Номер 1035, страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 1035, страница 346.

Условие.

1035. 1) $y = 0.5 + \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right);$

2) $y = 0.5 \cos x + \sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения множества значений функции $y = 0,5 + \sin(x - \frac{\pi}{4})$, воспользуемся свойствами функции синус.

Известно, что множество значений функции $f(t) = \sin t$ является отрезком $[-1, 1]$. То есть, для любого значения аргумента $t$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin t \le 1$

В нашем случае аргументом синуса является выражение $(x - \frac{\pi}{4})$. Следовательно, мы можем записать:

$-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$

Функция $y$ получается из $\sin(x - \frac{\pi}{4})$ путем прибавления константы 0,5. Это соответствует сдвигу графика вверх на 0,5 единиц. Чтобы найти новое множество значений, прибавим 0,5 ко всем частям неравенства:

$-1 + 0,5 \le 0,5 + \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1 + 0,5$

Выполнив вычисления, получаем:

$-0,5 \le y \le 1,5$

Таким образом, множество значений данной функции — это отрезок $[-0,5; 1,5]$.

Ответ: $E(y) = [-0,5; 1,5]$.

2) Для нахождения множества значений функции $y = 0,5\cos x + \sin x$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\cos x + b\sin x$ можно преобразовать к виду $R\sin(x+\phi)$ или $R\cos(x-\phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае коэффициенты $a = 0,5$ и $b = 1$.

Найдем амплитуду $R$:

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(0,5)^2 + 1^2} = \sqrt{0,25 + 1} = \sqrt{1,25}$

Упростим значение $R$:

$R = \sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{125}{100}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Теперь преобразуем исходное выражение, вынеся $R$ за скобки:

$y = \frac{\sqrt{5}}{2} \left( \frac{0,5}{\frac{\sqrt{5}}{2}}\cos x + \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}\sin x \right) = \frac{\sqrt{5}}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{5}}\cos x + \frac{2}{\sqrt{5}}\sin x \right)$

Пусть существует такой угол $\phi$, что $\cos \phi = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Проверим, что это возможно, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\phi + \cos^2\phi = (\frac{1}{\sqrt{5}})^2 + (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$. Такой угол существует.

Подставим эти значения в выражение для $y$ и воспользуемся формулой синуса суммы $\sin(x+\phi) = \sin x \cos \phi + \cos x \sin \phi$:

$y = \frac{\sqrt{5}}{2} (\sin\phi \cos x + \cos\phi \sin x) = \frac{\sqrt{5}}{2} \sin(x + \phi)$

Мы преобразовали функцию к виду $y = R\sin(x+\phi)$. Множество значений функции $\sin(x + \phi)$ — это отрезок $[-1, 1]$, так как сдвиг по фазе не влияет на диапазон значений.

$-1 \le \sin(x + \phi) \le 1$

Чтобы найти множество значений $y$, умножим все части этого неравенства на амплитуду $R = \frac{\sqrt{5}}{2}$:

$-\frac{\sqrt{5}}{2} \le \frac{\sqrt{5}}{2} \sin(x + \phi) \le \frac{\sqrt{5}}{2}$

Следовательно:

$-\frac{\sqrt{5}}{2} \le y \le \frac{\sqrt{5}}{2}$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2}]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2}]$.