Номер 973, страница 339 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 973, страница 339.

Условие.

973. Бригада рабочих должна была к определённому сроку изготовить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму на 9 деталей, бригада за день до срока перевыполнила плановое задание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же производительностью труда?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $v_{план}$ — плановая дневная норма производительности (деталей в день), а $d_{план}$ — плановый срок выполнения работы в днях.

По условию, бригада должна была изготовить 360 деталей. Это можно выразить формулой:
$v_{план} \cdot d_{план} = 360$

Отсюда можно выразить плановый срок через плановую норму:
$d_{план} = \frac{360}{v_{план}}$

Фактическая дневная норма $v_{факт}$ была на 9 деталей больше плановой:
$v_{факт} = v_{план} + 9$

Бригада работала с повышенной производительностью и за день до планового срока, то есть за $(d_{план} - 1)$ дней, перевыполнила план на 5%. Найдем, сколько деталей было изготовлено к этому моменту:
$360 \cdot 1.05 = 378$ деталей.

Это количество деталей было изготовлено с фактической производительностью за фактическое время. Составим второе уравнение:
$v_{факт} \cdot (d_{план} - 1) = 378$

Теперь подставим выражения для $v_{факт}$ и $d_{план}$ в это уравнение, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $v_{план}$:
$(v_{план} + 9) \cdot (\frac{360}{v_{план}} - 1) = 378$

Решим это уравнение. Для удобства заменим $v_{план}$ на $x$:
$(x + 9) \cdot (\frac{360 - x}{x}) = 378$
$(x + 9)(360 - x) = 378x$
$360x - x^2 + 3240 - 9x = 378x$
$-x^2 + 351x + 3240 = 378x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 378x - 351x - 3240 = 0$
$x^2 + 27x - 3240 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 27^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3240) = 729 + 12960 = 13689$
$\sqrt{D} = \sqrt{13689} = 117$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 + 117}{2} = \frac{90}{2} = 45$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 - 117}{2} = \frac{-144}{2} = -72$

Так как производительность не может быть отрицательной, плановая норма составляет $v_{план} = 45$ деталей в день.

Фактическая производительность бригады:
$v_{факт} = 45 + 9 = 54$ детали в день.

Плановый срок выполнения работы:
$d_{план} = \frac{360}{45} = 8$ дней.

В задаче спрашивается, сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же (фактической) производительностью. Это означает, что нужно найти, сколько деталей бригада изготовит за плановый срок (8 дней), работая с фактической производительностью (54 детали в день).
Количество деталей = $v_{факт} \cdot d_{план} = 54 \cdot 8 = 432$ детали.

Ответ: к сроку бригада изготовит 432 детали.