Страница 345 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Найти наименьший положительный период функции

(1018–1019).

1018. 1) $y = \cos \frac{3x}{2}$;

2) $y = 2\sin 0.6x.$

1) Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = A \cos(kx + b)$ используется формула $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — наименьший положительный период базовой функции. Наименьший положительный период для функции $y = \cos x$ равен $T_0 = 2\pi$.

В заданной функции $y = \cos \frac{3x}{2}$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{3}{2}$.

Подставим значения в формулу, чтобы найти период $T$:

$T = \frac{2\pi}{|\frac{3}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

2) Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = A \sin(kx + b)$ используется та же формула $T = \frac{T_0}{|k|}$. Наименьший положительный период для функции $y = \sin x$ также равен $T_0 = 2\pi$.

В заданной функции $y = 2\sin 0,6x$ коэффициент при $x$ равен $k = 0,6$. Множитель $A=2$ влияет на амплитуду (растяжение по оси OY), но не на период функции.

Представим десятичную дробь $0,6$ в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Теперь найдем период $T$:

$T = \frac{2\pi}{|0,6|} = \frac{2\pi}{\frac{3}{5}} = 2\pi \cdot \frac{5}{3} = \frac{10\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{10\pi}{3}$.

1019. 1) $y = \cos 3x;$

2) $y = \sin \frac{x}{5};$

3) $y = \operatorname{tg} 5x;$

4) $y = \sin x + \operatorname{tg} x.$

1) Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = f(kx+b)$ используется формула $T_{new} = \frac{T}{|k|}$, где $T$ — основной период функции $y = f(x)$.

Дана функция $y = \cos(3x)$. Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T = 2\pi$.

В данном случае коэффициент $k = 3$.

Следовательно, наименьший положительный период для $y = \cos(3x)$ равен:

$T_1 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

2) Дана функция $y = \sin\frac{x}{5}$.

Основной период функции $y = \sin(x)$ равен $T = 2\pi$.

Функцию можно представить в виде $y = \sin(\frac{1}{5}x)$, где коэффициент $k = \frac{1}{5}$.

Применяем формулу для нахождения периода: $T_{new} = \frac{T}{|k|}$.

$T_2 = \frac{2\pi}{|\frac{1}{5}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{5}} = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$

Ответ: $10\pi$

3) Дана функция $y = \operatorname{tg} 5x$.

Основной период функции $y = \operatorname{tg}(x)$ равен $T = \pi$.

Для функции $y = \operatorname{tg}(5x)$ коэффициент $k = 5$.

Находим период по формуле $T_{new} = \frac{T}{|k|}$.

$T_3 = \frac{\pi}{|5|} = \frac{\pi}{5}$

Ответ: $\frac{\pi}{5}$

4) Дана функция $y = \sin x + \operatorname{tg} x$. Эта функция является суммой двух периодических функций: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \operatorname{tg} x$.

Чтобы найти наименьший положительный период такой функции, нужно найти периоды каждой из функций-слагаемых, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Период функции $f(x) = \sin x$ равен $T_f = 2\pi$.

Период функции $g(x) = \operatorname{tg} x$ равен $T_g = \pi$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное этих периодов: НОК($T_f, T_g$) = НОК($2\pi, \pi$).

Поскольку $2\pi$ делится нацело на $\pi$ ($2\pi = 2 \cdot \pi$), то наименьшим общим кратным является большее из чисел, то есть $2\pi$.

Проверим, является ли $2\pi$ периодом исходной функции: $y(x+2\pi) = \sin(x+2\pi) + \operatorname{tg}(x+2\pi) = \sin x + \operatorname{tg} x = y(x)$. Равенство выполняется, значит $2\pi$ — это период. Так как это наименьшее общее кратное, то это и есть наименьший положительный период.

Ответ: $2\pi$

1020. Исследовать на чётность и нечётность и построить график функции:

1) $y = -x^4 + 4x^2 - 5$;

2) $y = x^3 - 4x$.

1) $y = -x^4 + 4x^2 - 5$

Исследование на чётность и нечётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = -(-x)^4 + 4(-x)^2 - 5 = -x^4 + 4x^2 - 5$.
3. Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$: $y(-x) = y(x)$.
Следовательно, функция является чётной. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Построение графика:
Для построения графика проведем полное исследование функции.
1. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = -0^4 + 4 \cdot 0^2 - 5 = -5$. Точка пересечения $(0, -5)$.
- С осью OX: при $y=0$ имеем $-x^4 + 4x^2 - 5 = 0$.
Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$): $-t^2 + 4t - 5 = 0$, или $t^2 - 4t + 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, график не пересекает ось OX. Поскольку $y(0)=-5$, график функции полностью расположен ниже оси OX.

2. Промежутки возрастания/убывания и точки экстремума:
Найдем первую производную: $y' = (-x^4 + 4x^2 - 5)' = -4x^3 + 8x$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-4x^3 + 8x = 0 \implies -4x(x^2 - 2) = 0 \implies -4x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{2}$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty; -\sqrt{2})$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-\sqrt{2}; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; \sqrt{2})$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (\sqrt{2}; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
Точка $x = -\sqrt{2}$ — точка максимума. $y_{max} = y(-\sqrt{2}) = -(-\sqrt{2})^4 + 4(-\sqrt{2})^2 - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Точка $x = 0$ — точка минимума. $y_{min} = y(0) = -5$.
Точка $x = \sqrt{2}$ — точка максимума. $y_{max} = y(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^2 - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Точки экстремумов: $(-\sqrt{2}, -1)$ — максимум, $(0, -5)$ — минимум, $(\sqrt{2}, -1)$ — максимум.

