Номер 1024, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1024, страница 345.

Условие.

1024. Найти коэффициенты $a$, $b$, $c$ квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если $y(-2) = 15$, $y(3) = 0$, $y(0) = -3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, необходимо составить и решить систему уравнений, используя заданные условия: $y(-2) = 15$, $y(3) = 0$ и $y(0) = -3$. Каждое условие соответствует точке, принадлежащей графику функции.

1. Подставим в уравнение функции значения из условия $y(0) = -3$:
При $x=0$, $y=-3$:
$-3 = a \cdot (0)^2 + b \cdot (0) + c$
$-3 = 0 + 0 + c$
Таким образом, мы сразу находим значение коэффициента $c$:
$c = -3$

2. Теперь уравнение функции имеет вид $y = ax^2 + bx - 3$. Подставим в него значения из условия $y(3) = 0$:
При $x=3$, $y=0$:
$0 = a \cdot (3)^2 + b \cdot (3) - 3$
$0 = 9a + 3b - 3$
Перенесем свободный член в левую часть и упростим уравнение, разделив обе части на 3:
$9a + 3b = 3$
$3a + b = 1$ (Уравнение 1)

3. Подставим в уравнение $y = ax^2 + bx - 3$ значения из условия $y(-2) = 15$:
При $x=-2$, $y=15$:
$15 = a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) - 3$
$15 = 4a - 2b - 3$
Перенесем свободный член в левую часть и упростим уравнение, разделив обе части на 2:
$15 + 3 = 4a - 2b$
$18 = 4a - 2b$
$9 = 2a - b$ (Уравнение 2)

4. Теперь решим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$\begin{cases} 3a + b = 1 \\ 2a - b = 9 \end{cases}$
Сложим Уравнение 1 и Уравнение 2, чтобы найти $a$:
$(3a + b) + (2a - b) = 1 + 9$
$5a = 10$
$a = \frac{10}{5} = 2$

5. Подставим найденное значение $a=2$ в Уравнение 1, чтобы найти $b$:
$3(2) + b = 1$
$6 + b = 1$
$b = 1 - 6 = -5$

Мы нашли все коэффициенты: $a=2$, $b=-5$ и $c=-3$.

Ответ: $a=2, b=-5, c=-3$.