Номер 980, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 980, страница 340.

№980 (с. 340)
Условие. №980 (с. 340)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 340, номер 980, Условие

980. Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвёртого чисел равна 16, а сумма второго и третьего равна 12.

Решение 1. №980 (с. 340)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 340, номер 980, Решение 1
Решение 2. №980 (с. 340)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 340, номер 980, Решение 2
Решение 3. №980 (с. 340)

Обозначим искомые четыре числа как $a_1, a_2, a_3, a_4$.

Согласно условиям задачи:

  • Первые три числа ($a_1, a_2, a_3$) являются последовательными членами геометрической прогрессии. Из характеристического свойства геометрической прогрессии следует, что $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$.
  • Последние три числа ($a_2, a_3, a_4$) являются последовательными членами арифметической прогрессии. Из характеристического свойства арифметической прогрессии следует, что $2a_3 = a_2 + a_4$.
  • Сумма первого и четвёртого чисел равна 16: $a_1 + a_4 = 16$.
  • Сумма второго и третьего чисел равна 12: $a_2 + a_3 = 12$.

Мы получили систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

$ \begin{cases} a_2^2 = a_1 \cdot a_3 \\ 2a_3 = a_2 + a_4 \\ a_1 + a_4 = 16 \\ a_2 + a_3 = 12 \end{cases} $

Для решения системы выразим некоторые переменные через другие. Из третьего и четвертого уравнений:

$a_4 = 16 - a_1$

$a_3 = 12 - a_2$

Подставим эти выражения во второе уравнение системы ($2a_3 = a_2 + a_4$):

$2(12 - a_2) = a_2 + (16 - a_1)$

$24 - 2a_2 = a_2 + 16 - a_1$

Теперь выразим $a_1$ через $a_2$:

$a_1 = a_2 + 2a_2 + 16 - 24$

$a_1 = 3a_2 - 8$

Далее подставим полученные выражения для $a_1$ и $a_3$ в первое уравнение системы ($a_2^2 = a_1 \cdot a_3$):

$a_2^2 = (3a_2 - 8)(12 - a_2)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $a_2$:

$a_2^2 = 36a_2 - 3a_2^2 - 96 + 8a_2$

$a_2^2 = -3a_2^2 + 44a_2 - 96$

$4a_2^2 - 44a_2 + 96 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$a_2^2 - 11a_2 + 24 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя теорему Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 24. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 8. Следовательно, мы имеем два возможных значения для второго числа $a_2$: 3 или 8.

Рассмотрим оба варианта.

1. Если $a_2 = 3$

Последовательно находим остальные числа, используя выведенные ранее формулы:

  • $a_1 = 3a_2 - 8 = 3 \cdot 3 - 8 = 9 - 8 = 1$
  • $a_3 = 12 - a_2 = 12 - 3 = 9$
  • $a_4 = 16 - a_1 = 16 - 1 = 15$

В этом случае искомые числа: 1, 3, 9, 15. Проверим: (1, 3, 9) - геометрическая прогрессия ($q=3$), (3, 9, 15) - арифметическая прогрессия ($d=6$), $1+15=16$, $3+9=12$. Все условия выполнены.

2. Если $a_2 = 8$

Находим остальные числа:

  • $a_1 = 3a_2 - 8 = 3 \cdot 8 - 8 = 24 - 8 = 16$
  • $a_3 = 12 - a_2 = 12 - 8 = 4$
  • $a_4 = 16 - a_1 = 16 - 16 = 0$

В этом случае искомые числа: 16, 8, 4, 0. Проверим: (16, 8, 4) - геометрическая прогрессия ($q=1/2$), (8, 4, 0) - арифметическая прогрессия ($d=-4$), $16+0=16$, $8+4=12$. Все условия выполнены.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 980 расположенного на странице 340 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №980 (с. 340), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.