3. Выпуклость и точки перегиба:
Найдем вторую производную: $y'' = (-4x^3 + 8x)' = -12x^2 + 8$.
Найдем точки, где $y'' = 0$:
$-12x^2 + 8 = 0 \implies 12x^2 = 8 \implies x^2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Определим знаки второй производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{6}}{3})$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- При $x \in (-\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3})$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- При $x \in (\frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
Точки $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$ являются точками перегиба.
$y(\pm\frac{\sqrt{6}}{3}) = -(\pm\sqrt{\frac{2}{3}})^4 + 4(\pm\sqrt{\frac{2}{3}})^2 - 5 = -(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) - 5 = -\frac{4}{9} + \frac{8}{3} - 5 = \frac{-4+24-45}{9} = -\frac{25}{9} \approx -2.78$.
Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{25}{9})$ и $(\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{25}{9})$.

На основе этих данных можно построить эскиз графика. График симметричен относительно оси OY, имеет вид перевернутой буквы W, с двумя максимумами и одним минимумом.

Ответ: функция чётная. График функции — кривая, симметричная относительно оси OY, с точками максимума $(-\sqrt{2}, -1)$ и $(\sqrt{2}, -1)$ и точкой минимума $(0, -5)$.

2) $y = x^3 - 4x$

Исследование на чётность и нечётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x)$.
3. Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$: $y(-x) = -y(x)$.
Следовательно, функция является нечётной. График функции симметричен относительно начала координат (точки (0,0)).

Построение графика:
1. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = 0^3 - 4(0) = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
- С осью OX: при $y=0$ имеем $x^3 - 4x = 0$.
$x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x-2)(x+2) = 0$.
Точки пересечения с осью OX: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$. Координаты точек: $(-2, 0)$, $(0, 0)$, $(2, 0)$.

2. Промежутки возрастания/убывания и точки экстремума:
Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$3x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Критические точки: $x_1 = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $x_2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty; -\frac{2\sqrt{3}}{3})$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-\frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{3})$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (\frac{2\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ — точка максимума. $y_{max} = y(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = (-\frac{2\sqrt{3}}{3})^3 - 4(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -\frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{27} + \frac{8\sqrt{3}}{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{9} + \frac{24\sqrt{3}}{9} = \frac{16\sqrt{3}}{9}$.
Точка $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ — точка минимума. Из-за нечетности функции $y_{min} = -y_{max} = -\frac{16\sqrt{3}}{9}$.
Точки экстремумов: $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{16\sqrt{3}}{9})$ — максимум, $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{16\sqrt{3}}{9})$ — минимум. (Приблизительные значения: $(\mp1.15, \pm3.08)$).

3. Выпуклость и точки перегиба:
Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 4)' = 6x$.
Найдем точки, где $y'' = 0$: $6x = 0 \implies x = 0$.
Определим знаки второй производной:
- При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- При $x > 0$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точка $x = 0$ является точкой перегиба. Координаты точки перегиба $(0, 0)$.

На основе этих данных строим эскиз графика. Это кубическая парабола, проходящая через начало координат, симметричная относительно него.

Ответ: функция нечётная. График функции — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат, пересекающая ось OX в точках $(-2, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$, с точкой максимума $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{16\sqrt{3}}{9})$ и точкой минимума $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{16\sqrt{3}}{9})$.

1021. Найти наибольшее или наименьшее значение функции $y = ax^2 + bx - 4$, если $y(1) = 0$ и $y(4) = 0$.

Дана квадратичная функция $y = ax^2 + bx - 4$. По условию, $y(1) = 0$ и $y(4) = 0$. Подставим эти значения в уравнение функции, чтобы составить систему уравнений для нахождения коэффициентов $a$ и $b$.

При $x = 1, y = 0$ получаем уравнение: $a(1)^2 + b(1) - 4 = 0$, то есть $a + b = 4$.

При $x = 4, y = 0$ получаем уравнение: $a(4)^2 + b(4) - 4 = 0$, то есть $16a + 4b = 4$. Разделив обе части этого уравнения на 4, получим $4a + b = 1$.

Теперь решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 4 \\ 4a + b = 1 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго: $(4a + b) - (a + b) = 1 - 4$, что дает $3a = -3$, и отсюда $a = -1$.

Подставим найденное значение $a = -1$ в первое уравнение: $-1 + b = 4$, откуда $b = 5$.

Таким образом, искомая функция имеет вид: $y = -x^2 + 5x - 4$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как старший коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине и не имеет наименьшего значения.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Подставим наши значения $a=-1$ и $b=5$:

$x_0 = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = \frac{5}{2} = 2.5$

Наибольшее значение функции (ордината вершины) равно значению функции в точке $x_0 = 2.5$:

$y_{наиб} = y(2.5) = -(2.5)^2 + 5(2.5) - 4 = -6.25 + 12.5 - 4 = 2.25$

Ответ: Наибольшее значение функции равно $2.25$.

1022. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \sin 2x - \sqrt{3} \cos 2x;$

2) $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x.$

1) Дана функция $y = \sin(2x) - \sqrt{3}\cos(2x)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции вида $y = a\sin(\theta) + b\cos(\theta)$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Этот метод заключается в преобразовании выражения к виду $R\sin(\theta + \alpha)$ или $R\cos(\theta - \beta)$.

Сначала вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. В нашем случае $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ и $\theta=2x$.

$R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

Теперь вынесем $R=2$ за скобки в исходном выражении:

$y = 2\left(\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)\right)$

Заметим, что коэффициенты в скобках можно представить как значения синуса и косинуса некоторого угла. Например, $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставив их, получаем:

$y = 2\left(\sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$

Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. Применив ее для $\alpha = 2x$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$, получим:

$y = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$

Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$, то для функции $y$ имеем:

$-1 \cdot 2 \le 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1 \cdot 2$

$-2 \le y \le 2$

Таким образом, наибольшее значение функции равно 2, а наименьшее равно -2.

Ответ: наименьшее значение: -2; наибольшее значение: 2.

2) Дана функция $y = 2\cos(2x) + \sin^2(x)$.

