Страница 338 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

959. 1) Найти все значения параметра a, при которых система

$ \begin{cases} log_y x + log_x y = \frac{5}{2} \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $

имеет решение. Решить эту систему при найденных значениях a.

2) Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$ \begin{cases} (|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ (x - 2)^2 + y^2 = a^2 \end{cases} $

имеет единственное решение.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \log_y x + \log_x y = \frac{5}{2} \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения определяется условиями:

$x > 0, y > 0, x \neq 1, y \neq 1$.

Преобразуем первое уравнение. Используя свойство логарифма $\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$, сделаем замену $t = \log_y x$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2t$ (при $t \neq 0$, что выполняется, так как $x \neq 1$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$

Возвращаемся к замене:

1. $\log_y x = \frac{1}{2} \implies x = y^{1/2} \implies y = x^2$.

2. $\log_y x = 2 \implies x = y^2$.

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем с учетом ОДЗ:

Система A: $ \begin{cases} y = x^2 \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $ и Система B: $ \begin{cases} x = y^2 \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $

Рассмотрим Систему A. Подставим $y = x^2$ во второе уравнение:

$x + x^2 = a + a^2$

$x^2 + x - (a^2 + a) = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$ (можно по теореме Виета или через дискриминант):

$D_x = 1^2 - 4( -(a^2 + a) ) = 1 + 4a^2 + 4a = (2a + 1)^2$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(2a + 1)^2}}{2} = \frac{-1 \pm (2a + 1)}{2}$

$x_1 = \frac{-1 + 2a + 1}{2} = a$

$x_2 = \frac{-1 - 2a - 1}{2} = -a - 1$

Теперь для каждого корня найдем $y$ и проверим выполнение условий ОДЗ.

Для $x_1 = a$: $y_1 = x_1^2 = a^2$.

Проверка ОДЗ для $(a, a^2)$:

• $x > 0 \implies a > 0$
• $y > 0 \implies a^2 > 0 \implies a \neq 0$. Условие $a > 0$ это включает.
• $x \neq 1 \implies a \neq 1$
• $y \neq 1 \implies a^2 \neq 1 \implies a \neq 1$ (так как $a>0$).

Таким образом, решение $(a, a^2)$ существует при $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Для $x_2 = -a - 1$: $y_2 = x_2^2 = (-a - 1)^2 = (a+1)^2$.

Проверка ОДЗ для $(-a - 1, (a+1)^2)$:

• $x > 0 \implies -a - 1 > 0 \implies -a > 1 \implies a < -1$
• $y > 0 \implies (a+1)^2 > 0 \implies a \neq -1$. Условие $a < -1$ это включает.
• $x \neq 1 \implies -a - 1 \neq 1 \implies -a \neq 2 \implies a \neq -2$
• $y \neq 1 \implies (a+1)^2 \neq 1 \implies a+1 \neq \pm 1 \implies a \neq 0$ и $a \neq -2$. Условие $a < -1$ делает $a \neq 0$ избыточным.

Таким образом, решение $(-a-1, (a+1)^2)$ существует при $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$.

Рассмотрим Систему B. Подставим $x = y^2$ во второе уравнение:

$y^2 + y = a + a^2$

$y^2 + y - (a^2 + a) = 0$

Это точно такое же уравнение, как и для $x$ в Системе А. Следовательно, его решения:

$y_1 = a, y_2 = -a - 1$.

Для $y_1 = a$: $x_1 = y_1^2 = a^2$. Решение $(a^2, a)$. Условия на $a$ те же: $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Для $y_2 = -a - 1$: $x_2 = y_2^2 = (-a - 1)^2 = (a+1)^2$. Решение $((a+1)^2, -a-1)$. Условия на $a$ те же: $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$.

Система имеет решение, если существует хотя бы одно из найденных решений. Объединяя условия на параметр $a$, получаем, что система имеет решение при $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Теперь выпишем решения системы для найденных значений $a$.

• При $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ решениями являются пары $(a, a^2)$ и $(a^2, a)$.
• При $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$ решениями являются пары $(-a-1, (a+1)^2)$ и $((a+1)^2, -a-1)$.

Ответ: Система имеет решение при $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.
При $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ решения: $(a, a^2)$, $(a^2, a)$.
При $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$ решения: $(-a-1, (a+1)^2)$, $((a+1)^2, -a-1)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} (|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4 \\ (x - 2)^2 + y^2 = a^2 \end{cases} $

Требуется найти все положительные значения $a$, при которых система имеет единственное решение.

Интерпретируем уравнения геометрически.

Первое уравнение: $(|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$.

• При $x \geq 0$, уравнение принимает вид $(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$. Это окружность $K_1$ с центром $C_1(5, 4)$ и радиусом $r_1 = 2$. Так как ее самая левая точка $(3, 4)$ имеет $x=3>0$, вся окружность лежит в полуплоскости $x \geq 0$.
• При $x < 0$, уравнение принимает вид $(-x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$, что эквивалентно $(x + 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$. Это окружность $K_2$ с центром $C_2(-5, 4)$ и радиусом $r_2 = 2$. Так как ее самая правая точка $(-3, 4)$ имеет $x=-3<0$, вся окружность лежит в полуплоскости $x < 0$.

