Номер 1022, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1022, страница 345.

Условие.

1022. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \sin 2x - \sqrt{3} \cos 2x;$

2) $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $y = \sin(2x) - \sqrt{3}\cos(2x)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции вида $y = a\sin(\theta) + b\cos(\theta)$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Этот метод заключается в преобразовании выражения к виду $R\sin(\theta + \alpha)$ или $R\cos(\theta - \beta)$.

Сначала вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. В нашем случае $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ и $\theta=2x$.

$R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

Теперь вынесем $R=2$ за скобки в исходном выражении:

$y = 2\left(\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)\right)$

Заметим, что коэффициенты в скобках можно представить как значения синуса и косинуса некоторого угла. Например, $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставив их, получаем:

$y = 2\left(\sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$

Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. Применив ее для $\alpha = 2x$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$, получим:

$y = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$

Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$, то для функции $y$ имеем:

$-1 \cdot 2 \le 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1 \cdot 2$

$-2 \le y \le 2$

Таким образом, наибольшее значение функции равно 2, а наименьшее равно -2.

Ответ: наименьшее значение: -2; наибольшее значение: 2.

2) Дана функция $y = 2\cos(2x) + \sin^2(x)$.

Чтобы найти её наибольшее и наименьшее значения, преобразуем выражение так, чтобы оно содержало только одну тригонометрическую функцию с одним и тем же аргументом. Для этого используем формулу понижения степени для квадрата синуса: $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 2\cos(2x) + \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Теперь упростим выражение, приведя подобные члены:

$y = 2\cos(2x) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x) = \left(2 - \frac{1}{2}\right)\cos(2x) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{3}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}$

Функция $y$ теперь является линейной функцией от $\cos(2x)$. Область значений функции $\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Наименьшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $\cos(2x)$, то есть при $\cos(2x) = -1$:

$y_{min} = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{2} = -1$

Наибольшее значение $y$ достигается при наибольшем значении $\cos(2x)$, то есть при $\cos(2x) = 1$:

$y_{max} = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок $[-1, 2]$.

Ответ: наименьшее значение: -1; наибольшее значение: 2.