Страница 346 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Найти область определения функции (1030—1033).

1030. 1) $y = 2^x + \lg(6 - 3x)$;

2) $y = 3^{-x} - 2\ln(2x + 4)$;

3) $y = \frac{1}{\cos 2x}$;

4) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{4}$.

1) Для функции $y = 2^x + \lg(6 - 3x)$ область определения находится из следующих условий. Слагаемое $2^x$ (показательная функция) определено для всех действительных чисел $x$. Для слагаемого $\lg(6 - 3x)$ (десятичный логарифм) выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.
Составим и решим неравенство:
$6 - 3x > 0$
$-3x > -6$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 2$
Областью определения функции является пересечение областей определения ее слагаемых, то есть интервал $(-\infty; 2)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 2)$.

2) Для функции $y = 3^{-x} - 2\ln(2x + 4)$ область определения также зависит от логарифмического члена. Показательная функция $3^{-x}$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Для натурального логарифма $\ln(2x + 4)$ его аргумент должен быть строго больше нуля.
Решим неравенство:
$2x + 4 > 0$
$2x > -4$
$x > -2$
Таким образом, область определения функции — это интервал $(-2; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-2; +\infty)$.

3) Функция $y = \frac{1}{\cos(2x)}$ определена, когда ее знаменатель не обращается в ноль.
Поэтому необходимо решить условие:
$\cos(2x) \neq 0$
Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Разделив обе части на 2, получим:
$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Область определения — все действительные числа, кроме указанных.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции тангенса $y = \tg(t)$ исключает значения, при которых $\cos(t) = 0$. В данном случае $t = \frac{x}{4}$.
Следовательно, условие для области определения функции $y = \tg\frac{x}{4}$ таково:
$\cos\frac{x}{4} \neq 0$
Это эквивалентно тому, что аргумент косинуса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$
Умножим обе части на 4:
$x \neq 4 \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right)$
$x \neq 2\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Область определения — все действительные числа, кроме этих значений.
Ответ: $x \neq 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

1031. 1) $y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$

2) $y = \sqrt{4 - \frac{9}{x+1} + \frac{1}{x-3}}$

3) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 6x - 16}{x^2 - 12x + 11}}$

1) Для функции $y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$ область определения задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Запишем соответствующую систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x-3}{x+3} \ge 0, \\ x+3 \ne 0. \end{cases} $$ Решим неравенство $\frac{x-3}{x+3} \ge 0$ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x-3 = 0 \implies x=3$ $x+3 = 0 \implies x=-3$

Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $x=3$ будет закрашенной (включенной), так как неравенство нестрогое. Точка $x=-3$ будет выколотой (исключенной), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения $\frac{x-3}{x+3}$ на полученных интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4-3}{4+3} = \frac{1}{7} > 0$. Знак "+".
• При $-3 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{0-3}{0+3} = -1 < 0$. Знак "-".
• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4-3}{-4+3} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы со знаком "+". Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup [3, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup [3, \infty)$

2) Для функции $y = \sqrt{4 - \frac{9}{x+1} + \frac{1}{x-3}}$ область определения — это множество всех $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатели дробей не равны нулю.

Запишем и решим неравенство: $$4 - \frac{9}{x+1} + \frac{1}{x-3} \ge 0$$ Приведем выражение к общему знаменателю $(x+1)(x-3)$: $$\frac{4(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)} - \frac{9(x-3)}{(x+1)(x-3)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ $$\frac{4(x^2 - 2x - 3) - 9x + 27 + x + 1}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{4x^2 - 8x - 12 - 9x + 27 + x + 1}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ $$\frac{4x^2 - 16x + 16}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ Вынесем общий множитель в числителе: $$\frac{4(x^2 - 4x + 4)}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$ Числитель является полным квадратом: $$\frac{4(x-2)^2}{(x+1)(x-3)} \ge 0$$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $4(x-2)^2 = 0 \implies x=2$ (корень кратности 2) $x+1 = 0 \implies x=-1$ $x-3 = 0 \implies x=3$

Нанесем точки на числовую прямую. Точки $x=-1$ и $x=3$ выколоты, так как они обращают знаменатель в ноль. Точка $x=2$ закрашена, так как числитель может быть равен нулю. При переходе через точку $x=2$ знак выражения меняться не будет, так как скобка $(x-2)$ в четной степени.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4(4-2)^2}{(4+1)(4-3)} > 0$. Знак "+".
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{4(2.5-2)^2}{(2.5+1)(2.5-3)} < 0$. Знак "-".
• При $-1 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{4(0-2)^2}{(0+1)(0-3)} < 0$. Знак "-".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{4(-2-2)^2}{(-2+1)(-2-3)} > 0$. Знак "+".

Нам подходят интервалы со знаком "+" и точка, где выражение равно нулю. Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -1) \cup \{2\} \cup (3, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -1) \cup \{2\} \cup (3, \infty)$

3) Для функции $y = \sqrt{\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}}$ область определения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения.

Решим неравенство: $$\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11} \ge 0$$ Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя $x^2-6x-16=0$ найдем корни. По теореме Виета, $x_1+x_2=6$, $x_1x_2=-16$. Корни: $x_1=8$, $x_2=-2$. Значит, $x^2-6x-16 = (x-8)(x+2)$.