Таким образом, первое уравнение задает объединение двух непересекающихся окружностей $K_1$ и $K_2$.

Второе уравнение $(x - 2)^2 + y^2 = a^2$ задает окружность $K_3$ с центром в точке $C_3(2, 0)$ и радиусом $R=a$ (по условию $a > 0$).

Система будет иметь единственное решение, если окружность $K_3$ будет иметь ровно одну общую точку с объединением окружностей $K_1 \cup K_2$. Это возможно, если $K_3$ касается одной из окружностей ($K_1$ или $K_2$) и не пересекает другую.

Найдем расстояния между центрами окружностей:

$d_1 = d(C_1, C_3) = \sqrt{(5-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

$d_2 = d(C_2, C_3) = \sqrt{(-5-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$.

Рассмотрим возможные случаи касания.

Случай 1: $K_3$ касается $K_1$.

Радиус $K_1$ равен $r=2$. Радиус $K_3$ равен $a$. Расстояние между центрами $d_1=5$.

Внешнее касание: $d_1 = a + r \implies 5 = a + 2 \implies a = 3$.

Внутреннее касание: $d_1 = |a - r| \implies 5 = |a - 2| \implies a-2=5$ или $a-2=-5$. Получаем $a=7$ или $a=-3$. Так как $a>0$, подходит $a=7$.

Проверим, сколько точек пересечения имеет $K_3$ с $K_2$ для этих значений $a$.

• При $a=3$: $R=3$. Расстояние до центра $K_2$ равно $d_2 = \sqrt{65}$. Сумма радиусов $a+r = 3+2=5$. Так как $d_2 > a+r$ ($\sqrt{65}>5$), окружности $K_3$ и $K_2$ не пересекаются. Таким образом, при $a=3$ есть одно касание с $K_1$ и ноль пересечений с $K_2$. Всего 1 решение. $a=3$ подходит.
• При $a=7$: $R=7$. Расстояние до центра $K_2$ равно $d_2 = \sqrt{65}$. Разность радиусов $|a-r|=|7-2|=5$. Сумма радиусов $a+r=7+2=9$. Так как $|a-r| < d_2 < a+r$ ($5 < \sqrt{65} < 9$), окружности $K_3$ и $K_2$ пересекаются в двух точках. Всего $1+2=3$ решения. $a=7$ не подходит.

Случай 2: $K_3$ касается $K_2$.

Радиус $K_2$ равен $r=2$. Радиус $K_3$ равен $a$. Расстояние между центрами $d_2=\sqrt{65}$.

Внешнее касание: $d_2 = a + r \implies \sqrt{65} = a + 2 \implies a = \sqrt{65} - 2$.

Внутреннее касание: $d_2 = |a - r| \implies \sqrt{65} = |a - 2| \implies a-2=\sqrt{65}$ или $a-2=-\sqrt{65}$. Получаем $a=\sqrt{65}+2$ или $a=2-\sqrt{65}$. Так как $a>0$, подходит $a=\sqrt{65}+2$.

Проверим, сколько точек пересечения имеет $K_3$ с $K_1$ для этих значений $a$.

• При $a=\sqrt{65}-2$: $R=\sqrt{65}-2 \approx 6.06$. Расстояние до центра $K_1$ равно $d_1 = 5$. Разность радиусов $|a-r|=|\sqrt{65}-2-2|=|\sqrt{65}-4|=\sqrt{65}-4 \approx 4.06$. Сумма радиусов $a+r = \sqrt{65}-2+2=\sqrt{65} \approx 8.06$. Так как $|a-r| < d_1 < a+r$ ($4.06 < 5 < 8.06$), окружности $K_3$ и $K_1$ пересекаются в двух точках. Всего $1+2=3$ решения. $a=\sqrt{65}-2$ не подходит.
• При $a=\sqrt{65}+2$: $R=\sqrt{65}+2 \approx 10.06$. Расстояние до центра $K_1$ равно $d_1 = 5$. Разность радиусов $|a-r|=|\sqrt{65}+2-2|=\sqrt{65} \approx 8.06$. Так как $d_1 < |a-r|$ ($5 < \sqrt{65}$), окружность $K_1$ находится целиком внутри окружности $K_3$ и не касается ее. Пересечений нет. Таким образом, при $a=\sqrt{65}+2$ есть одно касание с $K_2$ и ноль пересечений с $K_1$. Всего 1 решение. $a=\sqrt{65}+2$ подходит.

Итак, мы нашли два значения параметра $a$, при которых система имеет единственное решение.

Ответ: $a=3$, $a=\sqrt{65}+2$.

