Номер 1021, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1021, страница 345.

Условие.

1021. Найти наибольшее или наименьшее значение функции $y = ax^2 + bx - 4$, если $y(1) = 0$ и $y(4) = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дана квадратичная функция $y = ax^2 + bx - 4$. По условию, $y(1) = 0$ и $y(4) = 0$. Подставим эти значения в уравнение функции, чтобы составить систему уравнений для нахождения коэффициентов $a$ и $b$.

При $x = 1, y = 0$ получаем уравнение: $a(1)^2 + b(1) - 4 = 0$, то есть $a + b = 4$.

При $x = 4, y = 0$ получаем уравнение: $a(4)^2 + b(4) - 4 = 0$, то есть $16a + 4b = 4$. Разделив обе части этого уравнения на 4, получим $4a + b = 1$.

Теперь решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 4 \\ 4a + b = 1 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго: $(4a + b) - (a + b) = 1 - 4$, что дает $3a = -3$, и отсюда $a = -1$.

Подставим найденное значение $a = -1$ в первое уравнение: $-1 + b = 4$, откуда $b = 5$.

Таким образом, искомая функция имеет вид: $y = -x^2 + 5x - 4$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как старший коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине и не имеет наименьшего значения.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Подставим наши значения $a=-1$ и $b=5$:

$x_0 = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = \frac{5}{2} = 2.5$

Наибольшее значение функции (ордината вершины) равно значению функции в точке $x_0 = 2.5$:

$y_{наиб} = y(2.5) = -(2.5)^2 + 5(2.5) - 4 = -6.25 + 12.5 - 4 = 2.25$

Ответ: Наибольшее значение функции равно $2.25$.