Чтобы найти её наибольшее и наименьшее значения, преобразуем выражение так, чтобы оно содержало только одну тригонометрическую функцию с одним и тем же аргументом. Для этого используем формулу понижения степени для квадрата синуса: $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 2\cos(2x) + \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Теперь упростим выражение, приведя подобные члены:

$y = 2\cos(2x) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x) = \left(2 - \frac{1}{2}\right)\cos(2x) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{3}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}$

Функция $y$ теперь является линейной функцией от $\cos(2x)$. Область значений функции $\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Наименьшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $\cos(2x)$, то есть при $\cos(2x) = -1$:

$y_{min} = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{2} = -1$

Наибольшее значение $y$ достигается при наибольшем значении $\cos(2x)$, то есть при $\cos(2x) = 1$:

$y_{max} = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок $[-1, 2]$.

Ответ: наименьшее значение: -1; наибольшее значение: 2.

1023. Дана функция $f(x)$. Найти корни уравнения $f(x)=a$, а также наибольшее и наименьшее значения функции, если:

1) $f(x)=\frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\sin^6 x + \cos^6 x}$, $a=\frac{10}{7};$

2) $f(x)=\frac{2\sin^4 x + 3\cos^2 x}{2\cos^4 x + \sin^2 x}$, $a=\frac{15}{7}.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\sin^6 x + \cos^6 x}$ и $a=\frac{10}{7}$.

Упрощение функции:

Воспользуемся известными тригонометрическими тождествами. Преобразуем числитель:

$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.

Преобразуем знаменатель:

$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 \cdot ((\sin^4 x + \cos^4 x) - \sin^2 x \cos^2 x) = (1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, откуда $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Тогда функция принимает вид:

$f(x) = \frac{1 - 2(\frac{1}{4}\sin^2(2x))}{1 - 3(\frac{1}{4}\sin^2(2x))} = \frac{1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)}{1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)}$.

Знаменатель $1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$ никогда не равен нулю, так как $\sin^2(2x) \le 1$, поэтому $1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x) \ge 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} > 0$.

Решение уравнения $f(x) = a$:

Решим уравнение $f(x) = \frac{10}{7}$:

$\frac{1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)}{1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)} = \frac{10}{7}$.

Пусть $y = \sin^2(2x)$. Тогда:

$\frac{1 - \frac{1}{2}y}{1 - \frac{3}{4}y} = \frac{10}{7}$

$7(1 - \frac{1}{2}y) = 10(1 - \frac{3}{4}y)$

$7 - \frac{7}{2}y = 10 - \frac{15}{2}y$

$(\frac{15}{2} - \frac{7}{2})y = 10 - 7$

$4y = 3 \implies y = \frac{3}{4}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\sin^2(2x) = \frac{3}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(4x)}{2} = \frac{3}{4}$

$1 - \cos(4x) = \frac{3}{2}$

$\cos(4x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Отсюда находим корни:

$4x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

Рассмотрим функцию $g(y) = \frac{1 - \frac{1}{2}y}{1 - \frac{3}{4}y}$, где $y = \sin^2(2x)$. Область значений $y$ - это отрезок $[0, 1]$.

Найдем производную $g'(y)$:

$g'(y) = \frac{-\frac{1}{2}(1 - \frac{3}{4}y) - (1 - \frac{1}{2}y)(-\frac{3}{4})}{(1 - \frac{3}{4}y)^2} = \frac{-\frac{1}{2} + \frac{3}{8}y + \frac{3}{4} - \frac{3}{8}y}{(1 - \frac{3}{4}y)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{(1 - \frac{3}{4}y)^2}$.

Так как $g'(y) > 0$ при всех $y$ из области определения, функция $g(y)$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах отрезка $[0, 1]$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ соответствует $y = 0$ (когда $\sin^2(2x)=0$):

$f_{min} = g(0) = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$.

Наибольшее значение функции $f(x)$ соответствует $y = 1$ (когда $\sin^2(2x)=1$):

$f_{max} = g(1) = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2$.

Ответ: корни уравнения $f(x) = \frac{10}{7}$ равны $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение функции равно 1.

2) Дана функция $f(x) = \frac{2\sin^4 x + 3\cos^2 x}{2\cos^4 x + \sin^2 x}$ и $a=\frac{15}{7}$.

Упрощение функции:

Сделаем замену $c = \cos^2 x$. Тогда $\sin^2 x = 1 - c$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$, то $c \in [0, 1]$.

Преобразуем числитель:

$2\sin^4 x + 3\cos^2 x = 2(\sin^2 x)^2 + 3\cos^2 x = 2(1-c)^2 + 3c = 2(1-2c+c^2) + 3c = 2c^2 - c + 2$.

Преобразуем знаменатель:

$2\cos^4 x + \sin^2 x = 2(\cos^2 x)^2 + \sin^2 x = 2c^2 + (1-c) = 2c^2 - c + 1$.

Функция принимает вид:

$f(x) = g(c) = \frac{2c^2 - c + 2}{2c^2 - c + 1}$.

Выделим целую часть: $g(c) = \frac{(2c^2 - c + 1) + 1}{2c^2 - c + 1} = 1 + \frac{1}{2c^2 - c + 1}$.

Знаменатель $2c^2 - c + 1$ всегда положителен, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = -7 < 0$.

Решение уравнения $f(x) = a$:

Решим уравнение $f(x) = \frac{15}{7}$:

$1 + \frac{1}{2c^2 - c + 1} = \frac{15}{7}$

$\frac{1}{2c^2 - c + 1} = \frac{15}{7} - 1 = \frac{8}{7}$

$7 = 8(2c^2 - c + 1)$

$7 = 16c^2 - 8c + 8$

$16c^2 - 8c + 1 = 0$

$(4c - 1)^2 = 0 \implies c = \frac{1}{4}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\cos^2 x = \frac{1}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 + \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$.

