Номер 1029, страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1029, страница 345.

Условие.

1029. При каких значениях $a$ графики функций $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + a$ имеют общие точки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти значения параметра a, при которых графики заданных функций имеют общие точки, необходимо найти условия, при которых система уравнений имеет решение. Общие точки — это точки с одинаковыми координатами (x, y). Следовательно, мы можем приравнять правые части данных уравнений.

Даны функции: $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + a$.

Приравниваем их: $x^2 - 4x + 2 = -2x + a$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно x в стандартном виде $Ax^2 + Bx + C = 0$: $x^2 - 4x + 2x + 2 - a = 0$ $x^2 - 2x + (2 - a) = 0$

Графики функций будут иметь общие точки (одну или две), если полученное квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$).

Вычислим дискриминант для этого уравнения. Здесь коэффициенты: $A=1$, $B=-2$, $C=(2-a)$. Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2-a)$ $D = 4 - 4(2-a)$ $D = 4 - 8 + 4a$ $D = 4a - 4$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$, чтобы найти значения a, при которых существуют решения: $4a - 4 \ge 0$ $4a \ge 4$ $a \ge 1$

Следовательно, графики функций имеют общие точки при всех значениях a, больших или равных 1.

Ответ: $a \ge 1$.