Номер 1044, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1044, страница 347.

Условие.

1044. Найти угол между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = \frac{1}{4x^2} - \sqrt{x}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = 2x\sqrt{x}$, $x_0 = \frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси Ox определяется из соотношения $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$, где $k$ - угловой коэффициент касательной, а $f'(x_0)$ - значение производной функции в точке $x_0$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{4x^2} - \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степеней: $f(x) = \frac{1}{4}x^{-2} - x^{\frac{1}{2}}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, находим производную: $f'(x) = \frac{1}{4}(-2)x^{-2-1} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-3} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$.

Перепишем производную в более удобном виде: $f'(x) = -\frac{1}{2x^3} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $f'(1) = -\frac{1}{2 \cdot 1^3} - \frac{1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

Угловой коэффициент касательной равен $k = f'(1) = -1$. Найдем угол $\alpha$, зная, что $\tan(\alpha) = -1$. Учитывая, что искомый угол находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан), получаем: $\alpha = 135^\circ$ или $\frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $135^\circ$.

2) Дана функция $f(x) = 2x\sqrt{x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Представим функцию в виде одной степени: $f(x) = 2x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = 2x^{1+\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции: $f'(x) = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 3x^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$: $f'(\frac{1}{3}) = 3\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Угловой коэффициент касательной равен $k = f'(\frac{1}{3}) = \sqrt{3}$. Найдем угол $\alpha$, зная, что $\tan(\alpha) = \sqrt{3}$. $\alpha = 60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $60^\circ$.