Отсюда находим корни:

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

Мы ищем диапазон значений функции $g(c) = 1 + \frac{1}{2c^2 - c + 1}$ при $c \in [0, 1]$. Для этого найдем диапазон значений знаменателя $h(c) = 2c^2 - c + 1$ на отрезке $[0, 1]$.

График $h(c)$ — парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $c_v = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0, 1]$.

Минимальное значение $h(c)$ на отрезке достигается в вершине:

$h_{min} = h(\frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 1 = \frac{2}{16} - \frac{4}{16} + \frac{16}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$.

Максимальное значение $h(c)$ достигается на одном из концов отрезка $[0, 1]$:

$h(0) = 1$

$h(1) = 2(1)^2 - 1 + 1 = 2$.

Значит, $h_{max} = 2$.

Диапазон значений $h(c)$ на $[0, 1]$ есть $[\frac{7}{8}, 2]$.

Функция $y \mapsto 1 + \frac{1}{y}$ является убывающей для $y > 0$. Поэтому для нахождения наименьшего значения $g(c)$ нужно использовать наибольшее значение $h(c)$, и наоборот.

Наименьшее значение функции $f(x)$:

$f_{min} = 1 + \frac{1}{h_{max}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. (достигается при $c = \cos^2 x = 1$, т.е. $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$)

Наибольшее значение функции $f(x)$:

$f_{max} = 1 + \frac{1}{h_{min}} = 1 + \frac{1}{7/8} = 1 + \frac{8}{7} = \frac{15}{7}$. (достигается при $c = \cos^2 x = \frac{1}{4}$, т.е. $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$)

Ответ: корни уравнения $f(x) = \frac{15}{7}$ равны $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение функции равно $\frac{15}{7}$, наименьшее значение функции равно $\frac{3}{2}$.

1024. Найти коэффициенты $a$, $b$, $c$ квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если $y(-2) = 15$, $y(3) = 0$, $y(0) = -3$.

Для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, необходимо составить и решить систему уравнений, используя заданные условия: $y(-2) = 15$, $y(3) = 0$ и $y(0) = -3$. Каждое условие соответствует точке, принадлежащей графику функции.

1. Подставим в уравнение функции значения из условия $y(0) = -3$:
При $x=0$, $y=-3$:
$-3 = a \cdot (0)^2 + b \cdot (0) + c$
$-3 = 0 + 0 + c$
Таким образом, мы сразу находим значение коэффициента $c$:
$c = -3$

2. Теперь уравнение функции имеет вид $y = ax^2 + bx - 3$. Подставим в него значения из условия $y(3) = 0$:
При $x=3$, $y=0$:
$0 = a \cdot (3)^2 + b \cdot (3) - 3$
$0 = 9a + 3b - 3$
Перенесем свободный член в левую часть и упростим уравнение, разделив обе части на 3:
$9a + 3b = 3$
$3a + b = 1$ (Уравнение 1)

3. Подставим в уравнение $y = ax^2 + bx - 3$ значения из условия $y(-2) = 15$:
При $x=-2$, $y=15$:
$15 = a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) - 3$
$15 = 4a - 2b - 3$
Перенесем свободный член в левую часть и упростим уравнение, разделив обе части на 2:
$15 + 3 = 4a - 2b$
$18 = 4a - 2b$
$9 = 2a - b$ (Уравнение 2)

4. Теперь решим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$\begin{cases} 3a + b = 1 \\ 2a - b = 9 \end{cases}$
Сложим Уравнение 1 и Уравнение 2, чтобы найти $a$:
$(3a + b) + (2a - b) = 1 + 9$
$5a = 10$
$a = \frac{10}{5} = 2$

5. Подставим найденное значение $a=2$ в Уравнение 1, чтобы найти $b$:
$3(2) + b = 1$
$6 + b = 1$
$b = 1 - 6 = -5$

Мы нашли все коэффициенты: $a=2$, $b=-5$ и $c=-3$.

Ответ: $a=2, b=-5, c=-3$.

1025. Построить график функции $y = \sqrt{25 - x^2}$. Найти по графику промежутки монотонности функции. Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси $Oy$.

Построить график функции $y = \sqrt{25 - x^2}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$25 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 25$
$-5 \le x \le 5$
Следовательно, область определения функции $D(y) = [-5, 5]$.

2. Определим вид графика. Возведем обе части уравнения $y = \sqrt{25 - x^2}$ в квадрат. Так как по определению арифметического корня $y \ge 0$, это преобразование будет равносильным.
$y^2 = 25 - x^2$
$x^2 + y^2 = 25$
Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только ту часть окружности, которая лежит в верхней полуплоскости (над осью абсцисс). Таким образом, график функции — это верхняя полуокружность.
Ключевые точки графика:
- Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.
- Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $(0, 5)$. Это также является вершиной полуокружности.

Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 5, расположенная не ниже оси Ox.

Найти по графику промежутки монотонности функции

Монотонность функции определяется по поведению графика при движении по нему слева направо.

- На промежутке от $x = -5$ до $x = 0$ график "поднимается" вверх. Значения $y$ увеличиваются от 0 до 5. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

- На промежутке от $x = 0$ до $x = 5$ график "опускается" вниз. Значения $y$ уменьшаются от 5 до 0. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-5, 0]$ и убывает на промежутке $[0, 5]$.

Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси Oy

График функции является симметричным относительно оси Oy, если функция является четной. Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, а сама область определения симметрична относительно нуля.

Проверим эти условия для нашей функции $f(x) = \sqrt{25 - x^2}$.

1. Область определения $D(f) = [-5, 5]$ симметрична относительно нуля, так как для любого $x \in [-5, 5]$ значение $-x$ также принадлежит этому промежутку.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \sqrt{25 - (-x)^2} = \sqrt{25 - x^2}$.

Сравнив полученное выражение с исходной функцией, мы видим, что $f(-x) = f(x)$.
Так как оба условия четности выполняются, функция является четной. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси Oy.

Ответ: Функция является четной, поскольку ее область определения $D(f) = [-5, 5]$ симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy.

