Номер 1022, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1022, страница 345.
№1022 (с. 345)
Условие. №1022 (с. 345)
скриншот условия

1022. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) $y = \sin 2x - \sqrt{3} \cos 2x;$
2) $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x.$
Решение 1. №1022 (с. 345)


Решение 2. №1022 (с. 345)

Решение 3. №1022 (с. 345)
1) Дана функция $y = \sin(2x) - \sqrt{3}\cos(2x)$.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции вида $y = a\sin(\theta) + b\cos(\theta)$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Этот метод заключается в преобразовании выражения к виду $R\sin(\theta + \alpha)$ или $R\cos(\theta - \beta)$.
Сначала вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. В нашем случае $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ и $\theta=2x$.
$R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$
Теперь вынесем $R=2$ за скобки в исходном выражении:
$y = 2\left(\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)\right)$
Заметим, что коэффициенты в скобках можно представить как значения синуса и косинуса некоторого угла. Например, $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставив их, получаем:
$y = 2\left(\sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$
Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. Применив ее для $\alpha = 2x$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$, получим:
$y = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$
Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$, то для функции $y$ имеем:
$-1 \cdot 2 \le 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1 \cdot 2$
$-2 \le y \le 2$
Таким образом, наибольшее значение функции равно 2, а наименьшее равно -2.
Ответ: наименьшее значение: -2; наибольшее значение: 2.
2) Дана функция $y = 2\cos(2x) + \sin^2(x)$.
Чтобы найти её наибольшее и наименьшее значения, преобразуем выражение так, чтобы оно содержало только одну тригонометрическую функцию с одним и тем же аргументом. Для этого используем формулу понижения степени для квадрата синуса: $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
Подставим это выражение в исходную функцию:
$y = 2\cos(2x) + \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
Теперь упростим выражение, приведя подобные члены:
$y = 2\cos(2x) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x) = \left(2 - \frac{1}{2}\right)\cos(2x) + \frac{1}{2}$
$y = \frac{3}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}$
Функция $y$ теперь является линейной функцией от $\cos(2x)$. Область значений функции $\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.
Наименьшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $\cos(2x)$, то есть при $\cos(2x) = -1$:
$y_{min} = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{2} = -1$
Наибольшее значение $y$ достигается при наибольшем значении $\cos(2x)$, то есть при $\cos(2x) = 1$:
$y_{max} = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок $[-1, 2]$.
Ответ: наименьшее значение: -1; наибольшее значение: 2.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1022 расположенного на странице 345 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1022 (с. 345), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.