Номер 1040, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1040, страница 346.

№1040 (с. 346)
Условие. №1040 (с. 346)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1040, Условие

1040. 1) Найти все значения a, при каждом из которых наименьшее значение квадратичной функции

$y = 4x^2 - 4ax + a^2 - 2a + 2$

на отрезке $[0; 2]$ равно 3.

2) Найти все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

$y = 4ax + |x^2 - 8x + 7|$

больше 1.

Решение 1. №1040 (с. 346)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1040, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1040, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №1040 (с. 346)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1040, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1040, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1040, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 3. №1040 (с. 346)

1)

Задана квадратичная функция $y(x) = 4x^2 - 4ax + a^2 - 2a + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 4 (положительное число). Наименьшее значение такой параболы на отрезке $[0; 2]$ зависит от положения её вершины.

Найдём абсциссу вершины параболы $x_v$ по формуле $x_v = -\frac{B}{2A}$, где $A=4$, $B=-4a$: $x_v = -\frac{-4a}{2 \cdot 4} = \frac{4a}{8} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим три случая расположения вершины относительно отрезка $[0; 2]$.

Случай 1: Вершина левее отрезка, $x_v < 0$.

Это условие эквивалентно $\frac{a}{2} < 0$, то есть $a < 0$. На отрезке $[0; 2]$ функция возрастает, следовательно, её наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, в точке $x=0$. $y_{min} = y(0) = 4(0)^2 - 4a(0) + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2a + 2$. По условию, наименьшее значение равно 3: $a^2 - 2a + 2 = 3$ $a^2 - 2a - 1 = 0$ Решаем квадратное уравнение относительно $a$: $a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. Мы получили два корня: $a_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $a_2 = 1 + \sqrt{2}$. Учитывая условие $a < 0$, нам подходит только $a = 1 - \sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} \approx 1.41$, то $1-\sqrt{2} < 0$, а $1+\sqrt{2} > 0$).

Случай 2: Вершина внутри отрезка, $0 \le x_v \le 2$.

Это условие эквивалентно $0 \le \frac{a}{2} \le 2$, то есть $0 \le a \le 4$. В этом случае наименьшее значение функции достигается в вершине $x_v = a/2$. $y_{min} = y(\frac{a}{2}) = 4(\frac{a}{2})^2 - 4a(\frac{a}{2}) + a^2 - 2a + 2 = 4\frac{a^2}{4} - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = -2a + 2$. Приравниваем к 3: $-2a + 2 = 3$ $-2a = 1$ $a = -1/2$. Это значение не удовлетворяет условию $0 \le a \le 4$, поэтому в данном случае решений нет.

Случай 3: Вершина правее отрезка, $x_v > 2$.

Это условие эквивалентно $\frac{a}{2} > 2$, то есть $a > 4$. На отрезке $[0; 2]$ функция убывает, следовательно, её наименьшее значение достигается в правой границе отрезка, в точке $x=2$. $y_{min} = y(2) = 4(2)^2 - 4a(2) + a^2 - 2a + 2 = 16 - 8a + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 10a + 18$. Приравниваем к 3: $a^2 - 10a + 18 = 3$ $a^2 - 10a + 15 = 0$. Решаем квадратное уравнение относительно $a$: $a = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 60}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 5 \pm \sqrt{10}$. Мы получили два корня: $a_3 = 5 - \sqrt{10}$ и $a_4 = 5 + \sqrt{10}$. Учитывая условие $a > 4$, нам подходит только $a = 5 + \sqrt{10}$ (так как $3 < \sqrt{10} < 4$, то $5 - \sqrt{10} < 2$, а $5 + \sqrt{10} > 8$).

Объединяя результаты всех случаев, получаем искомые значения $a$.

Ответ: $a = 1 - \sqrt{2}$, $a = 5 + \sqrt{10}$.

2)

Требуется найти все значения параметра $a$, при которых наименьшее значение функции $y(x) = 4ax + |x^2 - 8x + 7|$ больше 1. Это эквивалентно неравенству $y(x) > 1$ для всех действительных $x$, или $\min_{x \in \mathbb{R}} y(x) > 1$.

