Номер 981, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 981, страница 340.

Условие.

981. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а её знаменатель как $q$. Тогда $n$-й член прогрессии равен $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$. Тогда $n$-й член прогрессии равен $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Формула суммы для $q \neq 1$ имеет вид $S_5 = b_1 \frac{q^5-1}{q-1}$. Если $q=1$, то все члены прогрессии равны $b_1$ и $S_5 = 5b_1$. Итак, у нас есть первое условие:

$S_5 = 62$

Также из условия известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый члены геометрической прогрессии являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии:

$b_5 = a_1 \implies b_1 q^4 = a_1$

$b_8 = a_2 \implies b_1 q^7 = a_2$

$b_{11} = a_{10} \implies b_1 q^{10} = a_{10}$

Для членов арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_{10}$ справедливо соотношение: $a_2 = a_1 + d$ и $a_{10} = a_1 + 9d$. Из этих двух равенств следует, что $a_{10} - a_1 = 9d$ и $a_2 - a_1 = d$, откуда получаем $a_{10} - a_1 = 9(a_2 - a_1)$.

Подставим в это соотношение соответствующие члены геометрической прогрессии:

$b_{11} - b_5 = 9(b_8 - b_5)$

$b_1 q^{10} - b_1 q^4 = 9(b_1 q^7 - b_1 q^4)$

Вынесем $b_1$ за скобки. Если $b_1 = 0$, то $S_5=0$, что противоречит условию ($S_5 = 62$). Следовательно, $b_1 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$:

$q^{10} - q^4 = 9(q^7 - q^4)$

$q^{10} - q^4 = 9q^7 - 9q^4$

$q^{10} - 9q^7 + 8q^4 = 0$

Вынесем $q^4$ за скобки:

$q^4(q^6 - 9q^3 + 8) = 0$

Это уравнение даёт нам возможные значения для знаменателя $q$. Рассмотрим все случаи.

Случай 1: $q^4 = 0 \implies q = 0$

Если знаменатель $q=0$, то геометрическая прогрессия имеет вид $b_1, 0, 0, 0, \ldots$.

Сумма первых пяти членов: $S_5 = b_1 + 0 + 0 + 0 + 0 = b_1$.

По условию $S_5 = 62$, следовательно, $b_1 = 62$.

Проверим условие для членов арифметической прогрессии. Члены геометрической прогрессии: $b_5 = 0, b_8 = 0, b_{11} = 0$. Соответствующие члены арифметической прогрессии: $a_1=0, a_2=0, a_{10}=0$. Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=0$. Таким образом, $b_1 = 62$ является одним из возможных решений.

Случай 2: $q^6 - 9q^3 + 8 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $q^3$. Сделаем замену $x = q^3$:

$x^2 - 9x + 8 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1=1$ и $x_2=8$.

Рассмотрим оба подслучая.

Подслучай 2а: $q^3 = 1 \implies q=1$

Если знаменатель $q=1$, то все члены геометрической прогрессии равны $b_1$.

Сумма первых пяти членов: $S_5 = b_1 + b_1 + b_1 + b_1 + b_1 = 5b_1$.

По условию $S_5 = 62$, следовательно, $5b_1 = 62$, откуда $b_1 = \frac{62}{5} = 12.4$.

Проверим условие для членов арифметической прогрессии. Члены геометрической прогрессии: $b_5 = b_1, b_8 = b_1, b_{11} = b_1$. Соответствующие члены арифметической прогрессии: $a_1=b_1, a_2=b_1, a_{10}=b_1$. Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=0$. Таким образом, $b_1 = 12.4$ также является возможным решением.

Подслучай 2б: $q^3 = 8 \implies q=2$

Если знаменатель $q=2$, используем формулу суммы для $S_5$:

$S_5 = b_1 \frac{q^5-1}{q-1} = b_1 \frac{2^5-1}{2-1} = b_1 \frac{32-1}{1} = 31b_1$.

По условию $S_5 = 62$, следовательно, $31b_1 = 62$, откуда $b_1 = 2$.

Проверим условие для членов арифметической прогрессии. Члены геометрической прогрессии:

$b_5 = b_1 q^4 = 2 \cdot 2^4 = 32$

$b_8 = b_1 q^7 = 2 \cdot 2^7 = 256$

$b_{11} = b_1 q^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2048$

Соответствующие члены арифметической прогрессии: $a_1=32, a_2=256, a_{10}=2048$.

Найдем разность $d$ по первым двум членам: $d = a_2 - a_1 = 256 - 32 = 224$.

Проверим десятый член: $a_{10} = a_1 + 9d = 32 + 9 \cdot 224 = 32 + 2016 = 2048$.

Значение совпадает с $b_{11}$, значит, условие выполняется. Таким образом, $b_1=2$ является еще одним возможным решением.

Задача имеет три решения, каждое из которых соответствует разным значениям знаменателя геометрической прогрессии ($q=0, q=1, q=2$).

Ответ: Первый член геометрической прогрессии может быть равен 2, 12.4 или 62.