960. Для всех значений параметра a решить систему уравнений

$\begin{cases} a^2 - 2\sqrt{3}|a|y + x^2 + 2xy - y^2 - 2 = 0, \\ x^2 + y^2 - 2y - \cos(xy) + 11 - 6a + a^2 = 0. \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы:

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты для переменных $y$ и $a$:

Перепишем уравнение в виде:

Проанализируем левую часть этого уравнения. Она представляет собой сумму четырех слагаемых:

• $x^2 \ge 0$
• $(y - 1)^2 \ge 0$
• $(a - 3)^2 \ge 0$
• $1 - \cos(xy) \ge 0$, так как значение косинуса любой величины не превышает 1, то есть $\cos(xy) \le 1$.

Сумма четырех неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, мы получаем систему из четырех условий:

Из первых трех уравнений этой системы однозначно находим:

$x = 0$

$y = 1$

$a = 3$

Проверим, выполняется ли четвертое условие $\cos(xy) = 1$ при этих значениях $x$ и $y$:

Условие выполняется. Следовательно, второе уравнение исходной системы имеет решение только при $a=3$, и этим решением является пара чисел $(x, y) = (0, 1)$. Если $a \neq 3$, то $(a-3)^2 > 0$, и левая часть преобразованного второго уравнения будет строго положительной, то есть второе уравнение (а значит, и вся система) не будет иметь решений.

Теперь необходимо проверить, является ли пара $(x, y) = (0, 1)$ решением первого уравнения системы при $a=3$.

Первое уравнение системы:

Подставим в него значения $a=3$, $x=0$ и $y=1$:

Полученное равенство $6(1 - \sqrt{3}) = 0$ является ложным, так как $1 - \sqrt{3} \neq 0$.

Таким образом, при $a=3$ единственная возможная пара $(x,y)=(0,1)$ не удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, при $a=3$ система не имеет решений.

Так как мы ранее установили, что при $a \neq 3$ система также не имеет решений, мы приходим к выводу, что данная система уравнений не имеет решений ни при каких значениях параметра $a$.

Ответ:

При любых значениях параметра $a$ система не имеет решений (решений нет, или $x, y \in \emptyset$).

Решить систему уравнений (961–963).

961. 1) $$\begin{cases} x^y = y^x \\ x^3 = y^2 \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x^{\sqrt{y}} = y \\ y^{\sqrt{y}} = x^4 \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} \sqrt{2} \sin x = \sin y \\ \sqrt{2} \cos x = \sqrt{3} \cos y \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} x - y = -\frac{1}{3} \\ \cos^2 \pi x - \sin^2 \pi y = \frac{1}{2} \end{cases}$$

5) $$\begin{cases} \cos x \sin y = \frac{1}{2} \\ \sin 2x + \sin 2y = 0 \end{cases}$$

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^y = y^x \\ x^3 = y^2 \end{cases}$.
Из второго уравнения следует, что $x^3 = y^2 \ge 0$, поэтому $x \ge 0$. Если $x=0$, то $y=0$, но выражение $0^0$ не определено. Следовательно, $x > 0$ и, соответственно, $y > 0$.
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \sqrt{x^3} = x^{3/2}$ (берем положительный корень, так как $y>0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^{(x^{3/2})} = (x^{3/2})^x$
$x^{x^{3/2}} = x^{\frac{3}{2}x}$
Это равенство верно в двух случаях:
1) Основание $x=1$. Если $x=1$, то $y = 1^{3/2} = 1$. Пара $(1; 1)$ является решением: $1^1 = 1^1$ и $1^3 = 1^2$.
2) Показатели степеней равны: $x^{3/2} = \frac{3}{2}x$.
Так как $x>0$, мы можем разделить обе части на $x$:
$x^{3/2-1} = \frac{3}{2}$
$x^{1/2} = \frac{3}{2}$
$\sqrt{x} = \frac{3}{2}$
Возведя в квадрат, получаем $x = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = x^{3/2} = (\frac{9}{4})^{3/2} = ((\frac{3}{2})^2)^{3/2} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8}$.
Проверим пару $(\frac{9}{4}; \frac{27}{8})$. Второе уравнение: $(\frac{9}{4})^3 = \frac{729}{64}$ и $(\frac{27}{8})^2 = \frac{729}{64}$, что верно. Первое уравнение: $(\frac{9}{4})^{\frac{27}{8}} = ((\frac{3}{2})^2)^{\frac{27}{8}} = (\frac{3}{2})^{\frac{27}{4}}$. И $(\frac{27}{8})^{\frac{9}{4}} = ((\frac{3}{2})^3)^{\frac{9}{4}} = (\frac{3}{2})^{\frac{27}{4}}$, что также верно.
Ответ: $(1; 1)$, $(\frac{9}{4}; \frac{27}{8})$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^{\sqrt{y}} = y \\ y^{\sqrt{y}} = x^4 \end{cases}$.
Переменные $x$ и $y$ должны быть положительными.
Из второго уравнения выразим $y$: $y = (x^4)^{1/\sqrt{y}} = x^{4/\sqrt{y}}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^{\sqrt{y}} = x^{4/\sqrt{y}}$.
Это равенство возможно, если:
1) Основание $x=1$. Подставляя в первое уравнение, получаем $1^{\sqrt{y}} = y$, откуда $y=1$. Решение $(1; 1)$ удовлетворяет обоим уравнениям.
2) Показатели степеней равны: $\sqrt{y} = \frac{4}{\sqrt{y}}$.
Умножим обе части на $\sqrt{y}$ (что возможно, так как $y>0$):
$(\sqrt{y})^2 = 4$, откуда $y=4$.
Найдем $x$ из первого уравнения: $x^{\sqrt{4}} = 4$, то есть $x^2 = 4$. Так как $x>0$, получаем $x=2$.
Проверим решение $(2; 4)$ во втором уравнении: $4^{\sqrt{4}} = 2^4$, или $4^2=16$, что верно.
Ответ: $(1; 1)$, $(2; 4)$.

3) Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt{2}\sin x = \sin y \\ \sqrt{2}\cos x = \sqrt{3}\cos y \end{cases}$.
Возведем оба уравнения в квадрат:
$\begin{cases} 2\sin^2 x = \sin^2 y \\ 2\cos^2 x = 3\cos^2 y \end{cases}$.
Сложим эти уравнения:
$2(\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin^2 y + 3\cos^2 y$
$2 = \sin^2 y + 3(1-\sin^2 y) = 3 - 2\sin^2 y$
$2\sin^2 y = 1 \implies \sin^2 y = \frac{1}{2} \implies \sin y = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Тогда $\cos^2 y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies \cos y = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Из первого исходного уравнения $\sin x = \frac{\sin y}{\sqrt{2}} = \frac{\pm\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}} = \pm\frac{1}{2}$.
Тогда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \implies \cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Исходные уравнения показывают, что знаки $\sin x$ и $\sin y$ должны совпадать, а также знаки $\cos x$ и $\cos y$. Это приводит к четырем наборам решений:
1. $\sin x = \frac{1}{2}, \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$, $y = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin x = \frac{1}{2}, \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, $y = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
3. $\sin x = -\frac{1}{2}, \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$, $y = -\frac{\pi}{4} + 2n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
4. $\sin x = -\frac{1}{2}, \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, $y = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $( \frac{\pi}{6} + 2k\pi; \frac{\pi}{4} + 2n\pi )$, $( \frac{5\pi}{6} + 2k\pi; \frac{3\pi}{4} + 2n\pi )$, $( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi; -\frac{\pi}{4} + 2n\pi )$, $( \frac{7\pi}{6} + 2k\pi; \frac{5\pi}{4} + 2n\pi )$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - y = -\frac{1}{3} \\ \cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi y) = \frac{1}{2} \end{cases}$.
Из первого уравнения $y = x + \frac{1}{3}$. Подставим во второе:
$\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi(x + \frac{1}{3})) = \frac{1}{2}$.
Используем формулы понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$ и $\sin^2 \alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$.
$\frac{1+\cos(2\pi x)}{2} - \frac{1-\cos(2\pi(x+\frac{1}{3}))}{2} = \frac{1}{2}$.
$1+\cos(2\pi x) - 1+\cos(2\pi x + \frac{2\pi}{3}) = 1$.
$\cos(2\pi x) + \cos(2\pi x + \frac{2\pi}{3}) = 1$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:
$2\cos(\frac{2\pi x + 2\pi x + 2\pi/3}{2})\cos(\frac{2\pi x + 2\pi/3 - 2\pi x}{2}) = 1$.
$2\cos(2\pi x + \frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{3}) = 1$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$:
$2\cos(2\pi x + \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{2} = 1$.
$\cos(2\pi x + \frac{\pi}{3}) = 1$.
$2\pi x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2\pi x = 2k\pi - \frac{\pi}{3}$.
$x = k - \frac{1}{6}$.
Тогда $y = x + \frac{1}{3} = (k - \frac{1}{6}) + \frac{1}{3} = k + \frac{1}{6}$.
Ответ: $(k - \frac{1}{6}; k + \frac{1}{6})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5) Дана система уравнений: $\begin{cases} \cos x \sin y = \frac{1}{2} \\ \sin(2x) + \sin(2y) = 0 \end{cases}$.
Преобразуем второе уравнение по формуле суммы синусов:
$2\sin(\frac{2x+2y}{2})\cos(\frac{2x-2y}{2}) = 0 \implies 2\sin(x+y)\cos(x-y) = 0$.
Это дает два случая: $\sin(x+y)=0$ или $\cos(x-y)=0$.
Преобразуем первое уравнение по формуле произведения синуса на косинус:
$\frac{1}{2}[\sin(y+x) - \sin(y-x)] = \frac{1}{2} \implies \sin(x+y) + \sin(x-y) = 1$.
Теперь рассмотрим два случая:
1) $\sin(x+y)=0$. Подставляя в преобразованное первое уравнение, получаем $0 + \sin(x-y) = 1 \implies \sin(x-y) = 1$.
Имеем систему:
$\begin{cases} x+y = k\pi \\ x-y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \end{cases}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
Складывая и вычитая уравнения, находим $x$ и $y$:
$2x = k\pi + \frac{\pi}{2} + 2n\pi \implies x = \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + n\pi$.
$2y = k\pi - \frac{\pi}{2} - 2n\pi \implies y = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - n\pi$.
2) $\cos(x-y)=0$. Это означает $x-y = \frac{\pi}{2} + m\pi$. Тогда $\sin(x-y) = \sin(\frac{\pi}{2} + m\pi) = \cos(m\pi) = (-1)^m$.
Подставляя в $\sin(x+y) + \sin(x-y) = 1$, получаем $\sin(x+y) + (-1)^m = 1$.
Если $m$ четное, $\sin(x+y)+1=1 \implies \sin(x+y)=0$. Этот случай совпадает с рассмотренным выше.
Если $m$ нечетное, $\sin(x+y)-1=1 \implies \sin(x+y)=2$, что невозможно.
Итак, решения есть только в первом случае. Разберем их в зависимости от четности $k$:
а) $k$ - четное, $k=2p$:
$x = p\pi + \frac{\pi}{4} + n\pi = \frac{\pi}{4} + (p+n)\pi$.
$y = p\pi - \frac{\pi}{4} - n\pi = -\frac{\pi}{4} + (p-n)\pi$.
Обозначим $N = p+n, K = p-n$. Тогда $N+K = 2p$ (четное), значит $N$ и $K$ имеют одинаковую четность.
Решения: $x = \frac{\pi}{4} + N\pi, y = -\frac{\pi}{4} + K\pi$, где $N,K \in \mathbb{Z}$ и $N \equiv K \pmod 2$.
б) $k$ - нечетное, $k=2p+1$:
$x = \frac{(2p+1)\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + n\pi = p\pi + \frac{3\pi}{4} + n\pi = \frac{3\pi}{4} + (p+n)\pi$.
$y = \frac{(2p+1)\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - n\pi = p\pi + \frac{\pi}{4} - n\pi = \frac{\pi}{4} + (p-n)\pi$.
Обозначим $N = p+n, K = p-n$. Тогда $N+K = 2p$ (четное), значит $N$ и $K$ имеют одинаковую четность.
Решения: $x = \frac{3\pi}{4} + N\pi, y = \frac{\pi}{4} + K\pi$, где $N,K \in \mathbb{Z}$ и $N \equiv K \pmod 2$.
Ответ: $( \frac{\pi}{4} + N\pi; -\frac{\pi}{4} + K\pi )$, где $N,K \in \mathbb{Z}, N \equiv K \pmod 2$;
$( \frac{3\pi}{4} + N\pi; \frac{\pi}{4} + K\pi )$, где $N,K \in \mathbb{Z}, N \equiv K \pmod 2$.