Для знаменателя $x^2-12x+11=0$ найдем корни. По теореме Виета, $x_1+x_2=12$, $x_1x_2=11$. Корни: $x_1=11$, $x_2=1$. Значит, $x^2-12x+11 = (x-11)(x-1)$.

Неравенство принимает вид: $$\frac{(x-8)(x+2)}{(x-11)(x-1)} \ge 0$$ Решаем методом интервалов. Наносим на числовую прямую корни числителя ($x=-2, x=8$) и корни знаменателя ($x=1, x=11$). Точки $-2$ и $8$ закрашены, а точки $1$ и $11$ выколоты.

Определим знаки на интервалах, начиная с крайнего правого:

• При $x > 11$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
• При $8 < x < 11$: $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак "-".
• При $1 < x < 8$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Знак "+".
• При $-2 < x < 1$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$. Знак "-".
• При $x < -2$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Знак "+".

Выбираем интервалы со знаком "+" и включаем закрашенные точки. Получаем: $x \in (-\infty, -2] \cup (1, 8] \cup (11, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -2] \cup (1, 8] \cup (11, \infty)$

1032. 1) $y = \sqrt{\log_3 \frac{2x+1}{x-6}}$;

2) $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} (x-3)-1}$.

Для нахождения области определения функции (ОДЗ) необходимо учесть ограничения, накладываемые квадратным корнем и логарифмом.

Дана функция $y = \sqrt{\log_3 \frac{2x+1}{x-6}}$.
Область определения этой функции задается системой неравенств: $$ \begin{cases} \log_3 \frac{2x+1}{x-6} \ge 0, \\ \frac{2x+1}{x-6} > 0. \end{cases} $$ Первое неравенство (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) является более строгим. Если логарифм по основанию 3 (которое больше 1) неотрицателен, то его аргумент не меньше 1. А если аргумент не меньше 1, он автоматически больше 0. Таким образом, достаточно решить только первое неравенство: $$ \log_3 \frac{2x+1}{x-6} \ge 0 $$ Представим 0 как логарифм по основанию 3: $$ \log_3 \frac{2x+1}{x-6} \ge \log_3 1 $$ Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y=\log_3 t$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $$ \frac{2x+1}{x-6} \ge 1 $$ Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{2x+1}{x-6} - 1 \ge 0 $$ $$ \frac{2x+1 - (x-6)}{x-6} \ge 0 $$ $$ \frac{2x+1 - x + 6}{x-6} \ge 0 $$ $$ \frac{x+7}{x-6} \ge 0 $$ Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x+7=0 \implies x=-7$ и $x-6=0 \implies x=6$. Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=-7$ будет закрашенной (включена в решение), а точка $x=6$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения на каждом интервале:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{7+7}{7-6} = 14 > 0$. Ставим "+".
• При $-7 < x < 6$ (например, $x=0$): $\frac{0+7}{0-6} = -\frac{7}{6} < 0$. Ставим "-".
• При $x < -7$ (например, $x=-8$): $\frac{-8+7}{-8-6} = \frac{-1}{-14} > 0$. Ставим "+".

Нам нужны интервалы со знаком "+", а также точка $x=-7$. Таким образом, получаем решение: $x \in (-\infty; -7] \cup (6; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -7] \cup (6; +\infty)$.

Дана функция $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-3) - 1}$.
Область определения этой функции задается системой неравенств: $$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}(x-3) - 1 \ge 0, \\ x-3 > 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ \log_{\frac{1}{2}}(x-3) - 1 \ge 0 $$ $$ \log_{\frac{1}{2}}(x-3) \ge 1 $$ Представим 1 как логарифм по основанию $\frac{1}{2}$: $$ \log_{\frac{1}{2}}(x-3) \ge \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) $$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция $y=\log_{\frac{1}{2}} t$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $$ x-3 \le \frac{1}{2} $$ $$ x \le 3 + \frac{1}{2} $$ $$ x \le 3.5 $$ Теперь решим второе неравенство системы: $$ x - 3 > 0 $$ $$ x > 3 $$ Теперь объединим оба решения в систему: $$ \begin{cases} x \le 3.5, \\ x > 3. \end{cases} $$ Пересечением этих двух условий является интервал $3 < x \le 3.5$.
Ответ: $D(y) = (3; 3.5]$.

1033. 1) $y = \sqrt{\log_{0,8} (x^2 - 5x + 7)};$

2) $y = \sqrt{\log_{0,5} (x^2 - 9)};$

3) $y = \sqrt{\log_{4} (1 + 6x) + \left|\log_{\frac{1}{8}} (1 + 7x)\right|};$

4) $y = \sqrt{\left|\log_{27} \left(1 + \frac{7}{2}x\right)\right| - \log_{\frac{1}{3}} (1 + 2x).}$

1) $y = \sqrt{\log_{0.8}(x^2 - 5x + 7)}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} \log_{0.8}(x^2 - 5x + 7) \ge 0 \\ x^2 - 5x + 7 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $\log_{0.8}(x^2 - 5x + 7) \ge 0$.

Представим 0 как логарифм с тем же основанием: $0 = \log_{0.8}(1)$.

$\log_{0.8}(x^2 - 5x + 7) \ge \log_{0.8}(1)$

Так как основание логарифма $0.8$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 5x + 7 \le 1$

$x^2 - 5x + 6 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни).

