Номер 963, страница 338 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 963, страница 338.

Условие.

963. $\begin{cases} 3^{\log_3 x} - 2^{\log_4 y} = 77, \\ 3^{\log_3 \sqrt{x}} + 2^{\log_{16} y} = 11. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной системы уравнений сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как переменные $x$ и $y$ находятся под знаком логарифма, они должны быть строго положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Теперь упростим каждое уравнение системы, используя свойства логарифмов и степеней.

1. Упрощение выражений.

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

• Для первого уравнения:
  • $3^{\log_3 x} = x$
  • $2^{\log_4 y} = 2^{\frac{\log_2 y}{\log_2 4}} = 2^{\frac{\log_2 y}{2}} = (2^{\log_2 y})^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}$
• Для второго уравнения:
  • $3^{\log_3 \sqrt{x}} = \sqrt{x}$
  • $2^{\log_{16} y} = 2^{\frac{\log_2 y}{\log_2 16}} = 2^{\frac{\log_2 y}{4}} = (2^{\log_2 y})^{\frac{1}{4}} = y^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{y}$

После преобразований исходная система принимает вид: $$ \begin{cases} x - \sqrt{y} = 77, \\ \sqrt{x} + \sqrt[4]{y} = 11. \end{cases} $$

2. Введение новых переменных.

Для дальнейшего упрощения введем замену. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$.
Из ОДЗ ($x > 0, y > 0$) следует, что $a > 0$ и $b > 0$.
Тогда $x = a^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2 = b^2$.

Подставим новые переменные в систему: $$ \begin{cases} a^2 - b^2 = 77, \\ a + b = 11. \end{cases} $$

3. Решение новой системы.

Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$ (a-b)(a+b) = 77 $$

Теперь подставим значение $a+b=11$ из второго уравнения в первое: $$ (a-b) \cdot 11 = 77 $$

Разделим обе части уравнения на 11: $$ a - b = 7 $$

Таким образом, мы получили систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} a + b = 11, \\ a - b = 7. \end{cases} $$

Сложим два уравнения, чтобы найти $a$: $$ (a+b) + (a-b) = 11 + 7 $$ $$ 2a = 18 $$ $$ a = 9 $$

Подставим найденное значение $a=9$ в любое из уравнений, например, в $a+b=11$: $$ 9 + b = 11 $$ $$ b = 2 $$

Найденные значения $a=9$ и $b=2$ удовлетворяют условиям $a > 0$ и $b > 0$.

4. Обратная замена.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

• Из $a = \sqrt{x}$ получаем: $$ \sqrt{x} = 9 \implies x = 9^2 = 81 $$
• Из $b = \sqrt[4]{y}$ получаем: $$ \sqrt[4]{y} = 2 \implies y = 2^4 = 16 $$

Решение системы: $x=81, y=16$.

Ответ: $(81; 16)$