Номер 980, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 980, страница 340.

Условие.

980. Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвёртого чисел равна 16, а сумма второго и третьего равна 12.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим искомые четыре числа как $a_1, a_2, a_3, a_4$.

Согласно условиям задачи:

• Первые три числа ($a_1, a_2, a_3$) являются последовательными членами геометрической прогрессии. Из характеристического свойства геометрической прогрессии следует, что $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$.
• Последние три числа ($a_2, a_3, a_4$) являются последовательными членами арифметической прогрессии. Из характеристического свойства арифметической прогрессии следует, что $2a_3 = a_2 + a_4$.
• Сумма первого и четвёртого чисел равна 16: $a_1 + a_4 = 16$.
• Сумма второго и третьего чисел равна 12: $a_2 + a_3 = 12$.

Мы получили систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

$ \begin{cases} a_2^2 = a_1 \cdot a_3 \\ 2a_3 = a_2 + a_4 \\ a_1 + a_4 = 16 \\ a_2 + a_3 = 12 \end{cases} $

Для решения системы выразим некоторые переменные через другие. Из третьего и четвертого уравнений:

$a_4 = 16 - a_1$

$a_3 = 12 - a_2$

Подставим эти выражения во второе уравнение системы ($2a_3 = a_2 + a_4$):

$2(12 - a_2) = a_2 + (16 - a_1)$

$24 - 2a_2 = a_2 + 16 - a_1$

Теперь выразим $a_1$ через $a_2$:

$a_1 = a_2 + 2a_2 + 16 - 24$

$a_1 = 3a_2 - 8$

Далее подставим полученные выражения для $a_1$ и $a_3$ в первое уравнение системы ($a_2^2 = a_1 \cdot a_3$):

$a_2^2 = (3a_2 - 8)(12 - a_2)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $a_2$:

$a_2^2 = 36a_2 - 3a_2^2 - 96 + 8a_2$

$a_2^2 = -3a_2^2 + 44a_2 - 96$

$4a_2^2 - 44a_2 + 96 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$a_2^2 - 11a_2 + 24 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя теорему Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 24. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 8. Следовательно, мы имеем два возможных значения для второго числа $a_2$: 3 или 8.

Рассмотрим оба варианта.

1. Если $a_2 = 3$

Последовательно находим остальные числа, используя выведенные ранее формулы:

• $a_1 = 3a_2 - 8 = 3 \cdot 3 - 8 = 9 - 8 = 1$
• $a_3 = 12 - a_2 = 12 - 3 = 9$
• $a_4 = 16 - a_1 = 16 - 1 = 15$

В этом случае искомые числа: 1, 3, 9, 15. Проверим: (1, 3, 9) - геометрическая прогрессия ($q=3$), (3, 9, 15) - арифметическая прогрессия ($d=6$), $1+15=16$, $3+9=12$. Все условия выполнены.

2. Если $a_2 = 8$

Находим остальные числа:

• $a_1 = 3a_2 - 8 = 3 \cdot 8 - 8 = 24 - 8 = 16$
• $a_3 = 12 - a_2 = 12 - 8 = 4$
• $a_4 = 16 - a_1 = 16 - 16 = 0$

В этом случае искомые числа: 16, 8, 4, 0. Проверим: (16, 8, 4) - геометрическая прогрессия ($q=1/2$), (8, 4, 0) - арифметическая прогрессия ($d=-4$), $16+0=16$, $8+4=12$. Все условия выполнены.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0.