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [2, 3]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 5x + 7 > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), квадратный трехчлен принимает положительные значения при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Область определения функции является пересечением решений этих двух неравенств:

$[2, 3] \cap (-\infty, +\infty) = [2, 3]$.

Ответ: $[2, 3]$.

2) $y = \sqrt{\log_{0.5}(x^2 - 9)}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} \log_{0.5}(x^2 - 9) \ge 0 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $\log_{0.5}(x^2 - 9) \ge 0$.

$\log_{0.5}(x^2 - 9) \ge \log_{0.5}(1)$

Основание логарифма $0.5 \in (0, 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется:

$x^2 - 9 \le 1$

$x^2 - 10 \le 0$

$(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \le 0$

Решение этого неравенства: $x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 9 > 0$.

$(x - 3)(x + 3) > 0$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

Найдем пересечение решений двух неравенств:

$[-\sqrt{10}, \sqrt{10}] \cap ((-\infty, -3) \cup (3, +\infty))$.

Так как $3 = \sqrt{9}$, то $3 < \sqrt{10}$. Пересечение интервалов дает:

$[-\sqrt{10}, -3) \cup (3, \sqrt{10}]$.

Ответ: $[-\sqrt{10}, -3) \cup (3, \sqrt{10}]$.

3) $y = \sqrt{\log_4(1+6x) + |\log_{1/8}(1+7x)|}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} 1 + 6x > 0 \\ 1 + 7x > 0 \\ \log_4(1+6x) + |\log_{1/8}(1+7x)| \ge 0 \end{cases} $

Из первых двух неравенств получаем:

$x > -1/6$ и $x > -1/7$.

Так как $-1/7 > -1/6$, то общее решение для аргументов логарифмов: $x > -1/7$.

Решим третье неравенство. Преобразуем логарифмы к основанию 2:

$\log_4(1+6x) = \log_{2^2}(1+6x) = \frac{1}{2}\log_2(1+6x)$

$\log_{1/8}(1+7x) = \log_{2^{-3}}(1+7x) = -\frac{1}{3}\log_2(1+7x)$

Неравенство принимает вид:

$\frac{1}{2}\log_2(1+6x) + |-\frac{1}{3}\log_2(1+7x)| \ge 0$

$\frac{1}{2}\log_2(1+6x) + \frac{1}{3}|\log_2(1+7x)| \ge 0$

Рассмотрим два случая.

Случай A: $\log_2(1+7x) \ge 0 \implies 1+7x \ge 1 \implies x \ge 0$.

В этом случае неравенство становится: $\frac{1}{2}\log_2(1+6x) + \frac{1}{3}\log_2(1+7x) \ge 0$.

При $x \ge 0$ оба слагаемых неотрицательны, так как $1+6x \ge 1$ и $1+7x \ge 1$. Сумма неотрицательных чисел неотрицательна. Значит, неравенство выполняется для всех $x \ge 0$.

Решение для случая A: $x \in [0, +\infty)$.

Случай B: $\log_2(1+7x) < 0 \implies 1+7x < 1 \implies x < 0$. С учетом ОДЗ $x > -1/7$, этот случай рассматривается на интервале $(-1/7, 0)$.

Неравенство становится: $\frac{1}{2}\log_2(1+6x) - \frac{1}{3}\log_2(1+7x) \ge 0$.

$3\log_2(1+6x) \ge 2\log_2(1+7x)$

$\log_2((1+6x)^3) \ge \log_2((1+7x)^2)$

Так как основание $2>1$, функция возрастающая: $(1+6x)^3 \ge (1+7x)^2$.

$1+18x+108x^2+216x^3 \ge 1+14x+49x^2$

$216x^3 + 59x^2 + 4x \ge 0$

$x(216x^2 + 59x + 4) \ge 0$

На интервале $(-1/7, 0)$ множитель $x$ отрицателен, поэтому неравенство эквивалентно $216x^2 + 59x + 4 \le 0$.

Найдем корни уравнения $216x^2 + 59x + 4 = 0$. Дискриминант $D = 59^2 - 4 \cdot 216 \cdot 4 = 3481 - 3456 = 25 = 5^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-59-5}{432} = -\frac{64}{432} = -\frac{4}{27}$ и $x_2 = \frac{-59+5}{432} = -\frac{54}{432} = -\frac{1}{8}$.

Решение неравенства $216x^2 + 59x + 4 \le 0$ есть отрезок $[-4/27, -1/8]$.

Найдем пересечение этого решения с интервалом случая B, $(-1/7, 0)$. Сравним числа: $-4/27 \approx -0.148$, $-1/7 \approx -0.143$, $-1/8 = -0.125$. Таким образом, $-4/27 < -1/7 < -1/8$.

Пересечение $[-4/27, -1/8]$ и $(-1/7, 0)$ есть $(-1/7, -1/8]$.

Объединяя решения из случаев A и B, получаем область определения:

$(-1/7, -1/8] \cup [0, +\infty)$.

Ответ: $(-1/7, -1/8] \cup [0, +\infty)$.

