Номер 1025, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1025, страница 345.

Условие.

1025. Построить график функции $y = \sqrt{25 - x^2}$. Найти по графику промежутки монотонности функции. Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси $Oy$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построить график функции $y = \sqrt{25 - x^2}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$25 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 25$
$-5 \le x \le 5$
Следовательно, область определения функции $D(y) = [-5, 5]$.

2. Определим вид графика. Возведем обе части уравнения $y = \sqrt{25 - x^2}$ в квадрат. Так как по определению арифметического корня $y \ge 0$, это преобразование будет равносильным.
$y^2 = 25 - x^2$
$x^2 + y^2 = 25$
Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только ту часть окружности, которая лежит в верхней полуплоскости (над осью абсцисс). Таким образом, график функции — это верхняя полуокружность.
Ключевые точки графика:
- Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.
- Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $(0, 5)$. Это также является вершиной полуокружности.

Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 5, расположенная не ниже оси Ox.

Найти по графику промежутки монотонности функции

Монотонность функции определяется по поведению графика при движении по нему слева направо.

- На промежутке от $x = -5$ до $x = 0$ график "поднимается" вверх. Значения $y$ увеличиваются от 0 до 5. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

- На промежутке от $x = 0$ до $x = 5$ график "опускается" вниз. Значения $y$ уменьшаются от 5 до 0. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-5, 0]$ и убывает на промежутке $[0, 5]$.

Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси Oy

График функции является симметричным относительно оси Oy, если функция является четной. Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, а сама область определения симметрична относительно нуля.

Проверим эти условия для нашей функции $f(x) = \sqrt{25 - x^2}$.

1. Область определения $D(f) = [-5, 5]$ симметрична относительно нуля, так как для любого $x \in [-5, 5]$ значение $-x$ также принадлежит этому промежутку.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \sqrt{25 - (-x)^2} = \sqrt{25 - x^2}$.

Сравнив полученное выражение с исходной функцией, мы видим, что $f(-x) = f(x)$.
Так как оба условия четности выполняются, функция является четной. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси Oy.

Ответ: Функция является четной, поскольку ее область определения $D(f) = [-5, 5]$ симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy.