Номер 1036, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1036, страница 346.

Условие.

1036. 1) $y=\sqrt{6x-7}-2x;$

2) $y=\sqrt{x^2-4x-5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $y = \sqrt{6x - 7 - 2x}$.

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Сначала упростим подкоренное выражение:

$6x - 7 - 2x = 4x - 7$

Теперь составим и решим неравенство:

$4x - 7 \ge 0$

Перенесем -7 в правую часть неравенства, изменив знак:

$4x \ge 7$

Разделим обе части на 4:

$x \ge \frac{7}{4}$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные $\frac{7}{4}$. В виде промежутка это записывается как $[\frac{7}{4}; +\infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{7}{4}; +\infty)$.

2) Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 4x - 5}$.

Область определения этой функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4x - 5 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 - 4x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-1$ и $x=5$. Неравенство $x^2 - 4x - 5 \ge 0$ выполняется на тех промежутках, где парабола находится не ниже оси абсцисс, то есть при $x \le -1$ и $x \ge 5$.

Следовательно, область определения функции — это объединение двух промежутков: $(-\infty; -1]$ и $[5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$.