4) $y = \sqrt{|\log_{27}(1+\frac{7}{2}x)| - \log_{1/3}(1+2x)}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} 1 + \frac{7}{2}x > 0 \\ 1 + 2x > 0 \\ |\log_{27}(1+\frac{7}{2}x)| - \log_{1/3}(1+2x) \ge 0 \end{cases} $

Из первых двух неравенств получаем:

$x > -2/7$ и $x > -1/2$.

Так как $-2/7 \approx -0.286$ и $-1/2 = -0.5$, то $-2/7 > -1/2$. Общее решение для аргументов логарифмов: $x > -2/7$.

Решим третье неравенство. Преобразуем логарифмы к основанию 3:

$\log_{27}(1+\frac{7}{2}x) = \log_{3^3}(1+\frac{7}{2}x) = \frac{1}{3}\log_3(1+\frac{7}{2}x)$

$\log_{1/3}(1+2x) = \log_{3^{-1}}(1+2x) = -\log_3(1+2x)$

Неравенство принимает вид:

$|\frac{1}{3}\log_3(1+\frac{7}{2}x)| - (-\log_3(1+2x)) \ge 0$

$\frac{1}{3}|\log_3(1+\frac{7}{2}x)| + \log_3(1+2x) \ge 0$

Рассмотрим два случая.

Случай A: $\log_3(1+\frac{7}{2}x) \ge 0 \implies 1+\frac{7}{2}x \ge 1 \implies x \ge 0$.

В этом случае неравенство становится: $\frac{1}{3}\log_3(1+\frac{7}{2}x) + \log_3(1+2x) \ge 0$.

При $x \ge 0$ оба слагаемых неотрицательны, так как $1+\frac{7}{2}x \ge 1$ и $1+2x \ge 1$. Сумма неотрицательных чисел неотрицательна. Неравенство выполняется для всех $x \ge 0$.

Решение для случая A: $x \in [0, +\infty)$.

Случай B: $\log_3(1+\frac{7}{2}x) < 0 \implies 1+\frac{7}{2}x < 1 \implies x < 0$. С учетом ОДЗ $x > -2/7$, этот случай рассматривается на интервале $(-2/7, 0)$.

Неравенство становится: $-\frac{1}{3}\log_3(1+\frac{7}{2}x) + \log_3(1+2x) \ge 0$.

$3\log_3(1+2x) \ge \log_3(1+\frac{7}{2}x)$

$\log_3((1+2x)^3) \ge \log_3(1+\frac{7}{2}x)$

Так как основание $3>1$, функция возрастающая: $(1+2x)^3 \ge 1+\frac{7}{2}x$.

$1+6x+12x^2+8x^3 \ge 1+\frac{7}{2}x$

$8x^3 + 12x^2 + \frac{5}{2}x \ge 0$

$x(16x^2 + 24x + 5) \ge 0$

На интервале $(-2/7, 0)$ множитель $x$ отрицателен, поэтому неравенство эквивалентно $16x^2 + 24x + 5 \le 0$.

Найдем корни уравнения $16x^2 + 24x + 5 = 0$. Дискриминант $D = 24^2 - 4 \cdot 16 \cdot 5 = 576 - 320 = 256 = 16^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-24-16}{32} = -\frac{40}{32} = -\frac{5}{4}$ и $x_2 = \frac{-24+16}{32} = -\frac{8}{32} = -\frac{1}{4}$.

Решение неравенства $16x^2 + 24x + 5 \le 0$ есть отрезок $[-5/4, -1/4]$.

Найдем пересечение этого решения с интервалом случая B, $(-2/7, 0)$. Сравним числа: $-5/4 = -1.25$, $-2/7 \approx -0.286$, $-1/4 = -0.25$. Таким образом, $-5/4 < -2/7 < -1/4$.

Пересечение $[-5/4, -1/4]$ и $(-2/7, 0)$ есть $(-2/7, -1/4]$.

Объединяя решения из случаев A и B, получаем область определения:

$(-2/7, -1/4] \cup [0, +\infty)$.

Ответ: $(-2/7, -1/4] \cup [0, +\infty)$.

Найти множество значений функции (1034—1037).

1034.

1) $y = x^2 + 6x + 3;$

2) $y = -2x^2 + 8x - 1;$

3) $y = e^x + 1;$

4) $y = 2 + \frac{2}{x}.$

1) Функция $y = x^2 + 6x + 3$ является квадратичной функцией, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Множество значений такой функции ограничено снизу её минимальным значением, которое достигается в вершине параболы.

Для нахождения вершины параболы и минимального значения функции выделим полный квадрат:

$y = x^2 + 6x + 3 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 3 = (x+3)^2 - 9 + 3 = (x+3)^2 - 6$.

Поскольку выражение $(x+3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+3)^2 \geq 0$, минимальное значение этого выражения равно $0$ и достигается при $x = -3$.

Следовательно, минимальное значение функции $y$ равно $0 - 6 = -6$.

Таким образом, множество значений функции — это все числа, большие или равные $-6$.

Ответ: $E(y) = [-6; +\infty)$.

2) Функция $y = -2x^2 + 8x - 1$ — это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Множество значений такой функции ограничено сверху её максимальным значением, которое достигается в вершине параболы.

Найдем вершину параболы, выделив полный квадрат:

$y = -2x^2 + 8x - 1 = -2(x^2 - 4x) - 1 = -2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2) - 1 = -2((x-2)^2 - 4) - 1 = -2(x-2)^2 + 8 - 1 = -2(x-2)^2 + 7$.

Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно, $(x-2)^2 \geq 0$. Тогда выражение $-2(x-2)^2$ всегда неположительно, то есть $-2(x-2)^2 \leq 0$. Его максимальное значение равно $0$ и достигается при $x = 2$.

Следовательно, максимальное значение функции $y$ равно $0 + 7 = 7$.

Таким образом, множество значений функции — это все числа, меньшие или равные $7$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 7]$.

3) Функция $y = e^x + 1$ является преобразованием показательной функции $f(x)=e^x$.

Множество значений основной показательной функции $f(x)=e^x$ — это все положительные числа, то есть $E(f) = (0; +\infty)$, так как $e^x > 0$ для любого действительного $x$.

Данная функция $y = e^x + 1$ получается из функции $f(x)=e^x$ путем сдвига её графика на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Это означает, что к каждому значению функции $e^x$ прибавляется 1.

Следовательно, множество значений для $y = e^x + 1$ будет $(0+1; +\infty+1)$, то есть $(1; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.

4) Функция $y = 2 + \frac{2}{x}$ является рациональной функцией. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Чтобы найти множество значений, выразим переменную $x$ через $y$:

$y = 2 + \frac{2}{x}$

$y - 2 = \frac{2}{x}$

Поскольку $x \neq 0$, то и $\frac{2}{x} \neq 0$, следовательно, $y - 2 \neq 0$, что означает $y \neq 2$.

Продолжим преобразование, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{2}{y-2}$

Это выражение имеет смысл для всех значений $y$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $y-2 \neq 0$, или $y \neq 2$.

Таким образом, функция может принимать любые действительные значения, кроме $2$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

1035. 1) $y = 0.5 + \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right);$

2) $y = 0.5 \cos x + \sin x.$

1) Для нахождения множества значений функции $y = 0,5 + \sin(x - \frac{\pi}{4})$, воспользуемся свойствами функции синус.

Известно, что множество значений функции $f(t) = \sin t$ является отрезком $[-1, 1]$. То есть, для любого значения аргумента $t$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin t \le 1$

В нашем случае аргументом синуса является выражение $(x - \frac{\pi}{4})$. Следовательно, мы можем записать:

$-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$

Функция $y$ получается из $\sin(x - \frac{\pi}{4})$ путем прибавления константы 0,5. Это соответствует сдвигу графика вверх на 0,5 единиц. Чтобы найти новое множество значений, прибавим 0,5 ко всем частям неравенства:

$-1 + 0,5 \le 0,5 + \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1 + 0,5$

Выполнив вычисления, получаем:

$-0,5 \le y \le 1,5$

Таким образом, множество значений данной функции — это отрезок $[-0,5; 1,5]$.

Ответ: $E(y) = [-0,5; 1,5]$.

2) Для нахождения множества значений функции $y = 0,5\cos x + \sin x$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\cos x + b\sin x$ можно преобразовать к виду $R\sin(x+\phi)$ или $R\cos(x-\phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае коэффициенты $a = 0,5$ и $b = 1$.

Найдем амплитуду $R$:

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(0,5)^2 + 1^2} = \sqrt{0,25 + 1} = \sqrt{1,25}$

Упростим значение $R$:

$R = \sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{125}{100}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Теперь преобразуем исходное выражение, вынеся $R$ за скобки:

$y = \frac{\sqrt{5}}{2} \left( \frac{0,5}{\frac{\sqrt{5}}{2}}\cos x + \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}\sin x \right) = \frac{\sqrt{5}}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{5}}\cos x + \frac{2}{\sqrt{5}}\sin x \right)$

Пусть существует такой угол $\phi$, что $\cos \phi = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Проверим, что это возможно, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\phi + \cos^2\phi = (\frac{1}{\sqrt{5}})^2 + (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$. Такой угол существует.

Подставим эти значения в выражение для $y$ и воспользуемся формулой синуса суммы $\sin(x+\phi) = \sin x \cos \phi + \cos x \sin \phi$:

$y = \frac{\sqrt{5}}{2} (\sin\phi \cos x + \cos\phi \sin x) = \frac{\sqrt{5}}{2} \sin(x + \phi)$

Мы преобразовали функцию к виду $y = R\sin(x+\phi)$. Множество значений функции $\sin(x + \phi)$ — это отрезок $[-1, 1]$, так как сдвиг по фазе не влияет на диапазон значений.

$-1 \le \sin(x + \phi) \le 1$

Чтобы найти множество значений $y$, умножим все части этого неравенства на амплитуду $R = \frac{\sqrt{5}}{2}$:

$-\frac{\sqrt{5}}{2} \le \frac{\sqrt{5}}{2} \sin(x + \phi) \le \frac{\sqrt{5}}{2}$

Следовательно:

$-\frac{\sqrt{5}}{2} \le y \le \frac{\sqrt{5}}{2}$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2}]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2}]$.

1036. 1) $y=\sqrt{6x-7}-2x;$

2) $y=\sqrt{x^2-4x-5}.$

1) Дана функция $y = \sqrt{6x - 7 - 2x}$.