1026. Построить график функции $y = \frac{5}{x-2}$. Показать, что функция убывает на промежутках $x<2$ и $x>2$. В какой точке график функции пересекает ось ординат?

Построить график функции $y = \frac{5}{x-2}$

Для построения графика функции $y = \frac{5}{x-2}$ проанализируем ее свойства. Данная функция является дробно-линейной, ее график — гипербола.

1. Область определения.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Асимптоты.
График имеет вертикальную и горизонтальную асимптоты.
- Вертикальная асимптота — прямая $x = 2$, так как в этой точке функция не определена.
- Горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$ значение $y = \frac{5}{x-2}$ стремится к нулю.

3. Построение графика.
График функции $y = \frac{5}{x-2}$ получается из графика базовой гиперболы $y = \frac{5}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox. Поскольку коэффициент $k=5 > 0$, ветви гиперболы будут располагаться в первой и третьей четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами $x=2$ и $y=0$.

4. Контрольные точки.
Для более точного построения найдем координаты нескольких точек:

• Если $x = 3$, то $y = \frac{5}{3-2} = 5$. Точка $(3; 5)$.
• Если $x = 4$, то $y = \frac{5}{4-2} = 2.5$. Точка $(4; 2.5)$.
• Если $x = 7$, то $y = \frac{5}{7-2} = 1$. Точка $(7; 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = \frac{5}{1-2} = -5$. Точка $(1; -5)$.
• Если $x = 0$, то $y = \frac{5}{0-2} = -2.5$. Точка $(0; -2.5)$.
• Если $x = -3$, то $y = \frac{5}{-3-2} = -1$. Точка $(-3; -1)$.

Соединяя эти точки плавными кривыми, которые приближаются к асимптотам $x=2$ и $y=0$, мы получаем искомый график.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром в точке $(2, 0)$, вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах, где $x > 2, y > 0$ и $x < 2, y < 0$. Ключевые точки для построения: $(3; 5), (4; 2.5), (1; -5), (0; -2.5)$.

Показать, что функция убывает на промежутках $x<2$ и $x>2$

Чтобы определить промежутки монотонности функции, найдем ее производную. Функция $y = \frac{5}{x-2}$ может быть записана как $y = 5(x-2)^{-1}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции:

$y' = \left(5(x-2)^{-1}\right)' = 5 \cdot (-1) \cdot (x-2)^{-1-1} \cdot (x-2)' = -5(x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{5}{(x-2)^2}$

Теперь проанализируем знак производной $y' = -\frac{5}{(x-2)^2}$ на области определения функции $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

• Числитель дроби равен -5, он всегда отрицателен.
• Знаменатель $(x-2)^2$ является квадратом выражения, поэтому он всегда положителен при любом $x \neq 2$.

Таким образом, производная $y'$ представляет собой частное отрицательного числа и положительного числа, а значит, она всегда отрицательна ($y' < 0$) для всех $x$ из области определения.

Согласно свойству производной, если $f'(x) < 0$ на некотором интервале, то функция $f(x)$ убывает на этом интервале. Следовательно, функция $y = \frac{5}{x-2}$ убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: Производная функции $y' = -\frac{5}{(x-2)^2}$ отрицательна для всех $x \neq 2$, что доказывает, что функция убывает на промежутках $x<2$ и $x>2$.

В какой точке график функции пересекает ось ординат?

График функции пересекает ось ординат (ось Oy) в точке, у которой абсцисса (координата $x$) равна нулю.

Чтобы найти эту точку, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = \frac{5}{0-2} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Таким образом, ордината точки пересечения равна -2.5. Сама точка пересечения имеет координаты $(0; -2.5)$.

Ответ: График функции пересекает ось ординат в точке $(0; -2.5)$.

1027. Выяснить основные свойства и построить график функции:

1) $y = 3^x + 1$;

2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 3$;

3) $y = \log_2(x+1)$;

4) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x-1)$;

5) $y = \sqrt{x+1} - 2$;

6) $y = \sqrt{2x-1} + 1.

1) $y = 3^x + 1$

Это показательная функция. Ее график можно получить из графика функции $y_0 = 3^x$ путем сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси OY.

Основные свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение $3^x$ определено для любого действительного $x$.
• Область значений: Так как $3^x > 0$ для всех $x$, то $3^x + 1 > 1$. Следовательно, $E(y) = (1; +\infty)$.
• Монотонность: Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^x$ является возрастающей. Сдвиг вверх не меняет монотонность, поэтому функция $y=3^x+1$ возрастает на всей области определения.
• Асимптоты: График функции $y=3^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. После сдвига на 1 вверх, асимптота становится $y=1$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $y = 3^0 + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка пересечения $(0, 2)$.
  • С осью OX (y=0): $3^x + 1 = 0 \Rightarrow 3^x = -1$. Это уравнение не имеет решений, так как $3^x > 0$. Пересечений с осью OX нет.

Построение графика:

1. Строим график базовой функции $y=3^x$. Он проходит через точки $(-1, 1/3)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$.

2. Сдвигаем этот график на 1 единицу вверх. Контрольные точки переходят в $(-1, 4/3)$, $(0, 2)$, $(1, 4)$.

3. Проводим горизонтальную асимптоту $y=1$. График приближается к этой прямой при $x \to -\infty$.

Ответ: Основные свойства функции $y=3^x+1$: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$; область значений $E(y)=(1; +\infty)$; функция строго возрастающая; горизонтальная асимптота $y=1$; пересечение с осью OY в точке $(0, 2)$, с осью OX пересечений нет. График функции представляет собой кривую, проходящую через точки $(-1, 4/3)$, $(0, 2)$, $(1, 4)$ и асимптотически приближающуюся к прямой $y=1$ слева.

2) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 3$

Это показательная функция. Ее график можно получить из графика функции $y_0 = (\frac{1}{2})^x$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

Основные свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Так как $(\frac{1}{2})^x > 0$, то $(\frac{1}{2})^x - 3 > -3$. Следовательно, $E(y) = (-3; +\infty)$.
• Монотонность: Так как основание степени $0 < 1/2 < 1$, функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Сдвиг вниз не влияет на монотонность, поэтому функция $y=(\frac{1}{2})^x - 3$ убывает на всей области определения.
• Асимптоты: График $y=(\frac{1}{2})^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. После сдвига на 3 вниз, асимптота становится $y=-3$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $y = (\frac{1}{2})^0 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка пересечения $(0, -2)$.
  • С осью OX (y=0): $(\frac{1}{2})^x - 3 = 0 \Rightarrow (\frac{1}{2})^x = 3 \Rightarrow x = \log_{1/2} 3 = -\log_2 3 \approx -1.58$. Точка пересечения $(-\log_2 3, 0)$.

Построение графика:

1. Строим график базовой функции $y=(\frac{1}{2})^x$. Он проходит через точки $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$.

2. Сдвигаем этот график на 3 единицы вниз. Контрольные точки переходят в $(-1, -1)$, $(0, -2)$, $(1, -2.5)$.

3. Проводим горизонтальную асимптоту $y=-3$. График приближается к этой прямой при $x \to +\infty$.

Ответ: Основные свойства функции $y=(\frac{1}{2})^x-3$: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$; область значений $E(y)=(-3; +\infty)$; функция строго убывающая; горизонтальная асимптота $y=-3$; пересечение с осью OY в точке $(0, -2)$, с осью OX в точке $(-\log_2 3, 0)$. График функции - кривая, проходящая через точки $(-1, -1)$, $(0, -2)$, $(1, -2.5)$ и асимптотически приближающаяся к прямой $y=-3$ справа.

3) $y = \log_2(x+1)$

Это логарифмическая функция. Ее график можно получить из графика функции $y_0 = \log_2 x$ путем сдвига на 1 единицу влево вдоль оси OX.

Основные свойства:

• Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$. Таким образом, $D(y) = (-1; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$, как у любой логарифмической функции.
• Монотонность: Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
• Асимптоты: График функции $y=\log_2 x$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$. После сдвига на 1 влево, асимптота становится $x=-1$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $y = \log_2(0+1) = \log_2 1 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
  • С осью OX (y=0): $\log_2(x+1) = 0 \Rightarrow x+1=2^0 \Rightarrow x+1=1 \Rightarrow x=0$. Точка пересечения $(0, 0)$. График проходит через начало координат.

Построение графика:

1. Строим график базовой функции $y=\log_2 x$. Он проходит через точки $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$.

2. Сдвигаем этот график на 1 единицу влево. Контрольные точки переходят в $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(3, 2)$.

3. Проводим вертикальную асимптоту $x=-1$. График приближается к этой прямой при $x \to -1^+$.

Ответ: Основные свойства функции $y=\log_2(x+1)$: область определения $D(y)=(-1; +\infty)$; область значений $E(y)=(-\infty; +\infty)$; функция строго возрастающая; вертикальная асимптота $x=-1$; пересекает оси координат в точке $(0, 0)$. График функции - кривая, проходящая через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(3, 2)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=-1$.

4) $y = \log_{1/3}(x-1)$

Это логарифмическая функция. Ее график можно получить из графика функции $y_0 = \log_{1/3} x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

Основные свойства:

• Область определения: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Таким образом, $D(y) = (1; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Так как основание логарифма $0 < 1/3 < 1$, функция является убывающей на всей области определения.
• Асимптоты: График $y=\log_{1/3} x$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$. После сдвига на 1 вправо, асимптота становится $x=1$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $x=0$ не входит в область определения, поэтому пересечения с осью OY нет.
  • С осью OX (y=0): $\log_{1/3}(x-1) = 0 \Rightarrow x-1=(1/3)^0 \Rightarrow x-1=1 \Rightarrow x=2$. Точка пересечения $(2, 0)$.

Построение графика:

1. Строим график базовой функции $y=\log_{1/3} x$. Он проходит через точки $(1/3, 1)$, $(1, 0)$, $(3, -1)$.

2. Сдвигаем этот график на 1 единицу вправо. Контрольные точки переходят в $(4/3, 1)$, $(2, 0)$, $(4, -1)$.

3. Проводим вертикальную асимптоту $x=1$. График приближается к ней при $x \to 1^+$.

Ответ: Основные свойства функции $y=\log_{1/3}(x-1)$: область определения $D(y)=(1; +\infty)$; область значений $E(y)=(-\infty; +\infty)$; функция строго убывающая; вертикальная асимптота $x=1$; пересечение с осью OX в точке $(2, 0)$, с осью OY пересечений нет. График функции - кривая, проходящая через точки $(4/3, 1)$, $(2, 0)$, $(4, -1)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=1$.

5) $y = \sqrt{x+1} - 2$

График этой функции можно получить из графика функции $y_0 = \sqrt{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево по оси OX и на 2 единицы вниз по оси OY.

Основные свойства:

• Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. $D(y) = [-1; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $\sqrt{x+1} - 2 \ge -2$. $E(y) = [-2; +\infty)$.
• Монотонность: Функция является возрастающей на всей области определения.
• Асимптоты: Асимптот нет. График начинается в точке $(-1, -2)$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $y = \sqrt{0+1} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.
  • С осью OX (y=0): $\sqrt{x+1} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x+1} = 2 \Rightarrow x+1=4 \Rightarrow x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$.

Построение графика:

1. Начальная точка графика (вершина) находится в точке $(-1, -2)$.

2. Находим еще несколько точек: пересечение с OY $(0, -1)$, пересечение с OX $(3, 0)$.