962. $\begin{cases} 6\sin x \cos y + 2\cos x \sin y = -3, \\ 5\sin x \cos y - 3\cos x \sin y = 1. \end{cases}$

Данная система уравнений является линейной относительно выражений $\sin x \cos y$ и $\cos x \sin y$. Введем замену переменных. Пусть $a = \sin x \cos y$ и $b = \cos x \sin y$. Исходная система:

$$\begin{cases}6\sin x \cos y + 2\cos x \sin y = -3 \\5\sin x \cos y - 3\cos x \sin y = 1\end{cases}$$

преобразуется в систему линейных уравнений:

$$\begin{cases}6a + 2b = -3 \\5a - 3b = 1\end{cases}$$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, и сложим их:

$$\begin{array}{rcr}18a + 6b & = & -9 \\+\quad 10a - 6b & = & 2 \\\hline28a \phantom{+ 6b} & = & -7\end{array}$$

Отсюда $a = -\frac{7}{28} = -\frac{1}{4}$. Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение $6a+2b=-3$:

$6(-\frac{1}{4}) + 2b = -3 \implies -\frac{3}{2} + 2b = -3 \implies 2b = -3 + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \implies b = -\frac{3}{4}$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sin x \cos y = a = -\frac{1}{4}$

$\cos x \sin y = b = -\frac{3}{4}$

Используя формулы синуса суммы и разности углов, $\sin(x\pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$, получаем:

$\sin(x+y) = a+b = -\frac{1}{4} + (-\frac{3}{4}) = -1$

$\sin(x-y) = a-b = -\frac{1}{4} - (-\frac{3}{4}) = \frac{1}{2}$

Это приводит к системе простейших тригонометрических уравнений:

$$\begin{cases}\sin(x+y) = -1 \\\sin(x-y) = \frac{1}{2}\end{cases}$$

Общие решения этих уравнений имеют вид:

$x+y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x-y = (-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p, \quad p \in \mathbb{Z}$

Решим полученную систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$\begin{cases}x+y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\x-y = (-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p\end{cases}$$

Складывая уравнения, находим $x$:
$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k + (-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{(-1)^p \pi}{12} + \frac{\pi p}{2}$.

Вычитая второе уравнение из первого, находим $y$:
$2y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k - \left((-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p\right) \implies y = -\frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{(-1)^p \pi}{12} - \frac{\pi p}{2}$.

Ответ:
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{(-1)^p \pi}{12} + \frac{\pi p}{2}$
$y = -\frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{(-1)^p \pi}{12} - \frac{\pi p}{2}$
где $k, p \in \mathbb{Z}$.

