Номер 970, страница 339 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 970, страница 339.

Условие.

970. Разность двух чисел относится к их произведению как $1 : 24$, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомые числа будут $x$ и $y$. Для определенности будем считать, что $x$ больше $y$.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое условие: разность двух чисел относится к их произведению как 1:24.
Математически это записывается так:
$\frac{x - y}{xy} = \frac{1}{24}$

Второе условие: сумма этих чисел в 5 раз больше их разности.
Математически это записывается так:
$x + y = 5(x - y)$

Теперь решим эту систему уравнений. Начнем с упрощения второго уравнения, чтобы выразить одну переменную через другую.

$x + y = 5x - 5y$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а с $x$ — в правую:
$y + 5y = 5x - x$
$6y = 4x$
Разделим обе части уравнения на 2:
$3y = 2x$
Отсюда выразим $x$:
$x = \frac{3}{2}y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\frac{\frac{3}{2}y - y}{(\frac{3}{2}y) \cdot y} = \frac{1}{24}$

Упростим выражение в левой части. Сначала выполним вычитание в числителе:

$\frac{3}{2}y - y = \frac{3}{2}y - \frac{2}{2}y = \frac{1}{2}y$

Теперь упростим знаменатель:

$(\frac{3}{2}y) \cdot y = \frac{3}{2}y^2$

Подставим упрощенные части обратно в уравнение:

$\frac{\frac{1}{2}y}{\frac{3}{2}y^2} = \frac{1}{24}$

Сократим дробь в левой части:

$\frac{1 \cdot y}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot y^2} = \frac{1}{3y}$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\frac{1}{3y} = \frac{1}{24}$

Из этого равенства следует, что их знаменатели равны:

$3y = 24$
$y = \frac{24}{3}$
$y = 8$

Мы нашли одно из чисел. Теперь найдем второе число, $x$, используя соотношение $x = \frac{3}{2}y$:

$x = \frac{3}{2} \cdot 8 = 3 \cdot 4 = 12$

Итак, искомые числа — 12 и 8.

Проверим найденные числа:
1. Разность: $12 - 8 = 4$. Произведение: $12 \cdot 8 = 96$. Отношение $\frac{4}{96} = \frac{1}{24}$. Условие выполняется.
2. Сумма: $12 + 8 = 20$. Разность: $4$. Сумма в 5 раз больше разности, так как $20 = 5 \cdot 4$. Условие выполняется.

Ответ: 12 и 8.