Номер 980, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 980, страница 340.
№980 (с. 340)
Условие. №980 (с. 340)
скриншот условия

980. Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвёртого чисел равна 16, а сумма второго и третьего равна 12.
Решение 1. №980 (с. 340)

Решение 2. №980 (с. 340)

Решение 3. №980 (с. 340)
Обозначим искомые четыре числа как $a_1, a_2, a_3, a_4$.
Согласно условиям задачи:
- Первые три числа ($a_1, a_2, a_3$) являются последовательными членами геометрической прогрессии. Из характеристического свойства геометрической прогрессии следует, что $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$.
- Последние три числа ($a_2, a_3, a_4$) являются последовательными членами арифметической прогрессии. Из характеристического свойства арифметической прогрессии следует, что $2a_3 = a_2 + a_4$.
- Сумма первого и четвёртого чисел равна 16: $a_1 + a_4 = 16$.
- Сумма второго и третьего чисел равна 12: $a_2 + a_3 = 12$.
Мы получили систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
$ \begin{cases} a_2^2 = a_1 \cdot a_3 \\ 2a_3 = a_2 + a_4 \\ a_1 + a_4 = 16 \\ a_2 + a_3 = 12 \end{cases} $
Для решения системы выразим некоторые переменные через другие. Из третьего и четвертого уравнений:
$a_4 = 16 - a_1$
$a_3 = 12 - a_2$
Подставим эти выражения во второе уравнение системы ($2a_3 = a_2 + a_4$):
$2(12 - a_2) = a_2 + (16 - a_1)$
$24 - 2a_2 = a_2 + 16 - a_1$
Теперь выразим $a_1$ через $a_2$:
$a_1 = a_2 + 2a_2 + 16 - 24$
$a_1 = 3a_2 - 8$
Далее подставим полученные выражения для $a_1$ и $a_3$ в первое уравнение системы ($a_2^2 = a_1 \cdot a_3$):
$a_2^2 = (3a_2 - 8)(12 - a_2)$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $a_2$:
$a_2^2 = 36a_2 - 3a_2^2 - 96 + 8a_2$
$a_2^2 = -3a_2^2 + 44a_2 - 96$
$4a_2^2 - 44a_2 + 96 = 0$
Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:
$a_2^2 - 11a_2 + 24 = 0$
Найдем корни этого уравнения, используя теорему Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 24. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 8. Следовательно, мы имеем два возможных значения для второго числа $a_2$: 3 или 8.
Рассмотрим оба варианта.
1. Если $a_2 = 3$
Последовательно находим остальные числа, используя выведенные ранее формулы:
- $a_1 = 3a_2 - 8 = 3 \cdot 3 - 8 = 9 - 8 = 1$
- $a_3 = 12 - a_2 = 12 - 3 = 9$
- $a_4 = 16 - a_1 = 16 - 1 = 15$
В этом случае искомые числа: 1, 3, 9, 15. Проверим: (1, 3, 9) - геометрическая прогрессия ($q=3$), (3, 9, 15) - арифметическая прогрессия ($d=6$), $1+15=16$, $3+9=12$. Все условия выполнены.
2. Если $a_2 = 8$
Находим остальные числа:
- $a_1 = 3a_2 - 8 = 3 \cdot 8 - 8 = 24 - 8 = 16$
- $a_3 = 12 - a_2 = 12 - 8 = 4$
- $a_4 = 16 - a_1 = 16 - 16 = 0$
В этом случае искомые числа: 16, 8, 4, 0. Проверим: (16, 8, 4) - геометрическая прогрессия ($q=1/2$), (8, 4, 0) - арифметическая прогрессия ($d=-4$), $16+0=16$, $8+4=12$. Все условия выполнены.
Таким образом, задача имеет два решения.
Ответ: 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 980 расположенного на странице 340 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №980 (с. 340), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.