Номер 1028, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1028, страница 345.

Условие.

1028. Построить график функции:

1) $y=2^{x-1}-3;$

2) $y=\log_{2}(x+2)+3;$

3) $y=2 \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right);$

4) $y=\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2}+1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Построить график функции $y = 2^{x-1} - 3$

Для построения графика этой функции мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y=2^x$.

1. Строим график базовой функции $y = 2^x$. Это показательная функция, которая возрастает на всей области определения. График проходит через точки $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$. Горизонтальная асимптота графика — ось $Ox$, то есть прямая $y=0$.
2. Выполняем сдвиг графика $y=2^x$ на 1 единицу вправо по оси $Ox$. Получаем график функции $y = 2^{x-1}$. Все точки графика смещаются вправо на 1. Например, точка $(0, 1)$ переходит в точку $(1, 1)$. Асимптота $y=0$ остается на месте.
3. Выполняем сдвиг графика $y=2^{x-1}$ на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Получаем искомый график функции $y = 2^{x-1} - 3$. Все точки графика смещаются вниз на 3. Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, -2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается на 3 единицы вниз и становится прямой $y=-3$.

Для большей точности построения найдем некоторые контрольные точки:

• Пересечение с осью $Oy$ (y-перехват): при $x=0$, $y = 2^{0-1} - 3 = 2^{-1} - 3 = 0.5 - 3 = -2.5$. Точка $(0, -2.5)$.
• Пересечение с осью $Ox$ (x-перехват): при $y=0$, $0 = 2^{x-1} - 3 \implies 2^{x-1} = 3 \implies x-1 = \log_2{3} \implies x = 1 + \log_2{3}$. Так как $\log_2{3} \approx 1.58$, то $x \approx 2.58$. Точка $(1 + \log_2{3}, 0)$.
• Другие точки: при $x=1$, $y = 2^{1-1} - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(1, -2)$. При $x=2$, $y = 2^{2-1} - 3 = 2 - 3 = -1$. Точка $(2, -1)$.

Ответ: График функции $y = 2^{x-1} - 3$ получается из графика функции $y = 2^x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вниз вдоль оси ординат. Горизонтальная асимптота графика - прямая $y=-3$.

---

2) Построить график функции $y = \log_2(x+2) + 3$

График данной функции строится путем преобразований базовой логарифмической функции $y = \log_2(x)$.

1. Строим график базовой функции $y = \log_2(x)$. Это логарифмическая функция, определенная для $x>0$. График проходит через точки $(1/2, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$. Вертикальная асимптота — ось $Oy$, то есть прямая $x=0$.
2. Выполняем сдвиг графика $y=\log_2(x)$ на 2 единицы влево по оси $Ox$. Получаем график функции $y = \log_2(x+2)$. Все точки графика смещаются влево на 2. Например, точка $(1, 0)$ переходит в точку $(-1, 0)$. Область определения становится $x+2>0$, то есть $x>-2$. Вертикальная асимптота $x=0$ смещается влево и становится прямой $x=-2$.
3. Выполняем сдвиг графика $y=\log_2(x+2)$ на 3 единицы вверх по оси $Oy$. Получаем искомый график функции $y = \log_2(x+2) + 3$. Все точки графика смещаются вверх на 3. Точка $(-1, 0)$ переходит в точку $(-1, 3)$. Вертикальная асимптота $x=-2$ не изменяется.

Найдем контрольные точки:

• Область определения: $x > -2$.
• Вертикальная асимптота: $x = -2$.
• Пересечение с осью $Oy$: при $x=0$, $y = \log_2(0+2) + 3 = \log_2(2) + 3 = 1 + 3 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• Пересечение с осью $Ox$: при $y=0$, $0 = \log_2(x+2) + 3 \implies \log_2(x+2) = -3 \implies x+2 = 2^{-3} = 1/8 \implies x = 1/8 - 2 = -15/8 = -1.875$. Точка $(-15/8, 0)$.
• Другие точки: при $x=-1$, $y = \log_2(-1+2) + 3 = \log_2(1) + 3 = 0+3=3$. Точка $(-1, 3)$. При $x=2$, $y = \log_2(2+2) + 3 = \log_2(4) + 3 = 2+3=5$. Точка $(2, 5)$.

