Номер 983, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 983, страница 340.

Условие.

983. В треугольнике, площадь которого равна $12 \text{ см}^2$, середины сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треугольнике точно так же образован новый треугольник и т. д. Найти сумму площадей всех получающихся таким построением треугольников.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $S_1$ — площадь исходного треугольника. По условию задачи, $S_1 = 12$ см².

При соединении середин сторон треугольника образуется новый треугольник, стороны которого являются средними линиями исходного треугольника. По свойству средней линии, треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, площадь нового треугольника $S_2$ в 4 раза меньше площади исходного.

$S_2 = (\frac{1}{2})^2 S_1 = \frac{1}{4} S_1 = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$ см².

Процесс построения повторяется бесконечно. Площадь третьего треугольника $S_3$ будет в 4 раза меньше площади второго, и так далее.

$S_3 = \frac{1}{4} S_2 = \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4}$ см².

Мы получаем последовательность площадей $12, 3, \frac{3}{4}, \dots$, которая является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $b_1 = S_1 = 12$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Для нахождения суммы площадей всех треугольников нужно найти сумму этой бесконечной геометрической прогрессии. Так как $|q| = |\frac{1}{4}| < 1$, прогрессия является сходящейся, и ее сумма вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим наши значения в формулу:

$S = \frac{12}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{12}{\frac{3}{4}} = 12 \cdot \frac{4}{3} = 4 \cdot 4 = 16$.

Таким образом, сумма площадей всех треугольников равна 16 см².

Ответ: 16 см².