3. Строим ветвь параболы, выходящую из точки $(-1, -2)$ и проходящую через точки $(0, -1)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Основные свойства функции $y=\sqrt{x+1}-2$: область определения $D(y)=[-1; +\infty)$; область значений $E(y)=[-2; +\infty)$; функция возрастающая; начальная точка графика $(-1, -2)$; пересечение с осью OY в точке $(0, -1)$, с осью OX в точке $(3, 0)$. График - ветвь параболы, выходящая из $(-1,-2)$ и направленная вправо и вверх.

6) $y = \sqrt{2x-1} + 1$

График этой функции можно получить из графика $y_0=\sqrt{x}$ преобразованиями: сжатие к оси OY в 2 раза ($y=\sqrt{2x}$), затем сдвиг на $1/2$ вправо по оси OX и на 1 вверх по оси OY.

Основные свойства:

• Область определения: $2x-1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 1 \Rightarrow x \ge 1/2$. $D(y) = [1/2; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt{2x-1} \ge 0$, то $\sqrt{2x-1} + 1 \ge 1$. $E(y) = [1; +\infty)$.
• Монотонность: Функция является возрастающей на всей области определения.
• Асимптоты: Асимптот нет. График начинается в точке $(1/2, 1)$.
• Пересечение с осями:
  • С осью OY (x=0): $x=0$ не входит в область определения, пересечения с осью OY нет.
  • С осью OX (y=0): $\sqrt{2x-1} + 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{2x-1} = -1$. Уравнение не имеет решений. Пересечений с осью OX нет. Это согласуется с областью значений $y \ge 1$.

Построение графика:

1. Начальная точка графика (вершина) находится в точке $(1/2, 1)$.

2. Находим еще несколько точек для построения. При $x=1$: $y = \sqrt{2(1)-1} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$. При $x=5/2$: $y = \sqrt{2(5/2)-1} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3$. Точка $(2.5, 3)$.

3. Строим ветвь параболы, выходящую из точки $(1/2, 1)$ и проходящую через точки $(1, 2)$ и $(2.5, 3)$.

Ответ: Основные свойства функции $y=\sqrt{2x-1}+1$: область определения $D(y)=[1/2; +\infty)$; область значений $E(y)=[1; +\infty)$; функция возрастающая; начальная точка графика $(1/2, 1)$; пересечений с осями координат нет. График - ветвь параболы, выходящая из $(1/2, 1)$ и направленная вправо и вверх.

1028. Построить график функции:

1) $y=2^{x-1}-3;$

2) $y=\log_{2}(x+2)+3;$

3) $y=2 \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right);$

4) $y=\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2}+1.$

1) Построить график функции $y = 2^{x-1} - 3$

Для построения графика этой функции мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y=2^x$.

1. Строим график базовой функции $y = 2^x$. Это показательная функция, которая возрастает на всей области определения. График проходит через точки $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$. Горизонтальная асимптота графика — ось $Ox$, то есть прямая $y=0$.
2. Выполняем сдвиг графика $y=2^x$ на 1 единицу вправо по оси $Ox$. Получаем график функции $y = 2^{x-1}$. Все точки графика смещаются вправо на 1. Например, точка $(0, 1)$ переходит в точку $(1, 1)$. Асимптота $y=0$ остается на месте.
3. Выполняем сдвиг графика $y=2^{x-1}$ на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Получаем искомый график функции $y = 2^{x-1} - 3$. Все точки графика смещаются вниз на 3. Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, -2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается на 3 единицы вниз и становится прямой $y=-3$.

Для большей точности построения найдем некоторые контрольные точки:

• Пересечение с осью $Oy$ (y-перехват): при $x=0$, $y = 2^{0-1} - 3 = 2^{-1} - 3 = 0.5 - 3 = -2.5$. Точка $(0, -2.5)$.
• Пересечение с осью $Ox$ (x-перехват): при $y=0$, $0 = 2^{x-1} - 3 \implies 2^{x-1} = 3 \implies x-1 = \log_2{3} \implies x = 1 + \log_2{3}$. Так как $\log_2{3} \approx 1.58$, то $x \approx 2.58$. Точка $(1 + \log_2{3}, 0)$.
• Другие точки: при $x=1$, $y = 2^{1-1} - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(1, -2)$. При $x=2$, $y = 2^{2-1} - 3 = 2 - 3 = -1$. Точка $(2, -1)$.

Ответ: График функции $y = 2^{x-1} - 3$ получается из графика функции $y = 2^x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вниз вдоль оси ординат. Горизонтальная асимптота графика - прямая $y=-3$.

2) Построить график функции $y = \log_2(x+2) + 3$

График данной функции строится путем преобразований базовой логарифмической функции $y = \log_2(x)$.

1. Строим график базовой функции $y = \log_2(x)$. Это логарифмическая функция, определенная для $x>0$. График проходит через точки $(1/2, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$. Вертикальная асимптота — ось $Oy$, то есть прямая $x=0$.
2. Выполняем сдвиг графика $y=\log_2(x)$ на 2 единицы влево по оси $Ox$. Получаем график функции $y = \log_2(x+2)$. Все точки графика смещаются влево на 2. Например, точка $(1, 0)$ переходит в точку $(-1, 0)$. Область определения становится $x+2>0$, то есть $x>-2$. Вертикальная асимптота $x=0$ смещается влево и становится прямой $x=-2$.
3. Выполняем сдвиг графика $y=\log_2(x+2)$ на 3 единицы вверх по оси $Oy$. Получаем искомый график функции $y = \log_2(x+2) + 3$. Все точки графика смещаются вверх на 3. Точка $(-1, 0)$ переходит в точку $(-1, 3)$. Вертикальная асимптота $x=-2$ не изменяется.