Ответ: График функции $y = \log_2(x+2) + 3$ получается из графика функции $y = \log_2(x)$ путем сдвига на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Вертикальная асимптота графика - прямая $x=-2$.

---

3) Построить график функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Построение графика будем выполнять, преобразуя график базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Строим график базовой функции $y = \sin(x)$ (синусоиду). Период $T = 2\pi$, амплитуда $A=1$. Ключевые точки на одном периоде: $(0, 0)$, $(\pi/2, 1)$, $(\pi, 0)$, $(3\pi/2, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Выполняем сдвиг графика $y=\sin(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо по оси $Ox$. Это называется фазовым сдвигом. Получаем график функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$. Нулевая точка $(0,0)$ смещается в $(\pi/3, 0)$. Максимум $(\pi/2, 1)$ смещается в $(\pi/2 + \pi/3, 1) = (5\pi/6, 1)$.
3. Выполняем растяжение графика $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ от оси $Ox$ в 2 раза. Получаем искомый график $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$. Амплитуда функции увеличивается до 2. Все значения $y$ умножаются на 2. Точка $(\pi/3, 0)$ остается на месте, а точка максимума $(5\pi/6, 1)$ переходит в $(5\pi/6, 2)$. Область значений становится $[-2, 2]$.

Характеристики полученной функции:

• Амплитуда: $A=2$.
• Период: $T=2\pi$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{3}$ вправо.
• Область значений: $y \in [-2, 2]$.
• Ключевые точки одного периода: Начало в $(\frac{\pi}{3}, 0)$, максимум в $(\frac{5\pi}{6}, 2)$, пересечение оси в $(\frac{4\pi}{3}, 0)$, минимум в $(\frac{11\pi}{6}, -2)$, конец периода в $(\frac{7\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \sin(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{3}$ вправо и последующим растяжением вдоль оси ординат в 2 раза. Амплитуда равна 2, период $2\pi$.

---

4) Построить график функции $y = \frac{\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2} + 1$

Перепишем функцию в виде $y = 0.5 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) + 1$. Построение будем выполнять, преобразуя график базовой функции $y = \cos(x)$.

1. Строим график базовой функции $y = \cos(x)$ (косинусоиду). Период $T = 2\pi$, амплитуда $A=1$. Ключевые точки на одном периоде: $(0, 1)$, $(\pi/2, 0)$, $(\pi, -1)$, $(3\pi/2, 0)$, $(2\pi, 1)$.
2. Выполняем сдвиг графика $y=\cos(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ влево по оси $Ox$. Получаем график $y = \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$. Точка максимума $(0,1)$ смещается в $(-\pi/4, 1)$.
3. Выполняем сжатие графика $y = \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ к оси $Ox$ в 2 раза (умножаем на 0.5). Получаем график $y = 0.5 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$. Амплитуда становится $0.5$. Точка максимума $(-\pi/4, 1)$ переходит в $(-\pi/4, 0.5)$. Область значений становится $[-0.5, 0.5]$.
4. Выполняем сдвиг графика $y = 0.5 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Получаем искомый график $y = 0.5 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) + 1$. Все точки графика смещаются вверх на 1. Точка максимума $(-\pi/4, 0.5)$ переходит в $(-\pi/4, 1.5)$. Область значений становится $[0.5, 1.5]$. Средняя линия графика — прямая $y=1$.

Характеристики полученной функции:

• Амплитуда: $A=0.5$.
• Период: $T=2\pi$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{4}$ влево.
• Вертикальный сдвиг: на 1 вверх.
• Область значений: $y \in [0.5, 1.5]$.
• Ключевые точки одного периода: Максимум в $(-\frac{\pi}{4}, 1.5)$, пересечение со средней линией $y=1$ в $(\frac{\pi}{4}, 1)$, минимум в $(\frac{3\pi}{4}, 0.5)$, пересечение со средней линией $y=1$ в $(\frac{5\pi}{4}, 1)$, следующий максимум в $(\frac{7\pi}{4}, 1.5)$.

Ответ: График функции $y = \frac{\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2} + 1$ получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{4}$ влево, сжатием вдоль оси ординат в 2 раза и сдвигом на 1 вверх. Амплитуда равна 0.5, период $2\pi$, область значений $[0.5, 1.5]$.