Номер 1023, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1023, страница 345.

Условие.

1023. Дана функция $f(x)$. Найти корни уравнения $f(x)=a$, а также наибольшее и наименьшее значения функции, если:

1) $f(x)=\frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\sin^6 x + \cos^6 x}$, $a=\frac{10}{7};$

2) $f(x)=\frac{2\sin^4 x + 3\cos^2 x}{2\cos^4 x + \sin^2 x}$, $a=\frac{15}{7}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\sin^6 x + \cos^6 x}$ и $a=\frac{10}{7}$.

Упрощение функции:

Воспользуемся известными тригонометрическими тождествами. Преобразуем числитель:

$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.

Преобразуем знаменатель:

$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 \cdot ((\sin^4 x + \cos^4 x) - \sin^2 x \cos^2 x) = (1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, откуда $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Тогда функция принимает вид:

$f(x) = \frac{1 - 2(\frac{1}{4}\sin^2(2x))}{1 - 3(\frac{1}{4}\sin^2(2x))} = \frac{1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)}{1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)}$.

Знаменатель $1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$ никогда не равен нулю, так как $\sin^2(2x) \le 1$, поэтому $1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x) \ge 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} > 0$.

Решение уравнения $f(x) = a$:

Решим уравнение $f(x) = \frac{10}{7}$:

$\frac{1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)}{1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)} = \frac{10}{7}$.

Пусть $y = \sin^2(2x)$. Тогда:

$\frac{1 - \frac{1}{2}y}{1 - \frac{3}{4}y} = \frac{10}{7}$

$7(1 - \frac{1}{2}y) = 10(1 - \frac{3}{4}y)$

$7 - \frac{7}{2}y = 10 - \frac{15}{2}y$

$(\frac{15}{2} - \frac{7}{2})y = 10 - 7$

$4y = 3 \implies y = \frac{3}{4}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\sin^2(2x) = \frac{3}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(4x)}{2} = \frac{3}{4}$

$1 - \cos(4x) = \frac{3}{2}$

$\cos(4x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Отсюда находим корни:

$4x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

Рассмотрим функцию $g(y) = \frac{1 - \frac{1}{2}y}{1 - \frac{3}{4}y}$, где $y = \sin^2(2x)$. Область значений $y$ - это отрезок $[0, 1]$.

Найдем производную $g'(y)$:

$g'(y) = \frac{-\frac{1}{2}(1 - \frac{3}{4}y) - (1 - \frac{1}{2}y)(-\frac{3}{4})}{(1 - \frac{3}{4}y)^2} = \frac{-\frac{1}{2} + \frac{3}{8}y + \frac{3}{4} - \frac{3}{8}y}{(1 - \frac{3}{4}y)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{(1 - \frac{3}{4}y)^2}$.

Так как $g'(y) > 0$ при всех $y$ из области определения, функция $g(y)$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах отрезка $[0, 1]$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ соответствует $y = 0$ (когда $\sin^2(2x)=0$):

$f_{min} = g(0) = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$.

Наибольшее значение функции $f(x)$ соответствует $y = 1$ (когда $\sin^2(2x)=1$):

$f_{max} = g(1) = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2$.

Ответ: корни уравнения $f(x) = \frac{10}{7}$ равны $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение функции равно 1.

---

2) Дана функция $f(x) = \frac{2\sin^4 x + 3\cos^2 x}{2\cos^4 x + \sin^2 x}$ и $a=\frac{15}{7}$.

Упрощение функции:

Сделаем замену $c = \cos^2 x$. Тогда $\sin^2 x = 1 - c$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$, то $c \in [0, 1]$.

Преобразуем числитель:

$2\sin^4 x + 3\cos^2 x = 2(\sin^2 x)^2 + 3\cos^2 x = 2(1-c)^2 + 3c = 2(1-2c+c^2) + 3c = 2c^2 - c + 2$.

Преобразуем знаменатель:

$2\cos^4 x + \sin^2 x = 2(\cos^2 x)^2 + \sin^2 x = 2c^2 + (1-c) = 2c^2 - c + 1$.

Функция принимает вид:

$f(x) = g(c) = \frac{2c^2 - c + 2}{2c^2 - c + 1}$.

Выделим целую часть: $g(c) = \frac{(2c^2 - c + 1) + 1}{2c^2 - c + 1} = 1 + \frac{1}{2c^2 - c + 1}$.

Знаменатель $2c^2 - c + 1$ всегда положителен, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = -7 < 0$.

Решение уравнения $f(x) = a$:

Решим уравнение $f(x) = \frac{15}{7}$:

$1 + \frac{1}{2c^2 - c + 1} = \frac{15}{7}$

$\frac{1}{2c^2 - c + 1} = \frac{15}{7} - 1 = \frac{8}{7}$

$7 = 8(2c^2 - c + 1)$

$7 = 16c^2 - 8c + 8$

$16c^2 - 8c + 1 = 0$

$(4c - 1)^2 = 0 \implies c = \frac{1}{4}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\cos^2 x = \frac{1}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 + \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$.

Отсюда находим корни:

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

Мы ищем диапазон значений функции $g(c) = 1 + \frac{1}{2c^2 - c + 1}$ при $c \in [0, 1]$. Для этого найдем диапазон значений знаменателя $h(c) = 2c^2 - c + 1$ на отрезке $[0, 1]$.

График $h(c)$ — парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $c_v = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0, 1]$.

Минимальное значение $h(c)$ на отрезке достигается в вершине:

$h_{min} = h(\frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 1 = \frac{2}{16} - \frac{4}{16} + \frac{16}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$.

Максимальное значение $h(c)$ достигается на одном из концов отрезка $[0, 1]$:

$h(0) = 1$

$h(1) = 2(1)^2 - 1 + 1 = 2$.

Значит, $h_{max} = 2$.

Диапазон значений $h(c)$ на $[0, 1]$ есть $[\frac{7}{8}, 2]$.

Функция $y \mapsto 1 + \frac{1}{y}$ является убывающей для $y > 0$. Поэтому для нахождения наименьшего значения $g(c)$ нужно использовать наибольшее значение $h(c)$, и наоборот.

Наименьшее значение функции $f(x)$:

$f_{min} = 1 + \frac{1}{h_{max}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. (достигается при $c = \cos^2 x = 1$, т.е. $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$)

Наибольшее значение функции $f(x)$:

$f_{max} = 1 + \frac{1}{h_{min}} = 1 + \frac{1}{7/8} = 1 + \frac{8}{7} = \frac{15}{7}$. (достигается при $c = \cos^2 x = \frac{1}{4}$, т.е. $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$)

Ответ: корни уравнения $f(x) = \frac{15}{7}$ равны $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение функции равно $\frac{15}{7}$, наименьшее значение функции равно $\frac{3}{2}$.