Номер 1040, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1040, страница 346.

Условие.

1040. 1) Найти все значения a, при каждом из которых наименьшее значение квадратичной функции

$y = 4x^2 - 4ax + a^2 - 2a + 2$

на отрезке $[0; 2]$ равно 3.

2) Найти все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

$y = 4ax + |x^2 - 8x + 7|$

больше 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Задана квадратичная функция $y(x) = 4x^2 - 4ax + a^2 - 2a + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 4 (положительное число). Наименьшее значение такой параболы на отрезке $[0; 2]$ зависит от положения её вершины.

Найдём абсциссу вершины параболы $x_v$ по формуле $x_v = -\frac{B}{2A}$, где $A=4$, $B=-4a$: $x_v = -\frac{-4a}{2 \cdot 4} = \frac{4a}{8} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим три случая расположения вершины относительно отрезка $[0; 2]$.

Случай 1: Вершина левее отрезка, $x_v < 0$.

Это условие эквивалентно $\frac{a}{2} < 0$, то есть $a < 0$. На отрезке $[0; 2]$ функция возрастает, следовательно, её наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, в точке $x=0$. $y_{min} = y(0) = 4(0)^2 - 4a(0) + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2a + 2$. По условию, наименьшее значение равно 3: $a^2 - 2a + 2 = 3$ $a^2 - 2a - 1 = 0$ Решаем квадратное уравнение относительно $a$: $a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. Мы получили два корня: $a_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $a_2 = 1 + \sqrt{2}$. Учитывая условие $a < 0$, нам подходит только $a = 1 - \sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} \approx 1.41$, то $1-\sqrt{2} < 0$, а $1+\sqrt{2} > 0$).

Случай 2: Вершина внутри отрезка, $0 \le x_v \le 2$.

Это условие эквивалентно $0 \le \frac{a}{2} \le 2$, то есть $0 \le a \le 4$. В этом случае наименьшее значение функции достигается в вершине $x_v = a/2$. $y_{min} = y(\frac{a}{2}) = 4(\frac{a}{2})^2 - 4a(\frac{a}{2}) + a^2 - 2a + 2 = 4\frac{a^2}{4} - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = -2a + 2$. Приравниваем к 3: $-2a + 2 = 3$ $-2a = 1$ $a = -1/2$. Это значение не удовлетворяет условию $0 \le a \le 4$, поэтому в данном случае решений нет.

Случай 3: Вершина правее отрезка, $x_v > 2$.

Это условие эквивалентно $\frac{a}{2} > 2$, то есть $a > 4$. На отрезке $[0; 2]$ функция убывает, следовательно, её наименьшее значение достигается в правой границе отрезка, в точке $x=2$. $y_{min} = y(2) = 4(2)^2 - 4a(2) + a^2 - 2a + 2 = 16 - 8a + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 10a + 18$. Приравниваем к 3: $a^2 - 10a + 18 = 3$ $a^2 - 10a + 15 = 0$. Решаем квадратное уравнение относительно $a$: $a = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 60}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 5 \pm \sqrt{10}$. Мы получили два корня: $a_3 = 5 - \sqrt{10}$ и $a_4 = 5 + \sqrt{10}$. Учитывая условие $a > 4$, нам подходит только $a = 5 + \sqrt{10}$ (так как $3 < \sqrt{10} < 4$, то $5 - \sqrt{10} < 2$, а $5 + \sqrt{10} > 8$).

Объединяя результаты всех случаев, получаем искомые значения $a$.

Ответ: $a = 1 - \sqrt{2}$, $a = 5 + \sqrt{10}$.

2)

Требуется найти все значения параметра $a$, при которых наименьшее значение функции $y(x) = 4ax + |x^2 - 8x + 7|$ больше 1. Это эквивалентно неравенству $y(x) > 1$ для всех действительных $x$, или $\min_{x \in \mathbb{R}} y(x) > 1$.