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Сначала упростим подкоренное выражение:

$6x - 7 - 2x = 4x - 7$

Теперь составим и решим неравенство:

$4x - 7 \ge 0$

Перенесем -7 в правую часть неравенства, изменив знак:

$4x \ge 7$

Разделим обе части на 4:

$x \ge \frac{7}{4}$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные $\frac{7}{4}$. В виде промежутка это записывается как $[\frac{7}{4}; +\infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{7}{4}; +\infty)$.

2) Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 4x - 5}$.

Область определения этой функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4x - 5 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 - 4x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-1$ и $x=5$. Неравенство $x^2 - 4x - 5 \ge 0$ выполняется на тех промежутках, где парабола находится не ниже оси абсцисс, то есть при $x \le -1$ и $x \ge 5$.

Следовательно, область определения функции — это объединение двух промежутков: $(-\infty; -1]$ и $[5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$.

1037. 1) $y = \sin x \cdot \cos x$;

2) $y = \log_2 (x^2 + 2)$.

1) $y = \sin x \cdot \cos x$

Для нахождения производной этой функции можно применить два подхода.

Способ 1: Использование правила произведения.

Правило производной произведения двух функций $(u \cdot v)'$ имеет вид $u'v + uv'$.

В нашем случае, пусть $u = \sin x$ и $v = \cos x$.

Находим производные этих функций: $u' = (\sin x)' = \cos x$ и $v' = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу:

$y' = (\sin x)' \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)' = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Это выражение можно упростить, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Таким образом, $y' = \cos(2x)$.

Способ 2: Упрощение функции перед дифференцированием.

Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

Из этой формулы следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Наша функция принимает вид: $y = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Теперь найдем производную этой сложной функции по правилу $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$y' = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' = \frac{1}{2} \cdot (\sin(2x))' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $y' = \cos(2x)$.

2) $y = \log_2(x^2 + 2)$

Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования логарифмической функции и правилом дифференцирования сложной функции.

Производная логарифма с основанием $a$ от функции $u(x)$ находится по формуле: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \cdot \ln a}$.

В данном случае основание логарифма $a = 2$, а внутренняя функция $u(x) = x^2 + 2$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (x^2 + 2)' = (x^2)' + (2)' = 2x + 0 = 2x$.

Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в общую формулу производной логарифма:

$y' = \frac{2x}{(x^2 + 2) \cdot \ln 2}$.

Ответ: $y' = \frac{2x}{(x^2 + 2)\ln 2}$.

1038 Найти все значения $x$, при которых функция $y = 6\cos^2 x + 6\sin x - 2$ принимает наибольшее значение.

Для нахождения значений $x$, при которых функция $y = 6\cos^2x + 6\sin x - 2$ принимает наибольшее значение, преобразуем ее, приведя к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество: $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 6(1 - \sin^2x) + 6\sin x - 2$

$y = 6 - 6\sin^2x + 6\sin x - 2$

$y = -6\sin^2x + 6\sin x + 4$

Чтобы найти наибольшее значение этой функции, введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, то для переменной $t$ справедливо ограничение $-1 \le t \le 1$.

После замены функция примет вид квадратичной зависимости от $t$:

$y(t) = -6t^2 + 6t + 4$

Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при старшем члене $t^2$ отрицателен ($-6 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что свое наибольшее значение парабола принимает в вершине.

Найдем координату вершины параболы $t_0$ по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$:

$t_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-6)} = -\frac{6}{-12} = \frac{1}{2}$

Полученное значение $t_0 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$. Следовательно, наибольшее значение функции достигается именно при $t = \frac{1}{2}$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти соответствующие значения $x$.

$\sin x = t = \frac{1}{2}$

Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае:

$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Это и есть все значения $x$, при которых исходная функция принимает свое наибольшее значение.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

1039. Найти все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции

$y = x^2 + (a + 4)x + 2a + 3$

на отрезке $[0; 2]$ равно $-4$.

Данная функция $y(x) = x^2 + (a + 4)x + 2a + 3$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Наименьшее значение такой функции на отрезке $[0; 2]$ зависит от положения её вершины $x_v$ относительно этого отрезка.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a_{коэф}}$:

$x_v = -\frac{a+4}{2 \cdot 1} = -\frac{a+4}{2}$

Рассмотрим три возможных случая расположения вершины параболы.

Случай 1. Вершина параболы находится на отрезке $[0; 2]$

Это условие выполняется, когда $0 \le x_v \le 2$.

$0 \le -\frac{a+4}{2} \le 2$

Умножим все части неравенства на -2, меняя знаки неравенства на противоположные:

$0 \ge a+4 \ge -4$, что эквивалентно $-4 \le a+4 \le 0$.

Вычтем 4 из всех частей неравенства, чтобы найти диапазон для $a$:

$-8 \le a \le -4$.

В этом случае наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ достигается в вершине и равно $y(x_v)$. По условию задачи, это значение равно -4.

