

Сначала найдем точку пересечения графика функции $y = x^3 - x + 1$ с осью $Oy$. Пересечение с осью ординат происходит в точке, где абсцисса $x = 0$. Подставим это значение в уравнение функции:

$y(0) = 0^3 - 0 + 1 = 1$

Таким образом, точка касания — это точка с координатами $(0; 1)$.

Теперь найдем производную данной функции. Используем правила дифференцирования:

$y' = (x^3 - x + 1)' = (x^3)' - (x)' + (1)' = 3x^2 - 1 + 0 = 3x^2 - 1$

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, $k$, в точке пересечения с осью $Oy$, нужно вычислить значение производной при $x = 0$:

$k = y'(0) = 3 \cdot (0)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$

Ответ: -1

1047. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y=3x^3-1$ в точке с ординатой $y=2$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной этой функции в абсциссе точки касания. Формула для углового коэффициента $k$ имеет вид: $k = f'(x_0)$, где $x_0$ — абсцисса точки касания.

Дана функция $y = 3x^3 - 1$.

1. Нахождение абсциссы точки касания.

По условию, ордината (значение $y$) точки касания равна 2. Чтобы найти соответствующую абсциссу $x_0$, подставим $y = 2$ в уравнение функции:

$2 = 3x_0^3 - 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x_0$:

$3x_0^3 = 2 + 1$

$3x_0^3 = 3$

$x_0^3 = 1$

$x_0 = \sqrt[3]{1} = 1$

Таким образом, абсцисса точки касания равна 1.

2. Нахождение производной функции.

Найдем производную функции $y = 3x^3 - 1$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило, что производная константы равна нулю.

$y' = (3x^3 - 1)' = (3x^3)' - (1)' = 3 \cdot 3x^{3-1} - 0 = 9x^2$

3. Вычисление углового коэффициента.

Теперь вычислим значение производной в найденной точке $x_0 = 1$:

$k = y'(1) = 9 \cdot (1)^2 = 9 \cdot 1 = 9$

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с ординатой $y=2$ равен 9.

Ответ: 9

1048. Прямая $y=4x+a$ является касательной к параболе $y=6-2x+x^2$. Найти $a$ и координаты точки касания.

Для того чтобы прямая $y = 4x + a$ являлась касательной к параболе $y = x^2 - 2x + 6$, в точке касания $(x_0, y_0)$ должны выполняться два условия:
1. Координаты точки касания должны удовлетворять обоим уравнениям.
2. Угловой коэффициент касательной (наклон прямой) должен быть равен значению производной функции параболы в точке $x_0$.

Найдем производную функции, описывающей параболу: $f(x) = x^2 - 2x + 6$.
$f'(x) = (x^2 - 2x + 6)' = 2x - 2$.

Угловой коэффициент прямой $y = 4x + a$ равен 4.

Приравняем значение производной в точке касания $x_0$ к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу точки касания:
$f'(x_0) = 4$
$2x_0 - 2 = 4$
$2x_0 = 6$
$x_0 = 3$.

Зная абсциссу точки касания, найдем её ординату $y_0$, подставив $x_0 = 3$ в уравнение параболы:
$y_0 = x_0^2 - 2x_0 + 6 = 3^2 - 2 \cdot 3 + 6 = 9 - 6 + 6 = 9$.
Таким образом, координаты точки касания — $(3, 9)$.

Теперь, когда мы знаем точку касания, мы можем найти параметр $a$. Поскольку точка $(3, 9)$ лежит на прямой $y = 4x + a$, её координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим их:
$9 = 4 \cdot 3 + a$
$9 = 12 + a$
$a = 9 - 12$
$a = -3$.

Проверим решение другим способом. Условие касания прямой и параболы эквивалентно тому, что уравнение, полученное приравниванием их правых частей, имеет ровно один корень.
$x^2 - 2x + 6 = 4x + a$
$x^2 - 6x + (6 - a) = 0$
Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 - a) = 36 - 24 + 4a = 12 + 4a$.
$12 + 4a = 0 \Rightarrow 4a = -12 \Rightarrow a = -3$.
Результаты совпали, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $a = -3$, координаты точки касания $(3, 9)$.

1049. Найти точки, в которых касательные к графику функции
$y = 4x^3 - 9x^2 + 6x + 1$
параллельны оси абсцисс.

Условие, что касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, означает, что ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной в некоторой точке равен значению производной функции в этой точке. Следовательно, для нахождения искомых точек необходимо найти производную данной функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Найденные корни будут являться абсциссами (координатами $x$) искомых точек.

