Номер 963, страница 338 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 963, страница 338.
№963 (с. 338)
Условие. №963 (с. 338)
скриншот условия

963. $\begin{cases} 3^{\log_3 x} - 2^{\log_4 y} = 77, \\ 3^{\log_3 \sqrt{x}} + 2^{\log_{16} y} = 11. \end{cases}$
Решение 1. №963 (с. 338)

Решение 2. №963 (с. 338)

Решение 3. №963 (с. 338)
Для решения данной системы уравнений сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как переменные $x$ и $y$ находятся под знаком логарифма, они должны быть строго положительными: $x > 0$ и $y > 0$.
Теперь упростим каждое уравнение системы, используя свойства логарифмов и степеней.
1. Упрощение выражений.
Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
- Для первого уравнения:
- $3^{\log_3 x} = x$
- $2^{\log_4 y} = 2^{\frac{\log_2 y}{\log_2 4}} = 2^{\frac{\log_2 y}{2}} = (2^{\log_2 y})^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}$
- Для второго уравнения:
- $3^{\log_3 \sqrt{x}} = \sqrt{x}$
- $2^{\log_{16} y} = 2^{\frac{\log_2 y}{\log_2 16}} = 2^{\frac{\log_2 y}{4}} = (2^{\log_2 y})^{\frac{1}{4}} = y^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{y}$
После преобразований исходная система принимает вид: $$ \begin{cases} x - \sqrt{y} = 77, \\ \sqrt{x} + \sqrt[4]{y} = 11. \end{cases} $$
2. Введение новых переменных.
Для дальнейшего упрощения введем замену. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$.
Из ОДЗ ($x > 0, y > 0$) следует, что $a > 0$ и $b > 0$.
Тогда $x = a^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2 = b^2$.
Подставим новые переменные в систему: $$ \begin{cases} a^2 - b^2 = 77, \\ a + b = 11. \end{cases} $$
3. Решение новой системы.
Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$ (a-b)(a+b) = 77 $$
Теперь подставим значение $a+b=11$ из второго уравнения в первое: $$ (a-b) \cdot 11 = 77 $$
Разделим обе части уравнения на 11: $$ a - b = 7 $$
Таким образом, мы получили систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} a + b = 11, \\ a - b = 7. \end{cases} $$
Сложим два уравнения, чтобы найти $a$: $$ (a+b) + (a-b) = 11 + 7 $$ $$ 2a = 18 $$ $$ a = 9 $$
Подставим найденное значение $a=9$ в любое из уравнений, например, в $a+b=11$: $$ 9 + b = 11 $$ $$ b = 2 $$
Найденные значения $a=9$ и $b=2$ удовлетворяют условиям $a > 0$ и $b > 0$.
4. Обратная замена.
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.
- Из $a = \sqrt{x}$ получаем: $$ \sqrt{x} = 9 \implies x = 9^2 = 81 $$
- Из $b = \sqrt[4]{y}$ получаем: $$ \sqrt[4]{y} = 2 \implies y = 2^4 = 16 $$
Решение системы: $x=81, y=16$.
Ответ: $(81; 16)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 963 расположенного на странице 338 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №963 (с. 338), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.