Выражение под знаком модуля, $g(x) = x^2 - 8x + 7$, обращается в ноль при $x=1$ и $x=7$. Раскроем модуль: $y(x) = \begin{cases} 4ax + (x^2 - 8x + 7), & \text{если } x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty) \\ 4ax - (x^2 - 8x + 7), & \text{если } x \in (1, 7) \end{cases}$ $y(x) = \begin{cases} x^2 + (4a - 8)x + 7, & \text{назовем это } y_1(x) \\ -x^2 + (4a + 8)x - 7, & \text{назовем это } y_2(x) \end{cases}$

Функция $y(x)$ непрерывна. Ее наименьшее значение может достигаться в точках, где производная равна нулю или не существует. Производная не существует в точках "стыка" $x=1$ и $x=7$.

Найдём стационарные точки. Для $y_1(x)$: $y_1'(x) = 2x + 4a - 8$. $y_1'(x)=0$ при $x = 4-2a$. Это точка минимума для параболы $y_1(x)$. Для $y_2(x)$: $y_2'(x) = -2x + 4a + 8$. $y_2'(x)=0$ при $x = 2a+4$. Это точка максимума для параболы $y_2(x)$.

Таким образом, кандидатами на точку глобального минимума функции $y(x)$ являются точки $x=1$, $x=7$ и $x = 4-2a$ (если эта точка попадает в область определения $y_1(x)$).

Рассмотрим случаи в зависимости от положения точки $x_{v1} = 4-2a$.

Случай 1: $4-2a \le 1$ (то есть $a \ge 3/2$).

В этом случае $x_{v1}=4-2a$ является точкой локального минимума для $y(x)$. Глобальный минимум функции $y(x)$ есть наименьшее из значений в точках $x=1$, $x=7$ и $x=x_{v1}$. $y(1) = 4a(1) + |1-8+7| = 4a$. $y(7) = 4a(7) + |49-56+7| = 28a$. $y(x_{v1}) = y_1(4-2a) = (4-2a)^2+(4a-8)(4-2a)+7 = -(4-2a)^2+7 = -4a^2+16a-9$. Мы требуем, чтобы все эти значения были больше 1: 1) $4a > 1 \implies a > 1/4$. 2) $28a > 1 \implies a > 1/28$. 3) $-4a^2+16a-9 > 1 \implies 4a^2-16a+10 < 0 \implies 2a^2-8a+5 < 0$. Корни уравнения $2a^2-8a+5=0$ равны $a = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. Неравенство верно для $a \in (2 - \frac{\sqrt{6}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$. Пересекая это с условием случая $a \ge 3/2$ и условиями $a > 1/4$, $a>1/28$, получаем: $a \in [3/2, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$.

Случай 2: $4-2a \ge 7$ (то есть $a \le -3/2$).

Аналогично предыдущему случаю, глобальный минимум это $\min(y(1), y(7), y(x_{v1}))$. Требования те же, в частности $a > 1/4$. Это противоречит условию $a \le -3/2$. Решений в этом случае нет.

Случай 3: $1 < 4-2a < 7$ (то есть $-3/2 < a < 3/2$).

В этом случае точка $x_{v1}=4-2a$ не является точкой локального минимума функции $y(x)$, так как она находится вне области определения $y_1(x)$. Минимум функции на лучах $(-\infty, 1]$ и $[7, \infty)$ достигается в точках $x=1$ и $x=7$. На интервале $(1, 7)$ функция $y_2(x)$ является параболой с ветвями вниз, поэтому её минимум на отрезке $[1, 7]$ также достигается на концах. Следовательно, глобальный минимум $y(x)$ равен $\min(y(1), y(7)) = \min(4a, 28a)$. Требуем, чтобы $\min(4a, 28a) > 1$. Если $-3/2 < a \le 0$, то $\min(4a, 28a) = 28a$. Условие $28a > 1$ даёт $a > 1/28$, что противоречит $a \le 0$. Если $0 < a < 3/2$, то $\min(4a, 28a) = 4a$. Условие $4a > 1$ даёт $a > 1/4$. Пересекая с $0 < a < 3/2$, получаем $a \in (1/4, 3/2)$.

Объединим решения из случаев 1 и 3: $a \in [3/2, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (1/4, 3/2)$. Итоговый интервал: $a \in (1/4, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$.

Ответ: $a \in (\frac{1}{4}, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$.