Исходная функция: $y = 4x^3 - 9x^2 + 6x + 1$.

1. Нахождение производной функции
Найдём производную $y'$ по правилам дифференцирования:
$y' = (4x^3 - 9x^2 + 6x + 1)' = (4x^3)' - (9x^2)' + (6x)' + (1)'$
$y' = 4 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 2x + 6 \cdot 1 + 0$
$y' = 12x^2 - 18x + 6$

2. Решение уравнения $y' = 0$
Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы точек, в которых касательная горизонтальна:
$12x^2 - 18x + 6 = 0$
Для упрощения вычислений можно разделить все члены уравнения на их общий делитель 6:
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

3. Нахождение ординат точек
Мы нашли абсциссы точек. Теперь найдем соответствующие им ординаты (координаты $y$), подставив значения $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение функции $y = 4x^3 - 9x^2 + 6x + 1$.
Для $x_1 = \frac{1}{2}$:
$y_1 = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 9\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 4\left(\frac{1}{8}\right) - 9\left(\frac{1}{4}\right) + 3 + 1 = \frac{4}{8} - \frac{9}{4} + 4 = \frac{1}{2} - \frac{9}{4} + 4$
Приводим к общему знаменателю 4:
$y_1 = \frac{2}{4} - \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{2 - 9 + 16}{4} = \frac{9}{4}$
Следовательно, первая точка: $\left(\frac{1}{2}; \frac{9}{4}\right)$.
Для $x_2 = 1$:
$y_2 = 4(1)^3 - 9(1)^2 + 6(1) + 1 = 4 - 9 + 6 + 1 = 2$
Следовательно, вторая точка: $(1; 2)$.

Ответ: $\left(\frac{1}{2}; \frac{9}{4}\right)$ и $(1; 2)$.

1050. На параболе $y=3x^2+7x+1$ найти такую точку, в которой касательная к параболе образует с осью абсцисс угол $\frac{\pi}{4}$.

Условие задачи состоит в том, чтобы найти на параболе $y = 3x^2 + 7x + 1$ точку, в которой касательная к ней образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox) угол $\frac{\pi}{4}$.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = y'(x_0)$. Также угловой коэффициент связан с углом наклона $\alpha$ касательной к оси абсцисс формулой $k = \tan(\alpha)$.

Согласно условию, угол наклона $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Вычислим угловой коэффициент касательной:

$k = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$

Теперь найдем производную данной функции $y = 3x^2 + 7x + 1$:

$y' = (3x^2 + 7x + 1)' = 3 \cdot (x^2)' + 7 \cdot (x)' + (1)' = 3 \cdot 2x + 7 \cdot 1 + 0 = 6x + 7$

Приравняем выражение для производной к вычисленному значению углового коэффициента $k=1$, чтобы найти абсциссу $x$ искомой точки касания:

$6x + 7 = 1$

Решим полученное линейное уравнение:

$6x = 1 - 7$

$6x = -6$

$x = -1$

Мы нашли абсциссу точки касания. Для нахождения ординаты этой точки подставим найденное значение $x = -1$ в исходное уравнение параболы:

$y = 3(-1)^2 + 7(-1) + 1 = 3 \cdot 1 - 7 + 1 = 3 - 7 + 1 = -3$

Следовательно, искомая точка на параболе имеет координаты $(-1, -3)$.

Ответ: $(-1, -3)$

1051. Найти все точки графика функции $f(x)=e^{\frac{x}{3}}$, в которых касательная к этому графику проходит через начало координат.

Пусть искомая точка на графике функции $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$ имеет координаты $(x_0, f(x_0))$. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:
$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$f'(x) = \left(e^{\frac{x}{3}}\right)' = e^{\frac{x}{3}} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}$

Теперь запишем уравнение касательной для нашей функции в точке $x_0$:
$y_0 = f(x_0) = e^{\frac{x_0}{3}}$
$f'(x_0) = \frac{1}{3}e^{\frac{x_0}{3}}$
Подставляем эти значения в общее уравнение касательной:
$y - e^{\frac{x_0}{3}} = \frac{1}{3}e^{\frac{x_0}{3}}(x - x_0)$

По условию задачи, эта касательная проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставим координаты этой точки ($x=0$, $y=0$) в уравнение касательной, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$0 - e^{\frac{x_0}{3}} = \frac{1}{3}e^{\frac{x_0}{3}}(0 - x_0)$
$-e^{\frac{x_0}{3}} = -\frac{x_0}{3}e^{\frac{x_0}{3}}$

Поскольку значение $e^{\frac{x_0}{3}}$ всегда положительно, мы можем разделить обе части уравнения на $e^{\frac{x_0}{3}}$:
$-1 = -\frac{x_0}{3}$
Умножим обе части на $-3$:
$x_0 = 3$

Мы нашли абсциссу точки касания. Теперь найдем ее ординату, подставив $x_0 = 3$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = f(3) = e^{\frac{3}{3}} = e^1 = e$

Таким образом, единственная точка на графике функции, в которой касательная проходит через начало координат, это точка с координатами $(3, e)$.

