Номер 1031, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1031, страница 346.

№1031 (с. 346)
Условие. №1031 (с. 346)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1031, Условие

1031. 1) $y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$

2) $y = \sqrt{4 - \frac{9}{x+1} + \frac{1}{x-3}}$

3) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 6x - 16}{x^2 - 12x + 11}}$

Решение 1. №1031 (с. 346)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1031, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1031, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1031, Решение 1 (продолжение 3)
Решение 2. №1031 (с. 346)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1031, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 346, номер 1031, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №1031 (с. 346)

1) Для функции $y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$ область определения задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Запишем соответствующую систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x-3}{x+3} \ge 0, \\ x+3 \ne 0. \end{cases} $$ Решим неравенство $\frac{x-3}{x+3} \ge 0$ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x-3 = 0 \implies x=3$ $x+3 = 0 \implies x=-3$

Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $x=3$ будет закрашенной (включенной), так как неравенство нестрогое. Точка $x=-3$ будет выколотой (исключенной), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения $\frac{x-3}{x+3}$ на полученных интервалах:

  • При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4-3}{4+3} = \frac{1}{7} > 0$. Знак "+".
  • При $-3 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{0-3}{0+3} = -1 < 0$. Знак "-".
  • При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4-3}{-4+3} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы со знаком "+". Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup [3, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup [3, \infty)$

2) Для функции $y = \sqrt{4 - \frac{9}{x+1} + \frac{1}{x-3}}$ область определения — это множество всех $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатели дробей не равны нулю.

Запишем и решим неравенство: $$4 - \frac{9}{x+1} + \frac{1}{x-3} \ge 0$$ Приведем выражение к общему знаменателю $(x+1)(x-3)$: $$\frac{4(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)} - \frac{9(x-3)}{(x+1)(x-3)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ $$\frac{4(x^2 - 2x - 3) - 9x + 27 + x + 1}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{4x^2 - 8x - 12 - 9x + 27 + x + 1}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ $$\frac{4x^2 - 16x + 16}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ Вынесем общий множитель в числителе: $$\frac{4(x^2 - 4x + 4)}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ Числитель является полным квадратом: $$\frac{4(x-2)^2}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $4(x-2)^2 = 0 \implies x=2$ (корень кратности 2) $x+1 = 0 \implies x=-1$ $x-3 = 0 \implies x=3$

Нанесем точки на числовую прямую. Точки $x=-1$ и $x=3$ выколоты, так как они обращают знаменатель в ноль. Точка $x=2$ закрашена, так как числитель может быть равен нулю. При переходе через точку $x=2$ знак выражения меняться не будет, так как скобка $(x-2)$ в четной степени.

Определим знаки на интервалах:

  • При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4(4-2)^2}{(4+1)(4-3)} > 0$. Знак "+".
  • При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{4(2.5-2)^2}{(2.5+1)(2.5-3)} < 0$. Знак "-".
  • При $-1 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{4(0-2)^2}{(0+1)(0-3)} < 0$. Знак "-".
  • При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{4(-2-2)^2}{(-2+1)(-2-3)} > 0$. Знак "+".

Нам подходят интервалы со знаком "+" и точка, где выражение равно нулю. Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -1) \cup \{2\} \cup (3, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -1) \cup \{2\} \cup (3, \infty)$

3) Для функции $y = \sqrt{\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}}$ область определения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения.

Решим неравенство: $$\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11} \ge 0$$ Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя $x^2-6x-16=0$ найдем корни. По теореме Виета, $x_1+x_2=6$, $x_1x_2=-16$. Корни: $x_1=8$, $x_2=-2$. Значит, $x^2-6x-16 = (x-8)(x+2)$.

Для знаменателя $x^2-12x+11=0$ найдем корни. По теореме Виета, $x_1+x_2=12$, $x_1x_2=11$. Корни: $x_1=11$, $x_2=1$. Значит, $x^2-12x+11 = (x-11)(x-1)$.

Неравенство принимает вид: $$\frac{(x-8)(x+2)}{(x-11)(x-1)} \ge 0$$ Решаем методом интервалов. Наносим на числовую прямую корни числителя ($x=-2, x=8$) и корни знаменателя ($x=1, x=11$). Точки $-2$ и $8$ закрашены, а точки $1$ и $11$ выколоты.

Определим знаки на интервалах, начиная с крайнего правого:

  • При $x > 11$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
  • При $8 < x < 11$: $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак "-".
  • При $1 < x < 8$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Знак "+".
  • При $-2 < x < 1$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$. Знак "-".
  • При $x < -2$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Знак "+".

Выбираем интервалы со знаком "+" и включаем закрашенные точки. Получаем: $x \in (-\infty, -2] \cup (1, 8] \cup (11, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -2] \cup (1, 8] \cup (11, \infty)$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1031 расположенного на странице 346 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1031 (с. 346), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.