$y(x_v) = y\left(-\frac{a+4}{2}\right) = \left(-\frac{a+4}{2}\right)^2 + (a+4)\left(-\frac{a+4}{2}\right) + 2a + 3$

$y(x_v) = \frac{(a+4)^2}{4} - \frac{(a+4)^2}{2} + 2a + 3 = -\frac{(a+4)^2}{4} + 2a + 3$

$y(x_v) = -\frac{a^2+8a+16}{4} + \frac{4(2a+3)}{4} = \frac{-a^2-8a-16+8a+12}{4} = \frac{-a^2-4}{4}$

Приравняем полученное выражение к -4:

$\frac{-a^2-4}{4} = -4$

$-a^2-4 = -16$

$-a^2 = -12$

$a^2 = 12 \implies a = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные значения $a$ промежутку $[-8; -4]$.

Значение $a = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ не принадлежит отрезку $[-8; -4]$.

Значение $a = -2\sqrt{3} \approx -3.46$ также не принадлежит отрезку $[-8; -4]$, так как $-3.46 > -4$.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2. Вершина параболы находится левее отрезка $[0; 2]$

Это условие выполняется, когда $x_v < 0$.

$-\frac{a+4}{2} < 0 \implies a+4 > 0 \implies a > -4$.

При таком расположении вершины функция $y(x)$ на отрезке $[0; 2]$ является возрастающей. Её наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, то есть в точке $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 + (a+4) \cdot 0 + 2a+3 = 2a+3$.

Согласно условию, это значение равно -4:

$2a+3 = -4$

$2a = -7$

$a = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a$ условию $a > -4$.

$-3.5 > -4$. Условие выполняется.

Таким образом, $a = -3.5$ является решением.

Случай 3. Вершина параболы находится правее отрезка $[0; 2]$

Это условие выполняется, когда $x_v > 2$.

$-\frac{a+4}{2} > 2 \implies a+4 < -4 \implies a < -8$.

При таком расположении вершины функция $y(x)$ на отрезке $[0; 2]$ является убывающей. Её наименьшее значение достигается в правой границе отрезка, то есть в точке $x=2$.

$y_{наим} = y(2) = 2^2 + (a+4) \cdot 2 + 2a+3 = 4 + 2a+8 + 2a+3 = 4a+15$.

Согласно условию, это значение равно -4:

$4a+15 = -4$

$4a = -19$

$a = -\frac{19}{4} = -4.75$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a$ условию $a < -8$.

$-4.75 < -8$. Это неравенство неверно.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединив результаты анализа всех трех случаев, мы получаем единственное значение параметра $a$, при котором наименьшее значение функции на заданном отрезке равно -4.

Ответ: $a = -3.5$.

1040. 1) Найти все значения a, при каждом из которых наименьшее значение квадратичной функции

$y = 4x^2 - 4ax + a^2 - 2a + 2$

на отрезке $[0; 2]$ равно 3.

2) Найти все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

$y = 4ax + |x^2 - 8x + 7|$

больше 1.

1)

Задана квадратичная функция $y(x) = 4x^2 - 4ax + a^2 - 2a + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 4 (положительное число). Наименьшее значение такой параболы на отрезке $[0; 2]$ зависит от положения её вершины.

Найдём абсциссу вершины параболы $x_v$ по формуле $x_v = -\frac{B}{2A}$, где $A=4$, $B=-4a$: $x_v = -\frac{-4a}{2 \cdot 4} = \frac{4a}{8} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим три случая расположения вершины относительно отрезка $[0; 2]$.

Случай 1: Вершина левее отрезка, $x_v < 0$.

Это условие эквивалентно $\frac{a}{2} < 0$, то есть $a < 0$. На отрезке $[0; 2]$ функция возрастает, следовательно, её наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, в точке $x=0$. $y_{min} = y(0) = 4(0)^2 - 4a(0) + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2a + 2$. По условию, наименьшее значение равно 3: $a^2 - 2a + 2 = 3$ $a^2 - 2a - 1 = 0$ Решаем квадратное уравнение относительно $a$: $a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. Мы получили два корня: $a_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $a_2 = 1 + \sqrt{2}$. Учитывая условие $a < 0$, нам подходит только $a = 1 - \sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} \approx 1.41$, то $1-\sqrt{2} < 0$, а $1+\sqrt{2} > 0$).

Случай 2: Вершина внутри отрезка, $0 \le x_v \le 2$.

Это условие эквивалентно $0 \le \frac{a}{2} \le 2$, то есть $0 \le a \le 4$. В этом случае наименьшее значение функции достигается в вершине $x_v = a/2$. $y_{min} = y(\frac{a}{2}) = 4(\frac{a}{2})^2 - 4a(\frac{a}{2}) + a^2 - 2a + 2 = 4\frac{a^2}{4} - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = -2a + 2$. Приравниваем к 3: $-2a + 2 = 3$ $-2a = 1$ $a = -1/2$. Это значение не удовлетворяет условию $0 \le a \le 4$, поэтому в данном случае решений нет.

Случай 3: Вершина правее отрезка, $x_v > 2$.

Это условие эквивалентно $\frac{a}{2} > 2$, то есть $a > 4$. На отрезке $[0; 2]$ функция убывает, следовательно, её наименьшее значение достигается в правой границе отрезка, в точке $x=2$. $y_{min} = y(2) = 4(2)^2 - 4a(2) + a^2 - 2a + 2 = 16 - 8a + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 10a + 18$. Приравниваем к 3: $a^2 - 10a + 18 = 3$ $a^2 - 10a + 15 = 0$. Решаем квадратное уравнение относительно $a$: $a = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 60}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 5 \pm \sqrt{10}$. Мы получили два корня: $a_3 = 5 - \sqrt{10}$ и $a_4 = 5 + \sqrt{10}$. Учитывая условие $a > 4$, нам подходит только $a = 5 + \sqrt{10}$ (так как $3 < \sqrt{10} < 4$, то $5 - \sqrt{10} < 2$, а $5 + \sqrt{10} > 8$).

