Номер 1031, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1031, страница 346.

Условие.

1031. 1) $y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$

2) $y = \sqrt{4 - \frac{9}{x+1} + \frac{1}{x-3}}$

3) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 6x - 16}{x^2 - 12x + 11}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для функции $y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$ область определения задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Запишем соответствующую систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x-3}{x+3} \ge 0, \\ x+3 \ne 0. \end{cases} $$ Решим неравенство $\frac{x-3}{x+3} \ge 0$ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x-3 = 0 \implies x=3$ $x+3 = 0 \implies x=-3$

Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $x=3$ будет закрашенной (включенной), так как неравенство нестрогое. Точка $x=-3$ будет выколотой (исключенной), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения $\frac{x-3}{x+3}$ на полученных интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4-3}{4+3} = \frac{1}{7} > 0$. Знак "+".
• При $-3 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{0-3}{0+3} = -1 < 0$. Знак "-".
• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4-3}{-4+3} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы со знаком "+". Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup [3, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup [3, \infty)$

2) Для функции $y = \sqrt{4 - \frac{9}{x+1} + \frac{1}{x-3}}$ область определения — это множество всех $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатели дробей не равны нулю.

Запишем и решим неравенство: $$4 - \frac{9}{x+1} + \frac{1}{x-3} \ge 0$$ Приведем выражение к общему знаменателю $(x+1)(x-3)$: $$\frac{4(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)} - \frac{9(x-3)}{(x+1)(x-3)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ $$\frac{4(x^2 - 2x - 3) - 9x + 27 + x + 1}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{4x^2 - 8x - 12 - 9x + 27 + x + 1}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ $$\frac{4x^2 - 16x + 16}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ Вынесем общий множитель в числителе: $$\frac{4(x^2 - 4x + 4)}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ Числитель является полным квадратом: $$\frac{4(x-2)^2}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $4(x-2)^2 = 0 \implies x=2$ (корень кратности 2) $x+1 = 0 \implies x=-1$ $x-3 = 0 \implies x=3$

Нанесем точки на числовую прямую. Точки $x=-1$ и $x=3$ выколоты, так как они обращают знаменатель в ноль. Точка $x=2$ закрашена, так как числитель может быть равен нулю. При переходе через точку $x=2$ знак выражения меняться не будет, так как скобка $(x-2)$ в четной степени.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4(4-2)^2}{(4+1)(4-3)} > 0$. Знак "+".
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{4(2.5-2)^2}{(2.5+1)(2.5-3)} < 0$. Знак "-".
• При $-1 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{4(0-2)^2}{(0+1)(0-3)} < 0$. Знак "-".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{4(-2-2)^2}{(-2+1)(-2-3)} > 0$. Знак "+".

Нам подходят интервалы со знаком "+" и точка, где выражение равно нулю. Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -1) \cup \{2\} \cup (3, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -1) \cup \{2\} \cup (3, \infty)$

3) Для функции $y = \sqrt{\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}}$ область определения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения.

Решим неравенство: $$\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11} \ge 0$$ Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя $x^2-6x-16=0$ найдем корни. По теореме Виета, $x_1+x_2=6$, $x_1x_2=-16$. Корни: $x_1=8$, $x_2=-2$. Значит, $x^2-6x-16 = (x-8)(x+2)$.

Для знаменателя $x^2-12x+11=0$ найдем корни. По теореме Виета, $x_1+x_2=12$, $x_1x_2=11$. Корни: $x_1=11$, $x_2=1$. Значит, $x^2-12x+11 = (x-11)(x-1)$.

Неравенство принимает вид: $$\frac{(x-8)(x+2)}{(x-11)(x-1)} \ge 0$$ Решаем методом интервалов. Наносим на числовую прямую корни числителя ($x=-2, x=8$) и корни знаменателя ($x=1, x=11$). Точки $-2$ и $8$ закрашены, а точки $1$ и $11$ выколоты.

Определим знаки на интервалах, начиная с крайнего правого:

• При $x > 11$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
• При $8 < x < 11$: $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак "-".
• При $1 < x < 8$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Знак "+".
• При $-2 < x < 1$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$. Знак "-".
• При $x < -2$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Знак "+".

Выбираем интервалы со знаком "+" и включаем закрашенные точки. Получаем: $x \in (-\infty, -2] \cup (1, 8] \cup (11, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -2] \cup (1, 8] \cup (11, \infty)$