Ответ: $(3, e)$.

1052. Написать уравнение касательной к графику функции

$y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = xln2x, x_0 = 0,5;$

2) $f(x) = 2^{-x}, x_0 = 1.$

1)

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = x \ln(2x)$ и точка $x_0 = 0,5$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(0,5) = 0,5 \cdot \ln(2 \cdot 0,5) = 0,5 \cdot \ln(1) = 0,5 \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \ln(2x))' = (x)' \cdot \ln(2x) + x \cdot (\ln(2x))' = 1 \cdot \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \ln(2x) + 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(0,5) = \ln(2 \cdot 0,5) + 1 = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1$.

4. Подставим найденные значения $x_0=0,5$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 1 \cdot (x - 0,5)$

$y = x - 0,5$

Ответ: $y = x - 0,5$.

2)

Используем то же общее уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = 2^{-x}$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x} \ln(2) \cdot (-x)' = 2^{-x} \ln(2) \cdot (-1) = -2^{-x} \ln(2)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = -2^{-1} \ln(2) = -\frac{1}{2} \ln(2) = -\frac{\ln(2)}{2}$.

4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=\frac{1}{2}$ и $f'(x_0)=-\frac{\ln(2)}{2}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} + \left(-\frac{\ln(2)}{2}\right) \cdot (x - 1)$

$y = \frac{1}{2} - \frac{\ln(2)}{2}(x - 1)$

Это уравнение можно оставить в таком виде или привести к виду $y=kx+b$:

$y = \frac{1}{2} - \frac{x \ln(2)}{2} + \frac{\ln(2)}{2} = -\frac{\ln(2)}{2}x + \frac{1 + \ln(2)}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{2} - \frac{\ln(2)}{2}(x - 1)$ (или $y = -\frac{\ln(2)}{2}x + \frac{1+\ln(2)}{2}$).

1053. Найти угол между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y=x^3-x^2-7x+6$ в точке $M(2; -4)$.

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции и положительным направлением оси Ox находится через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент $k$) равен значению производной функции $y=f(x)$ в точке касания с абсциссой $x_0$. Таким образом, $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Дана функция $y = x^3 - x^2 - 7x + 6$ и точка касания $M(2; -4)$. Абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

1. Найдем производную функции:
$y' = (x^3 - x^2 - 7x + 6)' = 3x^2 - 2x - 7$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $k$:
$k = y'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 7 = 3 \cdot 4 - 4 - 7 = 12 - 11 = 1$.

3. Теперь, зная угловой коэффициент, найдем угол наклона $\alpha$:
$\tan(\alpha) = k = 1$.
Из этого уравнения находим угол $\alpha$. Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.
$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан).

Ответ: $45^\circ$.

1054. Найти тангенс угла, который касательная к графику функции $y = x^2 e^{-x}$ в точке с абсциссой $x = 1$ образует с осью $Ox$.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $\tan(\alpha) = y'(x_0)$.

Дана функция $y = x^2e^{-x}$.

Для нахождения тангенса угла наклона касательной необходимо сначала найти производную данной функции. Будем использовать правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^2e^{-x})' = (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})'$

Производная от $x^2$ равна $2x$.

Производная от $e^{-x}$ (как сложной функции) равна $e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

Подставляем найденные производные в формулу:

$y' = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x}$

Вынесем общий множитель $xe^{-x}$ за скобки:

$y' = xe^{-x}(2 - x)$

Теперь найдем значение производной в точке с абсциссой $x_0 = 1$, подставив это значение в выражение для производной:

$y'(1) = 1 \cdot e^{-1}(2 - 1) = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1} = \frac{1}{e}$

Таким образом, тангенс угла, который касательная к графику функции $y = x^2e^{-x}$ в точке $x = 1$ образует с осью $Ox$, равен $\frac{1}{e}$.

Ответ: $\frac{1}{e}$