Объединяя результаты всех случаев, получаем искомые значения $a$.

Ответ: $a = 1 - \sqrt{2}$, $a = 5 + \sqrt{10}$.

2)

Требуется найти все значения параметра $a$, при которых наименьшее значение функции $y(x) = 4ax + |x^2 - 8x + 7|$ больше 1. Это эквивалентно неравенству $y(x) > 1$ для всех действительных $x$, или $\min_{x \in \mathbb{R}} y(x) > 1$.

Выражение под знаком модуля, $g(x) = x^2 - 8x + 7$, обращается в ноль при $x=1$ и $x=7$. Раскроем модуль: $y(x) = \begin{cases} 4ax + (x^2 - 8x + 7), & \text{если } x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty) \\ 4ax - (x^2 - 8x + 7), & \text{если } x \in (1, 7) \end{cases}$ $y(x) = \begin{cases} x^2 + (4a - 8)x + 7, & \text{назовем это } y_1(x) \\ -x^2 + (4a + 8)x - 7, & \text{назовем это } y_2(x) \end{cases}$

Функция $y(x)$ непрерывна. Ее наименьшее значение может достигаться в точках, где производная равна нулю или не существует. Производная не существует в точках "стыка" $x=1$ и $x=7$.

Найдём стационарные точки. Для $y_1(x)$: $y_1'(x) = 2x + 4a - 8$. $y_1'(x)=0$ при $x = 4-2a$. Это точка минимума для параболы $y_1(x)$. Для $y_2(x)$: $y_2'(x) = -2x + 4a + 8$. $y_2'(x)=0$ при $x = 2a+4$. Это точка максимума для параболы $y_2(x)$.

Таким образом, кандидатами на точку глобального минимума функции $y(x)$ являются точки $x=1$, $x=7$ и $x = 4-2a$ (если эта точка попадает в область определения $y_1(x)$).

Рассмотрим случаи в зависимости от положения точки $x_{v1} = 4-2a$.

Случай 1: $4-2a \le 1$ (то есть $a \ge 3/2$).

В этом случае $x_{v1}=4-2a$ является точкой локального минимума для $y(x)$. Глобальный минимум функции $y(x)$ есть наименьшее из значений в точках $x=1$, $x=7$ и $x=x_{v1}$. $y(1) = 4a(1) + |1-8+7| = 4a$. $y(7) = 4a(7) + |49-56+7| = 28a$. $y(x_{v1}) = y_1(4-2a) = (4-2a)^2+(4a-8)(4-2a)+7 = -(4-2a)^2+7 = -4a^2+16a-9$. Мы требуем, чтобы все эти значения были больше 1: 1) $4a > 1 \implies a > 1/4$. 2) $28a > 1 \implies a > 1/28$. 3) $-4a^2+16a-9 > 1 \implies 4a^2-16a+10 < 0 \implies 2a^2-8a+5 < 0$. Корни уравнения $2a^2-8a+5=0$ равны $a = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. Неравенство верно для $a \in (2 - \frac{\sqrt{6}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$. Пересекая это с условием случая $a \ge 3/2$ и условиями $a > 1/4$, $a>1/28$, получаем: $a \in [3/2, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$.

Случай 2: $4-2a \ge 7$ (то есть $a \le -3/2$).

Аналогично предыдущему случаю, глобальный минимум это $\min(y(1), y(7), y(x_{v1}))$. Требования те же, в частности $a > 1/4$. Это противоречит условию $a \le -3/2$. Решений в этом случае нет.

Случай 3: $1 < 4-2a < 7$ (то есть $-3/2 < a < 3/2$).

В этом случае точка $x_{v1}=4-2a$ не является точкой локального минимума функции $y(x)$, так как она находится вне области определения $y_1(x)$. Минимум функции на лучах $(-\infty, 1]$ и $[7, \infty)$ достигается в точках $x=1$ и $x=7$. На интервале $(1, 7)$ функция $y_2(x)$ является параболой с ветвями вниз, поэтому её минимум на отрезке $[1, 7]$ также достигается на концах. Следовательно, глобальный минимум $y(x)$ равен $\min(y(1), y(7)) = \min(4a, 28a)$. Требуем, чтобы $\min(4a, 28a) > 1$. Если $-3/2 < a \le 0$, то $\min(4a, 28a) = 28a$. Условие $28a > 1$ даёт $a > 1/28$, что противоречит $a \le 0$. Если $0 < a < 3/2$, то $\min(4a, 28a) = 4a$. Условие $4a > 1$ даёт $a > 1/4$. Пересекая с $0 < a < 3/2$, получаем $a \in (1/4, 3/2)$.

Объединим решения из случаев 1 и 3: $a \in [3/2, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (1/4, 3/2)$. Итоговый интервал: $a \in (1/4, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$.

Ответ: $a \in (\frac{1}{4}, 2 + \frac{\sqrt{6}}{2})$.