Номер 1020, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1020, страница 345.

Условие.

1020. Исследовать на чётность и нечётность и построить график функции:

1) $y = -x^4 + 4x^2 - 5$;

2) $y = x^3 - 4x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = -x^4 + 4x^2 - 5$

Исследование на чётность и нечётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = -(-x)^4 + 4(-x)^2 - 5 = -x^4 + 4x^2 - 5$.
3. Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$: $y(-x) = y(x)$.
Следовательно, функция является чётной. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Построение графика:
Для построения графика проведем полное исследование функции.
1. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = -0^4 + 4 \cdot 0^2 - 5 = -5$. Точка пересечения $(0, -5)$.
- С осью OX: при $y=0$ имеем $-x^4 + 4x^2 - 5 = 0$.
Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$): $-t^2 + 4t - 5 = 0$, или $t^2 - 4t + 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, график не пересекает ось OX. Поскольку $y(0)=-5$, график функции полностью расположен ниже оси OX.

2. Промежутки возрастания/убывания и точки экстремума:
Найдем первую производную: $y' = (-x^4 + 4x^2 - 5)' = -4x^3 + 8x$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-4x^3 + 8x = 0 \implies -4x(x^2 - 2) = 0 \implies -4x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{2}$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty; -\sqrt{2})$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-\sqrt{2}; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; \sqrt{2})$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (\sqrt{2}; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
Точка $x = -\sqrt{2}$ — точка максимума. $y_{max} = y(-\sqrt{2}) = -(-\sqrt{2})^4 + 4(-\sqrt{2})^2 - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Точка $x = 0$ — точка минимума. $y_{min} = y(0) = -5$.
Точка $x = \sqrt{2}$ — точка максимума. $y_{max} = y(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^2 - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Точки экстремумов: $(-\sqrt{2}, -1)$ — максимум, $(0, -5)$ — минимум, $(\sqrt{2}, -1)$ — максимум.

3. Выпуклость и точки перегиба:
Найдем вторую производную: $y'' = (-4x^3 + 8x)' = -12x^2 + 8$.
Найдем точки, где $y'' = 0$:
$-12x^2 + 8 = 0 \implies 12x^2 = 8 \implies x^2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Определим знаки второй производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{6}}{3})$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- При $x \in (-\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3})$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- При $x \in (\frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
Точки $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$ являются точками перегиба.
$y(\pm\frac{\sqrt{6}}{3}) = -(\pm\sqrt{\frac{2}{3}})^4 + 4(\pm\sqrt{\frac{2}{3}})^2 - 5 = -(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) - 5 = -\frac{4}{9} + \frac{8}{3} - 5 = \frac{-4+24-45}{9} = -\frac{25}{9} \approx -2.78$.
Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{25}{9})$ и $(\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{25}{9})$.

На основе этих данных можно построить эскиз графика. График симметричен относительно оси OY, имеет вид перевернутой буквы W, с двумя максимумами и одним минимумом.

Ответ: функция чётная. График функции — кривая, симметричная относительно оси OY, с точками максимума $(-\sqrt{2}, -1)$ и $(\sqrt{2}, -1)$ и точкой минимума $(0, -5)$.

2) $y = x^3 - 4x$

Исследование на чётность и нечётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x)$.
3. Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$: $y(-x) = -y(x)$.
Следовательно, функция является нечётной. График функции симметричен относительно начала координат (точки (0,0)).

Построение графика:
1. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = 0^3 - 4(0) = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
- С осью OX: при $y=0$ имеем $x^3 - 4x = 0$.
$x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x-2)(x+2) = 0$.
Точки пересечения с осью OX: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$. Координаты точек: $(-2, 0)$, $(0, 0)$, $(2, 0)$.

2. Промежутки возрастания/убывания и точки экстремума:
Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$3x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Критические точки: $x_1 = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $x_2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty; -\frac{2\sqrt{3}}{3})$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-\frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{3})$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (\frac{2\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ — точка максимума. $y_{max} = y(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = (-\frac{2\sqrt{3}}{3})^3 - 4(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -\frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{27} + \frac{8\sqrt{3}}{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{9} + \frac{24\sqrt{3}}{9} = \frac{16\sqrt{3}}{9}$.
Точка $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ — точка минимума. Из-за нечетности функции $y_{min} = -y_{max} = -\frac{16\sqrt{3}}{9}$.
Точки экстремумов: $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{16\sqrt{3}}{9})$ — максимум, $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{16\sqrt{3}}{9})$ — минимум. (Приблизительные значения: $(\mp1.15, \pm3.08)$).

3. Выпуклость и точки перегиба:
Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 4)' = 6x$.
Найдем точки, где $y'' = 0$: $6x = 0 \implies x = 0$.
Определим знаки второй производной:
- При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- При $x > 0$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точка $x = 0$ является точкой перегиба. Координаты точки перегиба $(0, 0)$.

На основе этих данных строим эскиз графика. Это кубическая парабола, проходящая через начало координат, симметричная относительно него.

Ответ: функция нечётная. График функции — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат, пересекающая ось OX в точках $(-2, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$, с точкой максимума $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{16\sqrt{3}}{9})$ и точкой минимума $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{16\sqrt{3}}{9})$.