963. $\begin{cases} 3^{\log_3 x} - 2^{\log_4 y} = 77, \\ 3^{\log_3 \sqrt{x}} + 2^{\log_{16} y} = 11. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как переменные $x$ и $y$ находятся под знаком логарифма, они должны быть строго положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Теперь упростим каждое уравнение системы, используя свойства логарифмов и степеней.

1. Упрощение выражений.

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

• Для первого уравнения:
  • $3^{\log_3 x} = x$
  • $2^{\log_4 y} = 2^{\frac{\log_2 y}{\log_2 4}} = 2^{\frac{\log_2 y}{2}} = (2^{\log_2 y})^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}$
• Для второго уравнения:
  • $3^{\log_3 \sqrt{x}} = \sqrt{x}$
  • $2^{\log_{16} y} = 2^{\frac{\log_2 y}{\log_2 16}} = 2^{\frac{\log_2 y}{4}} = (2^{\log_2 y})^{\frac{1}{4}} = y^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{y}$

После преобразований исходная система принимает вид: $$ \begin{cases} x - \sqrt{y} = 77, \\ \sqrt{x} + \sqrt[4]{y} = 11. \end{cases} $$

2. Введение новых переменных.

Для дальнейшего упрощения введем замену. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$.
Из ОДЗ ($x > 0, y > 0$) следует, что $a > 0$ и $b > 0$.
Тогда $x = a^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2 = b^2$.

Подставим новые переменные в систему: $$ \begin{cases} a^2 - b^2 = 77, \\ a + b = 11. \end{cases} $$

3. Решение новой системы.

Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$ (a-b)(a+b) = 77 $$

Теперь подставим значение $a+b=11$ из второго уравнения в первое: $$ (a-b) \cdot 11 = 77 $$

Разделим обе части уравнения на 11: $$ a - b = 7 $$

Таким образом, мы получили систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} a + b = 11, \\ a - b = 7. \end{cases} $$

Сложим два уравнения, чтобы найти $a$: $$ (a+b) + (a-b) = 11 + 7 $$ $$ 2a = 18 $$ $$ a = 9 $$

Подставим найденное значение $a=9$ в любое из уравнений, например, в $a+b=11$: $$ 9 + b = 11 $$ $$ b = 2 $$

Найденные значения $a=9$ и $b=2$ удовлетворяют условиям $a > 0$ и $b > 0$.

4. Обратная замена.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

• Из $a = \sqrt{x}$ получаем: $$ \sqrt{x} = 9 \implies x = 9^2 = 81 $$
• Из $b = \sqrt[4]{y}$ получаем: $$ \sqrt[4]{y} = 2 \implies y = 2^4 = 16 $$

Решение системы: $x=81, y=16$.

Ответ: $(81; 16)$

964. Изобразить на плоскости фигуру, заданную множеством решений системы неравенств, и найти её площадь:

1) $\begin{cases} x + 3y - 3 \ge 0, \\ 2x + 3y - 12 \le 0, \\ x \ge 0, \\ 0 \le y \le 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y + 1 \le 0, \\ 5x - 3y + 15 \ge 0, \\ x \le 0, \\ 0 \le y \le 2,5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x + y - 1)(x + y - 3) \le 0, \\ x - y \le 0, \\ x \ge 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} (2x - y + 3)(4x + 3y - 9) \le 0, \\ x + y \ge 0, \\ -1 \le y \le 3. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x + 3y - 3 \ge 0 \\ 2x + 3y - 12 \le 0 \\ x \ge 0 \\ 0 \le y \le 2 \end{cases} $

Каждое неравенство задает полуплоскость. Фигура, являющаяся решением системы, есть пересечение этих полуплоскостей. Преобразуем первые два неравенства, чтобы выразить $y$:
1. $x + 3y - 3 \ge 0 \implies 3y \ge -x + 3 \implies y \ge -\frac{1}{3}x + 1$
2. $2x + 3y - 12 \le 0 \implies 3y \le -2x + 12 \implies y \le -\frac{2}{3}x + 4$

Таким образом, искомая фигура задается системой:
$ \begin{cases} y \ge -\frac{1}{3}x + 1 \\ y \le -\frac{2}{3}x + 4 \\ x \ge 0 \\ 0 \le y \le 2 \end{cases} $

Построим граничные линии:
$l_1: y = -\frac{1}{3}x + 1$ (проходит через точки (0, 1) и (3, 0))
$l_2: y = -\frac{2}{3}x + 4$ (проходит через точки (0, 4) и (6, 0))
$l_3: x = 0$ (ось OY)
$l_4: y = 0$ (ось OX)
$l_5: y = 2$

Фигура представляет собой многоугольник. Найдем его вершины, находя точки пересечения граничных линий, удовлетворяющие всем неравенствам.