Найдем контрольные точки:

• Область определения: $x > -2$.
• Вертикальная асимптота: $x = -2$.
• Пересечение с осью $Oy$: при $x=0$, $y = \log_2(0+2) + 3 = \log_2(2) + 3 = 1 + 3 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• Пересечение с осью $Ox$: при $y=0$, $0 = \log_2(x+2) + 3 \implies \log_2(x+2) = -3 \implies x+2 = 2^{-3} = 1/8 \implies x = 1/8 - 2 = -15/8 = -1.875$. Точка $(-15/8, 0)$.
• Другие точки: при $x=-1$, $y = \log_2(-1+2) + 3 = \log_2(1) + 3 = 0+3=3$. Точка $(-1, 3)$. При $x=2$, $y = \log_2(2+2) + 3 = \log_2(4) + 3 = 2+3=5$. Точка $(2, 5)$.

Ответ: График функции $y = \log_2(x+2) + 3$ получается из графика функции $y = \log_2(x)$ путем сдвига на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Вертикальная асимптота графика - прямая $x=-2$.

3) Построить график функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Построение графика будем выполнять, преобразуя график базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Строим график базовой функции $y = \sin(x)$ (синусоиду). Период $T = 2\pi$, амплитуда $A=1$. Ключевые точки на одном периоде: $(0, 0)$, $(\pi/2, 1)$, $(\pi, 0)$, $(3\pi/2, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Выполняем сдвиг графика $y=\sin(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо по оси $Ox$. Это называется фазовым сдвигом. Получаем график функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$. Нулевая точка $(0,0)$ смещается в $(\pi/3, 0)$. Максимум $(\pi/2, 1)$ смещается в $(\pi/2 + \pi/3, 1) = (5\pi/6, 1)$.
3. Выполняем растяжение графика $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ от оси $Ox$ в 2 раза. Получаем искомый график $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$. Амплитуда функции увеличивается до 2. Все значения $y$ умножаются на 2. Точка $(\pi/3, 0)$ остается на месте, а точка максимума $(5\pi/6, 1)$ переходит в $(5\pi/6, 2)$. Область значений становится $[-2, 2]$.

Характеристики полученной функции:

• Амплитуда: $A=2$.
• Период: $T=2\pi$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{3}$ вправо.
• Область значений: $y \in [-2, 2]$.
• Ключевые точки одного периода: Начало в $(\frac{\pi}{3}, 0)$, максимум в $(\frac{5\pi}{6}, 2)$, пересечение оси в $(\frac{4\pi}{3}, 0)$, минимум в $(\frac{11\pi}{6}, -2)$, конец периода в $(\frac{7\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \sin(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{3}$ вправо и последующим растяжением вдоль оси ординат в 2 раза. Амплитуда равна 2, период $2\pi$.

4) Построить график функции $y = \frac{\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2} + 1$

Перепишем функцию в виде $y = 0.5 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) + 1$. Построение будем выполнять, преобразуя график базовой функции $y = \cos(x)$.

1. Строим график базовой функции $y = \cos(x)$ (косинусоиду). Период $T = 2\pi$, амплитуда $A=1$. Ключевые точки на одном периоде: $(0, 1)$, $(\pi/2, 0)$, $(\pi, -1)$, $(3\pi/2, 0)$, $(2\pi, 1)$.
2. Выполняем сдвиг графика $y=\cos(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ влево по оси $Ox$. Получаем график $y = \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$. Точка максимума $(0,1)$ смещается в $(-\pi/4, 1)$.
3. Выполняем сжатие графика $y = \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ к оси $Ox$ в 2 раза (умножаем на 0.5). Получаем график $y = 0.5 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$. Амплитуда становится $0.5$. Точка максимума $(-\pi/4, 1)$ переходит в $(-\pi/4, 0.5)$. Область значений становится $[-0.5, 0.5]$.
4. Выполняем сдвиг графика $y = 0.5 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Получаем искомый график $y = 0.5 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) + 1$. Все точки графика смещаются вверх на 1. Точка максимума $(-\pi/4, 0.5)$ переходит в $(-\pi/4, 1.5)$. Область значений становится $[0.5, 1.5]$. Средняя линия графика — прямая $y=1$.

Характеристики полученной функции:

• Амплитуда: $A=0.5$.
• Период: $T=2\pi$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{4}$ влево.
• Вертикальный сдвиг: на 1 вверх.
• Область значений: $y \in [0.5, 1.5]$.
• Ключевые точки одного периода: Максимум в $(-\frac{\pi}{4}, 1.5)$, пересечение со средней линией $y=1$ в $(\frac{\pi}{4}, 1)$, минимум в $(\frac{3\pi}{4}, 0.5)$, пересечение со средней линией $y=1$ в $(\frac{5\pi}{4}, 1)$, следующий максимум в $(\frac{7\pi}{4}, 1.5)$.

Ответ: График функции $y = \frac{\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2} + 1$ получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{4}$ влево, сжатием вдоль оси ординат в 2 раза и сдвигом на 1 вверх. Амплитуда равна 0.5, период $2\pi$, область значений $[0.5, 1.5]$.

1029. При каких значениях $a$ графики функций $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + a$ имеют общие точки?

Чтобы найти значения параметра a, при которых графики заданных функций имеют общие точки, необходимо найти условия, при которых система уравнений имеет решение. Общие точки — это точки с одинаковыми координатами (x, y). Следовательно, мы можем приравнять правые части данных уравнений.

Даны функции: $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + a$.

Приравниваем их: $x^2 - 4x + 2 = -2x + a$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно x в стандартном виде $Ax^2 + Bx + C = 0$: $x^2 - 4x + 2x + 2 - a = 0$ $x^2 - 2x + (2 - a) = 0$

Графики функций будут иметь общие точки (одну или две), если полученное квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$).

Вычислим дискриминант для этого уравнения. Здесь коэффициенты: $A=1$, $B=-2$, $C=(2-a)$. Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2-a)$ $D = 4 - 4(2-a)$ $D = 4 - 8 + 4a$ $D = 4a - 4$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$, чтобы найти значения a, при которых существуют решения: $4a - 4 \ge 0$ $4a \ge 4$ $a \ge 1$

Следовательно, графики функций имеют общие точки при всех значениях a, больших или равных 1.

Ответ: $a \ge 1$.