Выражение под знаком модуля, $g(x) = x^2 - 8x + 7$, обращается в ноль при $x=1$ и $x=7$. Раскроем модуль: $y(x) = \begin{cases} 4ax + (x^2 - 8x + 7), & \text{если } x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty) \\ 4ax - (x^2 - 8x + 7), & \text{если } x \in (1, 7) \end{cases}$ $y(x) = \begin{cases} x^2 + (4a - 8)x + 7, & \text{назовем это } y_1(x) \\ -x^2 + (4a + 8)x - 7, & \text{назовем это } y_2(x) \end{cases}$

Функция $y(x)$ непрерывна. Ее наименьшее значение может достигаться в точках, где производная равна нулю или не существует. Производная не существует в точках "стыка" $x=1$ и $x=7$.

Найдём стационарные точки. Для $y_1(x)$: $y_1'(x) = 2x + 4a - 8$. $y_1'(x)=0$ при $x = 4-2a$. Это точка минимума для параболы $y_1(x)$. Для $y_2(x)$: $y_2'(x) = -2x + 4a + 8$. $y_2'(x)=0$ при $x = 2a+4$. Это точка максимума для параболы $y_2(x)$.

Таким образом, кандидатами на точку глобального минимума функции $y(x)$ являются точки $x=1$, $x=7$ и $x = 4-2a$ (если эта точка попадает в область определения $y_1(x)$).

Рассмотрим случаи в зависимости от положения точки $x_{v1} = 4-2a$.

Случай 1: $4-2a \le 1$ (то есть $a \ge 3/2$).

В этом случае $x_{v1}=4-2a$ является точкой локального минимума для $y(x)$. Глобальный минимум функции $y(x)$ есть наименьшее из значений в точках $x=1$, $x=7$ и $x=x_{v1}$. $y(1) = 4a(1) + |1-8+7| = 4a$. $y(7) = 4a(7) + |49-56+7| = 28a$. $y(x_{v1}) = y_1(4-2a) = (4-2a)^2+(4a-8)(4-2a)+7 = -(4-2a)^2+7 = -4a^2+16a-9$. Мы требуем, чтобы все эти значения были больше 1: 1) $4a > 1 \implies a > 1/4$. 2) $28a > 1 \implies a > 1/28$. 3) $-4a^2+16a-9 > 1 \implies 4a^2-16a+10 < 0 \implies 2a^2-8a+5 < 0$. Корни уравнения $2a^2-8a+5=0$ равны $a = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. Неравенство верно для $a \in (2 - \frac{\sqrt{6}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$. Пересекая это с условием случая $a \ge 3/2$ и условиями $a > 1/4$, $a>1/28$, получаем: $a \in [3/2, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$.

Случай 2: $4-2a \ge 7$ (то есть $a \le -3/2$).

Аналогично предыдущему случаю, глобальный минимум это $\min(y(1), y(7), y(x_{v1}))$. Требования те же, в частности $a > 1/4$. Это противоречит условию $a \le -3/2$. Решений в этом случае нет.

Случай 3: $1 < 4-2a < 7$ (то есть $-3/2 < a < 3/2$).

В этом случае точка $x_{v1}=4-2a$ не является точкой локального минимума функции $y(x)$, так как она находится вне области определения $y_1(x)$. Минимум функции на лучах $(-\infty, 1]$ и $[7, \infty)$ достигается в точках $x=1$ и $x=7$. На интервале $(1, 7)$ функция $y_2(x)$ является параболой с ветвями вниз, поэтому её минимум на отрезке $[1, 7]$ также достигается на концах. Следовательно, глобальный минимум $y(x)$ равен $\min(y(1), y(7)) = \min(4a, 28a)$. Требуем, чтобы $\min(4a, 28a) > 1$. Если $-3/2 < a \le 0$, то $\min(4a, 28a) = 28a$. Условие $28a > 1$ даёт $a > 1/28$, что противоречит $a \le 0$. Если $0 < a < 3/2$, то $\min(4a, 28a) = 4a$. Условие $4a > 1$ даёт $a > 1/4$. Пересекая с $0 < a < 3/2$, получаем $a \in (1/4, 3/2)$.

Объединим решения из случаев 1 и 3: $a \in [3/2, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (1/4, 3/2)$. Итоговый интервал: $a \in (1/4, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$.

Ответ: $a \in (\frac{1}{4}, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1040 расположенного на странице 346 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1040 (с. 346), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.