• Вершина A: пересечение $x=0$ и $y = -\frac{1}{3}x + 1$. Подставляя $x=0$, получаем $y=1$. Точка A(0, 1).
• Вершина B: пересечение $x=0$ и $y=2$. Точка B(0, 2).
• Вершина C: пересечение $y=2$ и $y = -\frac{2}{3}x + 4$. $2 = -\frac{2}{3}x + 4 \implies -2 = -\frac{2}{3}x \implies x=3$. Точка C(3, 2).
• Вершина D: пересечение $y = -\frac{1}{3}x + 1$ с какой-либо из других границ. Проверим пересечение с $y=0$: $0 = -\frac{1}{3}x + 1 \implies x=3$. Точка D(3, 0). Проверим, удовлетворяет ли точка D(3,0) остальным неравенствам: $0 \le -\frac{2}{3}(3) + 4 \implies 0 \le 2$ (верно).

Таким образом, мы получили четыре вершины: A(0, 1), B(0, 2), C(3, 2), D(3, 0).

Соединив эти точки, мы видим, что фигура является прямоугольной трапецией. Основания трапеции параллельны оси OY и лежат на прямых $x=0$ и $x=3$. Длина первого основания (отрезок AB) равна $2-1=1$. Длина второго основания (отрезок DC) равна $2-0=2$. Высота трапеции равна расстоянию между прямыми $x=0$ и $x=3$, то есть $3-0=3$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, $h$ — высота.
$S = \frac{1+2}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: Фигура является прямоугольной трапецией с вершинами в точках (0, 1), (0, 2), (3, 2), (3, 0). Площадь фигуры равна 4,5.

2)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x - y + 1 \le 0 \\ 5x - 3y + 15 \ge 0 \\ x \le 0 \\ 0 \le y \le 2.5 \end{cases} $

Преобразуем неравенства:
1. $x - y + 1 \le 0 \implies y \ge x + 1$
2. $5x - 3y + 15 \ge 0 \implies 3y \le 5x + 15 \implies y \le \frac{5}{3}x + 5$

Искомая фигура ограничена линиями:
$l_1: y = x + 1$
$l_2: y = \frac{5}{3}x + 5$
$l_3: x = 0$
$l_4: y = 0$
$l_5: y = 2.5$

Найдем вершины многоугольника, который является решением системы:

• A: пересечение $x=0$ и $y=x+1$. $A(0, 1)$.
• B: пересечение $x=0$ и $y=2.5$. $B(0, 2.5)$.
• C: пересечение $y=2.5$ и $y=\frac{5}{3}x + 5$. $2.5 = \frac{5}{3}x + 5 \implies -2.5 = \frac{5}{3}x \implies x = -1.5$. $C(-1.5, 2.5)$.
• D: пересечение $y=0$ и $y=\frac{5}{3}x + 5$. $0 = \frac{5}{3}x + 5 \implies x = -3$. $D(-3, 0)$.
• E: пересечение $y=0$ и $y=x+1$. $0 = x+1 \implies x = -1$. $E(-1, 0)$.

Фигура является пятиугольником с вершинами A(0, 1), B(0, 2.5), C(-1.5, 2.5), D(-3, 0), E(-1, 0).

Для вычисления площади пятиугольника ABCDE представим её как разность площади фигуры, ограниченной сверху ломаной BCD и снизу осью OX, и площади фигуры, ограниченной сверху ломаной AE и снизу осью OX.
Площадь под ломаной BCD (трапеция с вершинами (-3,0), (-1.5,0), C, D) + (прямоугольник с вершинами (-1.5,0), (0,0), B, C)):
$S_{верх} = S_{CDH_xH'_x} + S_{CBH'_xH_x} = \frac{0+2.5}{2} \cdot |-3 - (-1.5)| + 2.5 \cdot |-1.5 - 0| = 1.25 \cdot 1.5 + 2.5 \cdot 1.5 = 1.875 + 3.75 = 5.625$, где $H_x, H'_x$ - проекции точек на ось OX.
Площадь под ломаной AE (треугольник с вершинами E, A, и (0,0)):
$S_{низ} = S_{AEH_x} = \frac{1+0}{2} \cdot |-1 - 0| = 0.5 \cdot 1 = 0.5$.
Площадь искомой фигуры:
$S = S_{верх} - S_{низ} = 5.625 - 0.5 = 5.125$

Ответ: Фигура является пятиугольником с вершинами (0, 1), (0, 2.5), (-1.5, 2.5), (-3, 0), (-1, 0). Площадь фигуры равна 5,125.

3)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} (x + y - 1)(x + y - 3) \le 0 \\ x - y \le 0 \\ x \ge 0 \end{cases} $

1. Неравенство $(x + y - 1)(x + y - 3) \le 0$ равносильно тому, что множители имеют разные знаки. Это задает область между двумя параллельными прямыми $x+y-1=0$ и $x+y-3=0$.
$\begin{cases} x+y-1 \ge 0 \\ x+y-3 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+y \ge 1 \\ x+y \le 3 \end{cases} \implies 1 \le x+y \le 3$.
Другой случай, $x+y-1 \le 0$ и $x+y-3 \ge 0$, невозможен, так как из $x+y \le 1$ следует, что $x+y$ не может быть больше или равно 3.

