Номер 1034, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1034, страница 346.

Условие.

Найти множество значений функции (1034—1037).

1034.

1) $y = x^2 + 6x + 3;$

2) $y = -2x^2 + 8x - 1;$

3) $y = e^x + 1;$

4) $y = 2 + \frac{2}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Функция $y = x^2 + 6x + 3$ является квадратичной функцией, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Множество значений такой функции ограничено снизу её минимальным значением, которое достигается в вершине параболы.

Для нахождения вершины параболы и минимального значения функции выделим полный квадрат:

$y = x^2 + 6x + 3 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 3 = (x+3)^2 - 9 + 3 = (x+3)^2 - 6$.

Поскольку выражение $(x+3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+3)^2 \geq 0$, минимальное значение этого выражения равно $0$ и достигается при $x = -3$.

Следовательно, минимальное значение функции $y$ равно $0 - 6 = -6$.

Таким образом, множество значений функции — это все числа, большие или равные $-6$.

Ответ: $E(y) = [-6; +\infty)$.

2) Функция $y = -2x^2 + 8x - 1$ — это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Множество значений такой функции ограничено сверху её максимальным значением, которое достигается в вершине параболы.

Найдем вершину параболы, выделив полный квадрат:

$y = -2x^2 + 8x - 1 = -2(x^2 - 4x) - 1 = -2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2) - 1 = -2((x-2)^2 - 4) - 1 = -2(x-2)^2 + 8 - 1 = -2(x-2)^2 + 7$.

Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно, $(x-2)^2 \geq 0$. Тогда выражение $-2(x-2)^2$ всегда неположительно, то есть $-2(x-2)^2 \leq 0$. Его максимальное значение равно $0$ и достигается при $x = 2$.

Следовательно, максимальное значение функции $y$ равно $0 + 7 = 7$.

Таким образом, множество значений функции — это все числа, меньшие или равные $7$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 7]$.

3) Функция $y = e^x + 1$ является преобразованием показательной функции $f(x)=e^x$.

Множество значений основной показательной функции $f(x)=e^x$ — это все положительные числа, то есть $E(f) = (0; +\infty)$, так как $e^x > 0$ для любого действительного $x$.

Данная функция $y = e^x + 1$ получается из функции $f(x)=e^x$ путем сдвига её графика на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Это означает, что к каждому значению функции $e^x$ прибавляется 1.

Следовательно, множество значений для $y = e^x + 1$ будет $(0+1; +\infty+1)$, то есть $(1; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.

4) Функция $y = 2 + \frac{2}{x}$ является рациональной функцией. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Чтобы найти множество значений, выразим переменную $x$ через $y$:

$y = 2 + \frac{2}{x}$

$y - 2 = \frac{2}{x}$

Поскольку $x \neq 0$, то и $\frac{2}{x} \neq 0$, следовательно, $y - 2 \neq 0$, что означает $y \neq 2$.

Продолжим преобразование, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{2}{y-2}$

Это выражение имеет смысл для всех значений $y$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $y-2 \neq 0$, или $y \neq 2$.

Таким образом, функция может принимать любые действительные значения, кроме $2$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.