Номер 1034, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 1034, страница 346.
№1034 (с. 346)
Условие. №1034 (с. 346)
скриншот условия

Найти множество значений функции (1034—1037).
1034.
1) $y = x^2 + 6x + 3;$
2) $y = -2x^2 + 8x - 1;$
3) $y = e^x + 1;$
4) $y = 2 + \frac{2}{x}.$
Решение 1. №1034 (с. 346)




Решение 2. №1034 (с. 346)

Решение 3. №1034 (с. 346)
1) Функция $y = x^2 + 6x + 3$ является квадратичной функцией, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Множество значений такой функции ограничено снизу её минимальным значением, которое достигается в вершине параболы.
Для нахождения вершины параболы и минимального значения функции выделим полный квадрат:
$y = x^2 + 6x + 3 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 3 = (x+3)^2 - 9 + 3 = (x+3)^2 - 6$.
Поскольку выражение $(x+3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+3)^2 \geq 0$, минимальное значение этого выражения равно $0$ и достигается при $x = -3$.
Следовательно, минимальное значение функции $y$ равно $0 - 6 = -6$.
Таким образом, множество значений функции — это все числа, большие или равные $-6$.
Ответ: $E(y) = [-6; +\infty)$.
2) Функция $y = -2x^2 + 8x - 1$ — это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Множество значений такой функции ограничено сверху её максимальным значением, которое достигается в вершине параболы.
Найдем вершину параболы, выделив полный квадрат:
$y = -2x^2 + 8x - 1 = -2(x^2 - 4x) - 1 = -2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2) - 1 = -2((x-2)^2 - 4) - 1 = -2(x-2)^2 + 8 - 1 = -2(x-2)^2 + 7$.
Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно, $(x-2)^2 \geq 0$. Тогда выражение $-2(x-2)^2$ всегда неположительно, то есть $-2(x-2)^2 \leq 0$. Его максимальное значение равно $0$ и достигается при $x = 2$.
Следовательно, максимальное значение функции $y$ равно $0 + 7 = 7$.
Таким образом, множество значений функции — это все числа, меньшие или равные $7$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 7]$.
3) Функция $y = e^x + 1$ является преобразованием показательной функции $f(x)=e^x$.
Множество значений основной показательной функции $f(x)=e^x$ — это все положительные числа, то есть $E(f) = (0; +\infty)$, так как $e^x > 0$ для любого действительного $x$.
Данная функция $y = e^x + 1$ получается из функции $f(x)=e^x$ путем сдвига её графика на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Это означает, что к каждому значению функции $e^x$ прибавляется 1.
Следовательно, множество значений для $y = e^x + 1$ будет $(0+1; +\infty+1)$, то есть $(1; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.
4) Функция $y = 2 + \frac{2}{x}$ является рациональной функцией. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Чтобы найти множество значений, выразим переменную $x$ через $y$:
$y = 2 + \frac{2}{x}$
$y - 2 = \frac{2}{x}$
Поскольку $x \neq 0$, то и $\frac{2}{x} \neq 0$, следовательно, $y - 2 \neq 0$, что означает $y \neq 2$.
Продолжим преобразование, чтобы выразить $x$:
$x = \frac{2}{y-2}$
Это выражение имеет смысл для всех значений $y$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $y-2 \neq 0$, или $y \neq 2$.
Таким образом, функция может принимать любые действительные значения, кроме $2$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1034 расположенного на странице 346 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1034 (с. 346), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.