2. Неравенство $x - y \le 0$ равносильно $y \ge x$.
3. Неравенство $x \ge 0$ задает правую полуплоскость.

Итак, искомая область задается системой:
$ \begin{cases} y \le -x + 3 \\ y \ge -x + 1 \\ y \ge x \\ x \ge 0 \end{cases} $

Найдем вершины многоугольника, являющегося решением системы:

• A: пересечение $y=x$ и $y=-x+1$. $x = -x+1 \implies 2x=1 \implies x=0.5$. $A(0.5, 0.5)$.
• B: пересечение $y=x$ и $y=-x+3$. $x = -x+3 \implies 2x=3 \implies x=1.5$. $B(1.5, 1.5)$.
• C: пересечение $x=0$ и $y=-x+3$. $C(0, 3)$.
• D: пересечение $x=0$ и $y=-x+1$. $D(0, 1)$.

Фигура является четырехугольником с вершинами A(0.5, 0.5), B(1.5, 1.5), C(0, 3), D(0, 1).

Площадь этого четырехугольника можно найти как разность площадей двух треугольников с общей вершиной в начале координат O(0,0).
Площадь треугольника OBC: основание OC лежит на оси OY, его длина равна 3. Высота равна x-координате точки B, то есть 1.5.
$S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1.5 = 2.25$
Площадь треугольника OAD: основание OD лежит на оси OY, его длина равна 1. Высота равна x-координате точки A, то есть 0.5.
$S_{OAD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0.5 = 0.25$
Площадь четырехугольника ABCD равна разности этих площадей:
$S_{ABCD} = S_{OBC} - S_{OAD} = 2.25 - 0.25 = 2$

Ответ: Фигура является четырехугольником с вершинами (0.5, 0.5), (1.5, 1.5), (0, 3), (0, 1). Площадь фигуры равна 2.

4)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} (2x - y + 3)(4x + 3y - 9) \le 0 \\ x + y \ge 0 \\ -1 \le y \le 3 \end{cases} $

1. Неравенство $(2x - y + 3)(4x + 3y - 9) \le 0$ задает область между двумя прямыми $l_1: 2x - y + 3 = 0$ и $l_2: 4x + 3y - 9 = 0$.
$l_1: y = 2x + 3$
$l_2: y = -\frac{4}{3}x + 3$
Эти прямые пересекаются в точке, где $2x+3 = -\frac{4}{3}x+3 \implies \frac{10}{3}x=0 \implies x=0$. Тогда $y=3$. Точка пересечения (0, 3).

2. $x + y \ge 0 \implies y \ge -x$. Область выше прямой $l_3: y=-x$.
3. $-1 \le y \le 3$. Область между горизонтальными прямыми $y=-1$ и $y=3$.

Искомая фигура — это многоугольник. Найдем его вершины:

• A: пересечение $l_1$, $l_2$ и $y=3$. $A(0, 3)$.
• B: пересечение $l_1: y=2x+3$ и $l_3: y=-x$. $-x = 2x+3 \implies 3x=-3 \implies x=-1$. $y=1$. Точка B(-1, 1). Эта точка удовлетворяет $-1 \le 1 \le 3$.
• C: пересечение $l_3: y=-x$ и $y=-1$. $-1 = -x \implies x=1$. Точка C(1, -1). Проверим для C(1,-1) первое неравенство: $(2(1)-(-1)+3)(4(1)+3(-1)-9) = (6)(-8) = -48 \le 0$. Верно.
• D: пересечение $l_2: y=-\frac{4}{3}x+3$ и $y=-1$. $-1 = -\frac{4}{3}x+3 \implies -4 = -\frac{4}{3}x \implies x=3$. Точка D(3, -1). Эта точка удовлетворяет $y \ge -x$ (т.к. $-1 \ge -3$).

Таким образом, искомая фигура — четырехугольник с вершинами A(0, 3), B(-1, 1), C(1, -1), D(3, -1).

Для вычисления площади разделим четырехугольник ABCD диагональю BD на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.
Площадь $\triangle BCD$:
Вершины B(-1, 1), C(1, -1), D(3, -1). Основание CD лежит на прямой $y=-1$. Его длина равна $3 - 1 = 2$. Высота треугольника, опущенная из вершины B на прямую $y=-1$, равна $|1 - (-1)| = 2$.
$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.
Площадь $\triangle ABD$:
Вершины A(0, 3), B(-1, 1), D(3, -1). Воспользуемся формулой площади треугольника по координатам вершин:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_D) + x_B(y_D - y_A) + x_D(y_A - y_B)|$
$S_{ABD} = \frac{1}{2} |0(1 - (-1)) + (-1)(-1 - 3) + 3(3 - 1)| = \frac{1}{2} |0 + (-1)(-4) + 3(2)| = \frac{1}{2} |4 + 6| = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.
Общая площадь четырехугольника:
$S = S_{ABD} + S_{BCD} = 5 + 2 = 7$.

Ответ: Фигура является четырехугольником с вершинами (0, 3), (-1, 1), (1, -1), (3, -1). Площадь фигуры равна 7.